tul8 (1014483)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 8.3.3. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ3.3.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания детерминированных сигналов используетсяпреобразование Фурье:G ()  F  g (t )  g (t ) e i t dt ,где g (t ) – сигнал; G () – его изображение по Фурье.В качестве моделей случайных сигналов рассматриваются стационарные одномерные случайные процессы, например G (t ) , которые имеют постоянные математические ожидания mg (t )  const , а их ковариационные функции зависят от разности аргументов t1  t 2   и поэтому являются функциями одной переменной:R g t1 , t 2   R g t1  t 2   R g   .Дисперсия стационарного случайного процесса получается при t1  t 2 , т. е.

при   0 :D g (t )  R g (0)  const .Примером стационарных случайных процессов является стационарныйбелыйшум, имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюR g ( )  S 0 ( ) , где S 0 – интенсивность белого шума.С помощью интегрального преобразования Фурье можно получить характеристикистационарных случайных процессов, эквивалентные моментным функциям.Спектральной плотностью называется преобразование Фурье ковариационнойфункции стационарного случайного процесса:  R g () e i d .S g ()  F R g () Эта функция частоты  в силу четности функции R g () является четной.

Переход отспектральной плотности к ковариационной функции выполняется с помощью обратногопреобразования Фурье:1R g () S g () e i d .2  При   0 в силу четности S g () получаем формулу для вычисления дисперсии:11D g  R g (0) S g () d 2   S g () d .012. Описание систем.

Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые обыкновенным дифференциальным уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; a0 ,  , an , b0 , , bm – постоянные коэффициенты. Если к системе приложен случайный входной сигнал, то на выходе такжеполучается случайный сигнал.

Для обозначения случайных сигналов будем использоватьпрописные буквы G (t ), X (t ) .Учтем, что для стационарных систем импульсная переходная функция k (t , ) является функцией разности t     своих аргументов: k (t , )  k ( ) , причем k()  0при   0 .Частотной характеристикой W (i) стационарной линейной системы называется преобразование Фурье импульсной переходной функции:W (i)  F k ()  k () e i d .0Существует связь между частотной характеристикой и передаточной функцией:W (i)  W (s )s i .Частотная характеристика является комплекснозначной функцией вещественногоаргумента  – частоты, изменяющейся в промежутке от 0 до   , и может быть представлена в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:W (i)  A() e i ()  A()   cos ()  i sin ()   U ()  i V () ,где A() , () – амплитудная и фазовая частотные характеристики; U () , V ()– вещественная и мнимая частотные характеристики; A()  W (i) ,()  arg W (i) , U ()  ReW (i) , V ()  Im W (i) :A() U 2 ()  V 2 () ,()  arctgV (),U ()arctgV ()  , U ()  0, V ()  0,U ()arctgV () , U ()  0, V ()  0,U (),2,2U ()  0, V ()  0,U ()  0, V ()  0,U ()  0, V ()  0.Заметим, что в начале координат arg W (i) не определен.2Частотная характеристика W (i) изображается годографом в координатах U, Vили в полярных координатах A,  , называемым амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис.

1).VW (i)V ()A()()U ()UРис. 1Методика нахождения частотных характеристик состоит в следующем:1. По дифференциальному уравнению системы найти передаточную функциюW (s ) .2. Найти частотную характеристику W (i) по формуле связи.3. Определить вещественную и мнимую, а также амплитудную и фазовую частотные характеристики по формулам.Установим физический смысл частотной характеристики.Из полученных соотношений следует, что если на вход стационарной линейнойсистемы продолжительное время (бесконечно долго) действует гармонический сигналчастоты  , то наблюдаемый выходной сигнал будет тоже гармоническим с той же частотой.

Амплитуда его отличается в A() раз, а фаза – на величину () .Приведенный анализ служит основой для экспериментального нахождения частотной характеристики. При этом на вход динамической системы при помощи генератораподается гармонический входной сигнал g t   A1  sin t . На выходе измеряются амплитуда и фаза гармонического сигнала x t   A2  sin t   , а затем вычисляется отношеAние амплитуд выходного и входного сигналов A()  2 . Повторяя описанную процеA1дуру при различных значениях частоты   [ 0,  ) , можно построить годограф частотной характеристики (рис. 2).Генератор гармоническихсигналовx (t )  A2 sin(t  )g (t )  A1 sin tСистема3VA() A2A1()1A(1 )(1 )2A(2 )( 2 )2A(2 )1(2 )W (i)A(1 )(1 )0UРис. 23.3.2.

Анализ выходных процессов при случайных воздействияхПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной стационарный случайный сигнал G (t ) с известными математическиможиданием mg и ковариационной функцией R g ( ) ;б) линейная стационарная система, описываемая дифференциальным уравнением.Она должна быть устойчивой.Требуется найти математическое ожидание mx , ковариационную функцию Rx ()и дисперсию D x выходного сигнала X (t ) в стационарном режиме (при t    ).СВЯЗИ ВХОД-ВЫХОДРассматривается линейная стационарная система, описываемая уравнениемan  X (n ) (t )    a0  X (t )  bm  G (m) (t )    b0  G (t ).Так как система устойчива, то в стационарном режиме при t    сигналы практически не изменяются.

Применяя операцию нахождения математического ожидания клевой и правой частям уравнения с учетом m g  const , получаем связь между математическими ожиданиями входного и выходного сигналов:a0  m x  b0  m gилиmx b0a0 mg .Установим связь между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе.S x ()  W (i)  W * (i)  S g ()  | W (i) | 2  S g () .где W * (i) и W (i) связаны как комплексные сопряженные выражения.4АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти спектральную плотность входного сигнала S g () по формуле  Rg () e i d .S g ()  F R g () Так как функция R g ( ) четная, т.е. R g ( )  R g () , то может быть использована эквивалентная формула косинус-преобразования Фурье:S g ()  2  R g () cos () d .02. Определить частотную характеристику системы W (i) .3. Найти математическое ожидание выходного сигнала в стационарном режимеbmx  0 mg .a04. Вычислить спектральную плотность выходного сигнала по формулеS x ()  | W (i) | 2 S g () .5.

Найти ковариационную функцию Rx ( ) и дисперсию D x выходного сигнала поформулам1R g () S g () e i d ,2 11D g  R g (0) S g () d 2   S g () d .0Здесь иногда полезным оказывается представление спектральной плотности в видеS x ()  Sˆx (i)  Sˆx (i) .Тогда, заменяя i  s и применяя обратное преобразование Лапласа, имеем L1 Sˆ (s ) , x R x ()   1  ˆ L S x ( s ) ,  0,  0.53.3.3. Анализ устойчивостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть дана линейная одномерная стационарная система управления, описываемаяструктурной схемой, изображенной на рис. 3,а или 3,б, с известной передаточной функцией W (s ) .Требуется исследовать, является ли система устойчивой.ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИАнализ устойчивости линейных стационарных систем управления удобно проводить на основе двух частотных критериев. Критерий Михайлова применяется для систем(рис.

3,а) с известной частотной характеристикой W (i) , а критерий Найквиста  Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы (рис. 3,б) по частотнойхарактеристике W (i) разомкнутой системы.gW(s)xW(s)gаxбРис. 3Методика применения частотных критериев использует следующее построение.Пусть задана функция z  f (s ) комплексного переменного s , аналитическая на всейкомплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных полюсов. Еслидля каждого действительного значения  из промежутка [ 0;  ) определен аргументкомплексного числа f (i) , то можно вычислить приращение  Arg f (i) функции0  Arg f (i) при изменении частоты  от 0 до   .

Если же при некоторых значениях из промежутка [ 0;  ) функция Arg f (i) не определена, т.е. f (i)  0 или f (i)   ,то промежуток [ 0;  ) следует разбить на интервалы, исключив недопустимые значения  , вычислить величину приращения  Arg f (i) на каждом интервале, а затем полученные величины приращений сложить. Описанная процедура легко выполняется, еслипостроить годограф функции f (i) при изменении частоты  от 0 до   . Тогда приращение  Arg f (i) находится как величина  угла поворота радиус-вектора, конец которого перемещается по годографу функции f (i) при возрастании частоты от 0 до   :   Arg0    6f (i) .В этом случае говорят, что годограф f (i) охватывает точку z  0 на угол  .При вычислении величины  поворот радиус-вектора против часовой стрелки считаетсяположительным, а по часовой стрелке  отрицательным.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций