tul12 (1014487)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 12.5.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ДИСКРЕТНЫХСИСТЕМ5.4.1. Анализ устойчивости одномерных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) одномерная линейная дискретная стационарная динамическая система, поведение которой описывается разностным уравнением:an x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m  bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,k  0,1,2,  ;б) начальные условия:x 0   x 0 , x 1  x1 , , x n  1  x n 1 .Линейная дискретная стационарная система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движениеx c k  (при g k   0 ) ограничено при всех k  0,1,2,  и выполняется условие x c k   0при k    .Требуется исследовать, является ли динамическая система асимптотически устойчивой.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИДля асимптотической устойчивости линейной одномерной стационарной дискретной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы корни  i характеристического уравненияan n  an 1n 1    a0  0были по модулю меньше единицы:  i  1; i  1,  , n .Это означает, что все корни должны располагаться внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат (рис.

1).1Im 11Re Рис. 1З а м е ч а н и е. Нахождение корней характеристического уравнения, как правило,связано с большими вычислительными трудностями. Как и для непрерывных динамических систем, в качестве косвенного критерия устойчивости можно использовать критерийРауса-Гурвица. Для этого следует выполнить конформное отображение плоскости комплексного переменного  на плоскость комплексного переменного w таким образом,чтобы окружность   1 перешла в мнимую ось, а внутренность круга   1 отобразилась на левую полуплоскость Re w  0 . Такое отображение выполняется с помощьюдробно-линейного преобразования:  1w.1wПример 1.

Исследовать устойчивость дискретных динамических систем, описываемых уравнениями:а) x k  3 11x k  2   x k   g k  ;24б) x k  3  2 x k  2   2 x k  1  g k  .а) Характеристическое уравнение2 1 3 1 2 1  024имеет корни21,211  i  ,  3  1 1  i  , лежащие внутри круга единичного радиуса, так как2221 1,  2   3  1 . Система асимптотически устойчивая.22Решим задачу с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Для этого сделаем1  1wв характеристическом уравнении:1wзамену321 1  w 11  w      0,2 1  w 41  w 1  3w  3w 2  w 3 В результате получим1 1 2 111 331 w  w  w3   w  w2  w32 2224 444 0.3(1  w )5 3 17 2 73w w  w   0 или после умножения на 4 :44445w 3  17w 2  7w  3  0 .Составим матрицу и вычислим угловые миноры:17 3 0  5 7 0  , 1  17  0, 0 17 3  2  104  0, 3  3  104  312  0.Так как все угловые миноры положительны, система асимптотически устойчивая.б) Характеристическое уравнение3  22  2  0имееткорни1  0 , 2  1  i ,  3  1  i , первый лежит внутри круга единичного радиуса, а  2 ,  3 лежатвне круга, так как  2   3  2  1 . Согласно критерию система не является асимптотически устойчивой.Решим задачу с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Для этого сделаем замену1wв характеристическом уравнении:1w321w1  w 1  w 0 ,  2 21w1  w 1  w 1  3w  3w 2  w 3  2  2w 2  2w  2w 3  2  2w  2w 2  2w 3(1  w )3 0.В результате получим w 3  w 2  3w  5  0 .Составим матрицу и вычислим угловые миноры: 1 5 03 0,1  1  0 ,  2   8  0,  3   40  0 . 1 0  1 5Так как не все угловые миноры положительны (они отрицательны), система не яв-ляется асимптотически устойчивой. 35.4.2.

Анализ устойчивости многомерных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) многомерная линейная дискретная стационарная динамическая система, поведение которой описывается уравнением состояния:x k  1  A x k   B g k  , k  0,1,... ;б) начальное условие:x 0   x 0 ,где x 0 – начальное состояние.Многомерная линейная стационарная дискретная динамическая система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение x c k  , k  0,1,2,  (приg k   0 ) ограничено при ограниченных начальных состояниях x 0 и выполняется условиеx c k   0 при k   ,где x– какая-либо норма вектора x , например,x n xi2 .i 1Требуется исследовать, является ли динамическая система асимптотически устойчивой.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИДля асимптотической устойчивости многомерной линейной стационарной дискретной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы корни  iхарак-теристического уравненияdet A  E   0были по модулю меньше единицы:  i  1 ,i  1,  , n .Это означает, что все корни  i должны располагаться внутри круга единичногорадиуса с центром в начале координат.Очевидно, как и для одномерных динамических систем, для анализа устойчивостимногомерных систем можно применять критерий Рауса-Гурвица.4Пример 2.

Исследовать устойчивость дискретных динамических систем, описываемых уравнениями состояния:x1 k  1   x 2 k   g1 k  ,x 2 k  1  x1 k   g 2 k  ;Здесьdet A  E   0 : 0  1 . Найдем корни характеристического уравненияA  10  1 0 , или 2  1  0 . Отсюда 1  i ,  2  i . Так как1 1   2  1 , т.е. корни не лежат внутри круга единичного радиуса (они лежат на егогранице), то система не является асимптотически устойчивой.6.

ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯ6.1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ6.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания сигналов и систем будем использовать z преобразование. Приведем основные определения.Оригиналом называется последовательность  f k  , k  0,1,  , удовлетворяющаяусловиюf k   Me k , где M и  – положительные постоянные (рис. 1).ff (2)f (0)f (1)01f (4)f (3)234f (5)5kРис. 1Изображением последовательности  f k  , k  0,1,  называется функция F z комплексного переменного z , определяемая равенством5F z  f k .zkk 0Совокупность всех оригиналов называется пространством оригиналов,вокупность всех изображений – пространством изображений.а со-Переход, определяющий изображение F z  по оригиналу  f k  , k  0,1,  , называется Z -преобразованием:F z   Z  f k  .Оригинал находится по изображению с помощью обратного Z -преобразования:1f k   Z 1[F (z )] F z  z k 1dz , k  0,1,  ,2i Cгде C – контур, внутри которого лежат все особые точки функции F z  .СВОЙСТВА Z -ПРЕОБРАЗОВАНИЯПусть F (z )  Z [ f (k )] .1.

Линейность. Для любых постоянных ci , i  1,  , m , справедливоZ  c1 f1 k     cm f m k    c1 F1 z     cm Fm z  ,где  f1 k  , k  0,1, , ,  f m k  , k  0,1,  – оригиналы, а F1 z  ,  , Fm z  – их изображения.2. Запаздывание (формула запаздывания):Z  f k  1   z 1F z  ,Z  f k  n    z n F z  , n  1,2,  ,где f k  n   0 при k  n  0 (рис.

6.2).fff44422201234 k0123Рис. 26f (k  n)f (k  1)f (k )4k0n n 1k3. Опережение (формула опережения):Z  f k  1   z F z   f 0  ,Z  f k  n    z n F z   z n f 0   z n 1 f (1)    z f n  1 .2. Описание систем. Рассматривается одномерная линейная дискретная стационарная система, описываемая разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,k  0, 1, 2 ,  ,с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – заданные постоянные коэффициенты; g (k ) – входной сигнал.Передаточной функцией W (z ) линейной стационарной дискретной системы называется функцияW z  bm z m    b0a n z n    a0.Передаточная функция является функцией комплексного переменного z .При решении задач анализа дискретных систем предполагается, что сигналы принадлежат пространству оригиналов. Для нахождения их изображений и решения обратной задачи используется табл.6.1.2.

Связь вход-выходПредположим, что входной сигнал g (k ), k  0,1,... и выходной сигналx (k ), k  0,1,... принадлежат пространству оригиналов: G(z)  Z[g(k)], X (z )  Z [x(k )] .Для решения поставленной задачи применим Z -преобразование к левой и правойчастям разностного уравнения с учетом формулы опережения:Z  x k  n    z n X z   z n x 0    z x n 1 ,Z  g k  m    z mG z   z m g 0     z g m  1 .Применяя свойство линейности, получаем7a znn   a0 X z   x 0 an z n  an 1 z z 1   a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z  bm z m    b0 G z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 1    b2 z    g m  1 bm z .ОбозначимD z   an z n    a0 ;M z   bm z m    b0 ;DH z   x 0 an z n  an 1 z n 1    a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z ;D g z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 1    b2 z    g m  1 bm z .Из равенства D (z )X (z )  M (z )G (z )  DH (z )  D g (z ) находим изображение выходного сигнала:D g z D z  W z   G z  ,X z   HD z D z где функция W z  M (z ) bm z m    b0является передаточной функцией.D (z )a n z n    a0Искомый выходной сигнал x (k ) определяется с помощью обратного Z преобразования.З а м е ч а н и е.

Первое слагаемое описывает свободное движение (при ненулевыхначальных условиях и нулевом входном сигнале), а второе и третье – вынужденное (поддействием входного сигнала при нулевых начальных условиях). Если начальные условиянулевые, выходной сигнал определяется вынужденным движением. При m  0 функцияDg (z)  0 .6.1.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) входной сигнал g (k ), k  0,1,... ;б) одномерная линейная дискретная стационарная динамическая система, поведение которой описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  , k  0,1,2,  ,8где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – заданные коэффициенты; n  m ;в) начальные условия:x 0   x 0 , x 1  x1 ,  , x n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  .x 0 , x1 ,  , x n  1g (k )an x k  n     a0 x k   bm g k  m     b0 g k x (k )Рис.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти изображение входного сигнала:G (z )  Z [ g (k )] .2. Определить передаточную функциюW z  bm z m    b0a n z n    a0и функцииD z   an z n    a0 ;DH z   x 0 an z n  an 1 z n 1    a1 z  x1 an z n 1    a2 z    x n 1 an z ;D g z   g 0  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  g 1 bm z m 1    b2 z    g m  1 bm z .3. Найти изображение выходного сигнала:X z  D g z D H z . W z   G z  D z D z  X c (z )X вын ( z )4. Найти выходной сигнал, используя обратное Z -преобразование:x (k )  Z 1[ X (z )]  x c (k )  x вын (k ) .96.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций