tul10 (1014485)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 10.НАХОЖДЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮУстановим связь ДНПФ с дифференциальным уравнением (6), описывающим систему. Согласно определению импульсная переходная функция удовлетворяют уравнениюan ()d n k (, )d n ...  a0 () k (, )  bm ()d m (  )d m ...  b0 () (  ) .Применим к левой и правой частям спектральное преобразование с учетом свойств-функции:tdn t(,,)(,)...()a n ()pitkda00 p(i, t , ) k (, ) d  d  n 0dn bm ()dmtt p(i, t , ) (  ) d   ....  b ()  p(i, t , ) (  ) d  000 bm ()d p (i, t , ) ...  b0 () p (i, t , ).d mmtВведем обозначение H (i, t , ) pp(i , t , ) k (, ) d – нестационарная сопряженная0передаточная функция.Тогда последнее уравнение перепишется в формеndk ak () d kk 0H (i, t , ) pmd k p(i , t , )k 0d k bk ().Применим спектральное преобразование к левой и правой частям с учетом свойствлинейности и умножения функций:d k H (i, t , )  dkpS a k () Ak (t , t ) S  k H (i, t , )  , k  1,..., n ;kpp  pp*dp d dkd k p(i, t , ) S bk () B k (t , t ) S  k p(i, t , )  , k  0,1,.., m ,kpdp d pp*где Ak (t , t ), Bk (t , t ) – двумерные нестационарные передаточные функции нестационарpp *pp *ных усилительных звеньев.Согласно свойству дифференцирования оригинала1 dkSH (i, t , )  P k (t , t ) S H (i, t , ) ,kp d pp p pp * dkSp(i, t , )  P k (t , t ) S  p(i , t , ).p  d kp pp *Заметим, что согласно определениям (1),(7)t tS  H (i, t , )     p * (h, t , ) p(i, t , ) k (, ) d  d   W (h, i, t , t ),p pp*p0 0t 1, h  i,S  p (i, t , )    p * (h, t , ) p(i, t , ) d   p 0, h  i.0В результате получаемnAk (t , t ) P k (t , t ) W (t , t ) k  0 pp *pp *pp *m Bk (t, t ) Pppk* (t, t )k  0 pp *или1 W (t , t )   An (t , t ) P n (t , t )  ...

 A0 (t , t )   B m (t , t ) P m (t , t )  ...  B0 (t , t )  .pp*pp*pp*pp*pp* pp*  pp*Используя свойство ( A  B ) 1  B 1  A 1 , преобразуем выражениеn An (t , t ) P (t , t )  ...  A0 (t , t )pp * pp *pp *1    An (t , t )  ...  A0 (t , t ) P  n (t , t )  P n (t , t )pp *  pp * pp *pp *1.Окончательно получаемW (t , t )  P (t , t )  An (t , t )  ...  A0 (t , t ) P  n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *n1mB m (t , t ) P (t , t )  ...

 B 0 (t , t ) .pp * pp *pp *(8)4.1.2. Связь вход-выходНайдем связь вход-выход, устанавливаемую двумерной нестационарной передаточной функцией при нулевых начальных условиях. Воспользуемся формулой связивход-выход с помощью ИПФ с учетом формулы обращения и условия физической реализуемости ( k (, )  0 при    ):x () 2t00 k (, ) g () d   k (, )  Gp (i, t ) p(i, t , ) d .iПрименим спектральное преобразование и формулу (7):tS [ x ()] pt tp * (h, t , ) x () d  X (h, t ) p0 ip * (h, t , ) p(i , t , ) k (, ) d d G (i , t ) p00(h, i , t , t ) G (i , t ).Wpp *piВ итоге получаемX (t )  W (t , t )G (t ) .ppp *(9)p4.1.3. Двумерные нестационарные передаточные функции соединенийЕсли система представляет собой соединение звеньев, то для нахождения ДНПФсистемы применяются следующие соотношения:для последовательного соединения (см. рис.

1, а):W (t , t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) ,pp *pp *(10)pp *для параллельного соединения (рис. 1, б):W (t , t )  W1 (t , t )  W 2 (t , t ) ,pp *pp *(11)pp *для соединения с обратной связью (рис. 1, в):W (t , t )  W1 (t , t )[E  W 2 (t , t )W1 (t , t )]1  [E  W1 (t , t )W 2 (t , t )]1 W1 (t , t ) ,pp *pp *pp *pp *pp *pp *(12)pp *где знак «плюс» – для отрицательной, а знак «минус» – для положительной обратнойсвязи; W1 (t , t ), W 2 (t , t ) – двумерные нестационарные передаточные функции первого иpp *pp *второго звеньев соответственно.X 1 (t )pW1 (t , t )X 1 (t )G (t )pW1 (t , t )pp аpX (t )W 2 (t , t )pppG (t )pp *X (t )p*pW 2 (t , t )pp *X 2 (t )p3бG (t )pX (t )E (t )ppW1 (t , t )pp *W 2 (t , t )X 2 (t )pp *pвРис.

1Действительно, для последовательного соединения с учетом связи (9) имеемX 1 (t )  W 1 (t , t ) G (t ),pX (t )  W 2 (t , t ) X 1 (t ) .ppp *ppp *pИсключая X 1 (t ) , получаем формулу (10):pX (t )  W 2 (t , t )W1 (t , t )G (t ) .pppp *pp*W (t , t )pp *Заметим, что матрицы в формуле (10) могут быть не перестановочны.Для параллельного соединения справедливо:X 1 (t )  W1 (t , t ) G (t ),ppp *pX 2 (t )  W 2 (t , t )G (t ),ppp *pX (t )  X 1 (t )  X 2 (t ).pppОтсюда следует формула (11):X (t )  W1 (t , t )  W 2 (t , t ) G (t , t ) .p pp * ppp *W (t ,t )pp *Для соединения с обратной связью имеем4X (t )  W1 (t , t ) E (t ),ppp *pE (t )  G (t )  X 2 (t ),pppX 2 (t )  W 2 (t , t ) X (t ).pppp *ТогдаX (t )  W1 (t , t ) G (t , t )  W 2 (t , t ) X (t )  W1 (t , t )G (t )  W1 (t , t )W 2 (t , t ) X (t ),pppppp *pp *pp *pp * p pp *E  W1 (t , t )W 2 (t , t ) X (t )  W1 (t , t )G (t ).p ppp *pp *pp *Отсюда следует вторая из формул (12):1X (t )  E  W1 (t , t )W 2 (t , t ) W1 (t , t ) G (t , t ) .pp pp *pp *pp *W (t ,t )pp *Получим эквивалентную формулу.

Для этого умножим уравнениеX (t )  W1 (t , t ) E (t ) слева на W 2 (t , t ) :ppp *ppp *W 2 (t , t ) X (t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) E (t ),ppp *pp *ppp *E (t )  G (t )  W 2 (t , t ) X (t ).ppppp *ОтсюдаE (t )  G (t )  W 2 (t , t )W1 (t , t ) E (t )pppp*ppp*и, следовательно, имеемG (t )   E  W 2 (t , t )W1 (t , t )  E (t ) .ppp*pp*pПоэтому1E (t )   E  W 2 (t , t )W1 (t , t )  G (t )ppp*pp* pи1X (t )  W1 (t , t )  E  W 2 (t , t )W1 (t , t )  G (t ) .ppp*pp*pp* pW ( t ,t )pp *Отсюда следует первая из формул (12).54.1.4. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g() ;б) система, заданная в одной из возможных форм математического описания;в) нулевые начальные условия.Требуется найти выходной сигнал x() .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИПеред решением задачи анализа задается длина t отрезка [0,t] и система базисныхфункций (здесь предлагается использовать либо систему полиномов Лежандра, либо систему нестационарных косинусоид).1.

Найти спектральную характеристику G (t ) входного сигнала g () .p2. Определить ДНПФ W (t , t ) системы одним из двух способов – по дифференциpp *альному уравнению или по структурной схеме:а) если задано дифференциальное уравнение (6), то ДНПФ определяется по формуле (4.8):W (t , t )  P (t , t )  An (t , t ) ... A0 (t , t ) P n (t , t )pp *pp *pp * pp *pp *n1mBm (t , t ) P (t , t ) ... B0 (t , t ) ,pp * pp *pp *где Ai (t , t ) , B j (t , t ) – ДНПФ усилительных звеньев ai (), b j () ; P (t , t ), P 1 (t , t ) –pp*pp *pp*pp *ДНПФ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.Если система стационарная, т.е. a i ()  a i = const , b j ()  b j = const , имеемAi (t , t )pp * ai E , B j (t , t )  b j E , где E – единичная матрица;pp *б) если система состоит из звеньев и их соединений, то для нахождения ДНПФсистемы применяются соотношения(10)–(12).

ДНПФ элементарных звеньев берутся изтаблиц.3. Вычислить спектральную характеристику выходного сигнала по формуле (4.9):X (t )  W (t , t ) G (t ) .pp *pp4. Определить выходной сигнал по формуле обращения (5):x ()  S 1[ X (t )] p6piX (i, t ) p(i, t , ),p0    t.З а м е ч а н и е.1. При практических расчетах используются базисные системы с конечным числомфункций, т.е. { p(i, t , ), i  0,1,..., N } . Тогда бесконечные матрицы заменяются конечными соответствующих размеров. Число N называется масштабом усечения.2. Решение одной и той же задачи с применением разных базисных систем или одной базисной системы с разным масштабом усечения является одним из эффективныхспособов контроля достоверности и точности результата.4.2.

ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ4.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания случайных процессов используются спектральные характеристики их моментных функций.Первой нестационарной спектральной плотностью случайного процесса G ()называется нестационарная спектральная характеристика его математического ожидания:t1S g (i , t ) pp * (i , t , ) m g () d , i  0,1,2,...

.(13)0Второй нестационарной спектральной плотностью случайного процесса G ()называется двумерная нестационарная спектральная характеристика его ковариационнойфункции:S g (h, i , t , t ) pp *tt00 d1 p *(h, t , 1 ) p(i , t ,  2 ) R g (1 ,  2 ) d 2 , h, i  0,1,2,... .(14)Первая нестационарная спектральная плотность представляется бесконечной матрицей-столбцом, вторая – бесконечной матрицей.Математическое ожидание и ковариационная функция определяются по спектральным плотностям с помощью формул обращения:mg ()  1S g (i , t ) p(i , t , ),iR g (1 ,  2 )   S g (h, i, t , t ) p(h, t , 1 ) p * (i, t ,  2 ),hi0    t;p0  1  t , 0   2  t .(15)pp *Вторая нестационарная спектральная плотность стационарного белого шума с учетом (15) и формулы его ковариационной функции имеет видS g (t , t )  S 0 E ,(16)pp *где S 0 – интенсивность шума; E – единичная матрица.72.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций