tul3 (1014478)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3.1.2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ1.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Входные, выходные и промежуточные детерминированные сигналы в многомерных системах представляются вектор-функциями времени, например: g1 (t )  . g (t )   .  , .

 g r (t )  y1 (t )  . y (t )   .  , .  y k (t ) где g (t ) – r-мерный входной, а y(t) – k-мерный выходной сигналы. В качестве компонентвходного сигнала g (t ) могут использоваться единичные ступенчатые функции (1.2) идельта-функции (1.1).2. Описание систем. Многомерные линейные нестационарные системы в отличие от одномерных имеют r входов и k выходов (рис. 1). Они описываются уравнениямисостояния видаx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t )(1)с начальными условиямии уравнениями выходаx (t 0 )  x 0(2)y (t )  C (t ) x (t ) ,(3)где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий (управлений); y – k-мерный вектор выхода (вектор измерений); x 0 – начальное состояние; t –время; t 0 – начальный момент времени (момент подачи входного воздействия); A (t ) ,B (t ) , C (t ) – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно.g1x1y1gixiyigrxnВходСостояниеykВыходРис.

11Многомерную систему можно рассматривать как совокупность r  k одномерныхсистем, каждая из которых связывает один из r входов с одним изk выходов. Еслиr  1 и k  1 , система является одномерной. Если матрицы A (t ) , B (t ) , C (t ) не зависятот времени t , система называется многомерной стационарной.Пример. Записать уравнения состояния и выхода многомерной системы:x1  x 2  g1 ,y1  x 2x 2   x1  2 x 2  3 g1 ,в матричной форме. Определяем размерности сигналов: n  2 , r  1 , k  1 и записываем соответствующие уравнения:ddt x1   0 1   x1   1          g1, x2    1 2   x2    3 A(t )B (t )x y1  0 1  1 .

 x2 C (t )1.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходРассмотрим многомерную линейную систему, описываемую уравнениями состояния и выхода:x (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ) , x (t 0 )  x 0 ,y(t )  C (t ) x (t ) .Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемыйсуммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от каждого из воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояния линейной системы представляется в видесуммы свободного и вынужденного движений: x (t )  x“ (t )  x"/… (t ) . Аналогичное соотношение справедливо и для вектора выхода: y (t )  y “ (t )  y "/… (t ) .Свободное движение x“ (t ) ( y “ (t ) ) происходит при отсутствии внешнего воздействия ( g (t )  0 ) вследствие ненулевых начальных условий (2). Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояния (1):x (t )  A(t ) x (t )с начальными условиями x (t 0 )  x 0 .

Если начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует, т.е. x“ (t )  0 .Вынужденное движение x"/… (t ) ( y "/… (t ) ) – это реакция системы на внешнее воздействие g (t ) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения (1) при нулевых начальных условиях.2Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями (1)–(3),законы изменения векторов состояния и выхода определяются по формуламtx (t )  (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t )  C (t ) x (t )  C (t ) (t , t 0 )x 0  C (t )  (t , ) B () g () d ,t0где (t , ) – переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения (t , ) A(t ) (t , )tс начальным условием(, )  E ,где E – единичная матрица порядка n .Первые слагаемые описывают свободное движение, а вторые – вынужденное.Формулы следуют из общего алгоритма решения линейных систем обыкновенныхдифференциальных уравнений, включающего три этапа.Первый этап.

Решается однородная система дифференциальных уравненийx (t )  A(t ) x (t ),соответствующая исходной неоднородной системеx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ).Ее общее решение записывается в формеx 0 (t )  (t ) c n ci i (t ),i 1где c  (c1 ,..., c n )T – вектор произвольных постоянных, (t )  (1 ,...,  n ) – фундаментальная матрица, 1 (t ),...,  n (t ) – линейно независимые решения однородной системы.Каждый столбец i (t ) фундаментальной матрицы удовлетворяет однородной системе,т.е. справедливы равенства  i (t )  A(t ) i (t ), i  1,..., n , или  (t )  A(t ) (t ).Второй этап.

Ищется общее решение неоднородной системы методом вариациипроизвольных постоянных:x (t )  (t ) c(t ),где вектор-функция c(t )  (c1 (t ),..., c n (t ))T подлежит определению.Подставляя x (t ) в неоднородную систему, получаем (t ) c(t )  (t ) c(t )  A(t ) (t ) c(t )  B (t ) g (t ).С учетом  (t )  A(t ) (t ) имеем3(t ) c(t )  B (t ) g (t ) или c(t )   1 (t ) B (t ) g (t ).Обратная матрица  1 (t ) существует, поскольку det (t )  0 как определитель Вронского.

Интегрируя последнее соотношение, находимtc(t )  1 () B () g () d  c0 ,t0где c0 – вектор произвольных постоянных. В результате искомое общее решение имеетвидtx (t ) (t )  1 () B () g () d  (t ) c0 .t0Третий этап. Ищется частное решение неоднородной системы, удовлетворяющееначальным условиям x (t 0 )  x 0 :x (t 0 )  (t 0 ) c0  x 0 .Отсюда c0   1 (t 0 ) x 0 иtx (t )  (t )  1 (t 0 ) x 0 (t )  1 () B () g () d .t0Обозначая (t , )  (t )  1 (), получаем искомую формулу. При t   получаемначальное условие (, )  E .

Умножая уравнение  (t )  A(t ) (t ) справа на матрицу (t , ) 1 (), имеем  (t ) 1 ()  A(t )  (t ) 1 (), т.е. уравнение A(t ) (t , ) .t (t , )t(t , )З а м е ч а н и е. Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениямиx (t )  A x (t )  B g (t ) ,x(0)  x 0 ,y(t )  C x (t ) ,законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формуламtx (t )  (t ) x 0   (t  ) B g () d  ,0ty (t )  C x (t )  C (t ) x 0  C04(t  ) B g () d ,где ()  (t  ) – переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности (t , )t     . В данном случае решение уравнения A(t ) (t , ) имеет видt(t , )  e A (t  )  (t  )  () .1.2.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выходаx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ) , x (t 0 )  x 0 ,y (t )  C (t ) x (t ) ;в) вектор начальных состояний x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и векторавыходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).2. Используя соотношенияtx (t )  (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t )  C (t ) x (t )  C (t ) (t , t 0 )x 0  C (t )  (t , ) B () g () d ,t0илиtx (t )  (t ) x 0   (t  ) B g () d  ,0ty (t )  C x (t )  C (t ) x 0  C(t  ) B g () d ,0в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.5Первый способ. Если фундаментальная матрица(t )  1 (t ),... ,  n (t ) , столб-цы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений, известна, то переходная матрица находится по формуле(t , )  (t )  1 () .З а м е ч а н и е.

Общее решение однородной системы можно записать в видеx 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) ,где c1 ,... , cn – произвольные постоянные.Для стационарных систем следует выполнить действия:1. Найти корни характеристического уравненияA  E  0 ,где E – единичная матрица.2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора х, следуяизвестным правилам в зависимости от типа корней. При этом коэффициенты при различных компонентах общего решения различны.3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаяхдостаточно подставить в первые n  1 уравнений системы, что облегчает решение задачи.4.

Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в формеx 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) .В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (t , )  (t )  1 () –переходная.Второй способ. Применение теоремы разложения Сильвестра. Переходная матрицастационарной системы определяется по формуле()  eAni 1n A  Ej e i  j 1  i   jji ,где  i – собственные значения матрицы А (здесь предполагается, что они различны), а Е– единичная матрица.Третий способ. Использование теоремы Кели-Гамильтона.Рассмотрим два случая ее применения.1.

В случае различных собственных значений матрицы А :()  r0E  r1 A ... rn 1 A n 1  R ( A ) ,(*)где n – число строк матрицы А; A n 1 – (n  1) -я степень матрицы А; коэффициенты r0 ,r1 ,... , rn 1 многочлена R () находятся из системы уравнений6e i   R ( i )  r0  r1  i  ...  rn 1  i n 1 ,i  1,..., n .(**)2. В случае кратных собственных значений матрицы А формула (*) также справедлива. Корню  i кратности  в системе n уравнений (**) соответствуют соотношенияd k e d kd k R ()d k,k  0,1,...,   1 .  i7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций