tul5 (1014480)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5.Глава 2. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ2.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ2.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Для описания сигналов используются функции времени(см. разд. 1.1.1). Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие в видедельта-функции и единичную ступенчатую функцию. Им соответствуют две системныехарактеристики: импульсная переходная и единичная переходная функции.2.

Описание систем. Рассматривается поведение линейной одномерной нестационарной системы управления, описываемой дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )  ...  b0 (t ) g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1),где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; an (t ),..., a0 (t ) , bm (t ),..., b0 (t ) – коэффициенты, зависящие от времени t ; t0 – начальный момент времени (как правило, моментподачи входного сигнала).Импульсной переходной (весовой) функцией линейной системы называется реакция k (t , ) системы на воздействие в виде дельта-функции g (t )  (t  ) при нулевыхначальных условиях.

Мгновенное значение k (t , ) импульсной переходной функции зависит от момента t наблюдения реакции системы и от момента  приложения импульсного воздействия (рис. 1,а). Импульсная переходная функция k (t , ) , рассматриваемаякак функция аргумента t при фиксированном значении  , называется нормальной импульсной реакцией системы (рис. 2). При фиксированном значении t функция k (t , ) аргумента  называется сопряженной импульсной реакцией.(t  )kk(t  )k (t , )t0k (t  )tа0tбРис. 11Единичной переходной функцией линейной системы называется реакция h(t , )системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции g (t )  1 (t  ) при нулевых начальных условиях.З а м е ч а н и я.1. Поскольку следствие – появление ненулевого выходного сигнала – не можетопережать по времени причину – приложение входного воздействия – переходные функции удовлетворяют условию физической реализуемости (рис.

2):k (t , )  0 при t   ;h(t , )  0 при t   .k (t , )Нормальная импульснаяреакцияСопряженная импульснаяреакцияtt Рис. 22. Для линейных стационарных систем, описываемых уравнениемan x (n ) (t )  ...  a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) ,где an ,..., a0 , bm ,..., b0 – постоянные коэффициенты, мгновенное значение k (t , ) импульсной переходной функции зависит только от промежутка времени   t   , прошедшего после приложения импульсного воздействия (рис.1,б):k (t , )  k (t  ) илиk (t , )  k () ,   t   .Единичная переходная функция h(t , ) стационарной системы также зависит только от разности своих аргументов:h(t , )  h(t  ) или2h(t , )  h() ,   t   .2.1.2.

Связи вход-выходПусть импульсная переходная функция k t ,  системы известна. Получим формулу, позволяющую находить реакцию x t  системы на воздействие g t  при нулевых начальных условиях.По определению импульсная переходная функция k t ,   , рассматриваемая какфункция аргумента t (нормальная импульсная реакция), является решением дифференциального уравнения при воздействии g t   t    , где  – фиксированный моментприложения дельта-функции:an t d n k t , dt n   a0 t  k t ,   bm t d m t  dt m   b0 t  t    ,с нулевыми начальными условиямиk t , t  t0d k t ,  0,dtt t0d n k t ,  dt nt0 bm t t  t0 0.g  d    a0 t   k t ,  g   d t0d m t   dt mt0d t n 1на функцию g   и проинтегрируем по Умножим обе части уравнения( t 0      ):an t  0 , ...

,d n 1 k t ,  g   d    b0 t  t   g  d .t0Поменяем порядок операций дифференцирования и интегрирования, так как онивыполняются по разным аргументам:an t  bm t dndt ndmdt mt0t0 k t,  g  d    a0 t   k t,  g  d t0t0 g  t   d    b0 t   g  t   d .Используя определение дельта-функции, имеемan t dndt nt0k t ,  g   d    a0 t   k t ,   g  d  bm t  g m  t   ...

 b0 t  g t  .t0Заметим, что правая часть полученного уравнения совпадает с правой частьюуравнения исходной системы. Следовательно, решение x t  уравнения имеет видx t   k t,  g d .t03Учитывая условие физической реализуемости ( k t ,   0 при t   ), интервал интегрирования можно уменьшить:x t  t k t,  g d .(*)t0Формула (*) – это связь вход-выход, которую устанавливает импульсная переходная функция. Реакция x t  представляет собой вынужденное движение системы, т.е. решение исходного уравнения с нулевыми начальными условиями:x (t 0 )  0, x (t 0 )  0,..., x (n 1) (t 0 )  0 .Рассмотрим случай стационарной системы, которая описывается уравнением с постоянными коэффициентами.

Свойства такой системы, разумеется, не меняются с течением времени. Поэтому в качестве начального момента времени t 0 выбирают равный нулю. С учетом свойства k (t , )  k (t  ) стационарной системы формула (*) связи входвыход принимает видx t  tt k t   g d   k  g t  d .0(**)0Связь (*) показывает, что реакция системы в момент времени t определяетсявходным сигналом не только в этот момент времени, но и во все прошлые моменты.Памятью системы называется отрезок времени, отсчитываемый от настоящегомомента времени t в прошлое, за пределами которого значения входного сигнала практически не влияют на значение выходного сигнала в момент t .

Память системы определяется сопряженной импульсной реакцией. Пусть, например, две системы имеют импульсные переходные функции k1 t ,   и k 2 t ,  , причем сопряженные импульсные реакции при фиксированном t имеют вид, изображенный на рис. 3. Тогда можно сказать, чтопамять у первой системы меньше, чем у второй.kk 2 (t , )k1 (t , )tРис. 3Поясним, почему импульсная переходная функция также называется весовой.Для этого запишем приближенное равенство для выходного сигнала, заменив интеграл в(*) интегральной суммой. Разбивая отрезок интегрирования точками k  t0  k   ,t  t0k  0, 1,..., m , на m интервалов длиной  , получаемm4x t  m 1 k t, k  g k   .k 0Величина k t , k  определяет, с каким весом входит значение входного сигналаg k  в реакцию x t  .

В этом смысле импульсную переходную функцию называют весовой функцией системы.2.1.3. Нахождение переходных функцийНАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙПО УКОРОЧЕННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮРассмотрим случай, когда система управления описывается укороченным дифференциальным уравнением:an (t ) x (n ) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  g (t ) .Импульсную переходную функцию k (t , ) системы можно искать несколькимиспособами.Первый способ. Пусть 1 t  , 2 t  ,..., n t  – фундаментальная система решенийоднородного уравнения.1 t  1n 1k t ,  an    n t 1 1 1n  2    n  n  t  .  nn  2   где  – определитель Вронского:  1  1  n n  .1n 1    nn 1 Заметим, что при t   согласно условию физической реализуемости k t ,   0 .Второй способ.Начальными значениями импульсной переходной функции и ее производных называются правосторонние пределы этих функций при t    0 .5Импульсная переходная функция k t ,   является решением однородного дифференциального уравненияan (t ) x (n ) (t )  ...

 a0 (t ) x (t )  0при ненулевых начальных значениях:jtjk (t , )t 0 0, j  0,1,..., n  2 , 1 a () , j  n  1 . nТретий способ..1. Сначала найти единичную переходную функцию ht ,  системы как решениенеоднородного уравненияa n (t )nh(t , )  ...  a 0 (t ) h(t , )  1t nпри нулевых начальных условияхh(t , )t  0, h(t , )t2. Используя связь k t ,   t  0,..., n 1h(t , ) t n 1t  0,ht ,   , найти импульсную переходную функцию.НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ОБЩЕГО ВИДА1. Определяется импульсная переходная функция k0 (t , ) системы, описываемойукороченным дифференциальным уравнением. Это можно сделать одним из трех рассмотренных выше способов.2. Находится искомая импульсная переходная функция по формулеk t ,    1m6mm k0 t,  bm    ...  k0 t,  b0 при t   .НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫРассмотрим особенности нахождения импульсной переходной функции стационарной системы управления, описываемой уравнениемan x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) .Переходные функции k t ,  и ht ,  стационарной системы зависят только от разности аргументов   t   , т.е. k   k t   и h  ht   .Связь между переходными функциями принимает видk  dh .dПервый способ.1.

По корням 1 ,...,  n характеристического уравнения an n  ...  a0  0 определить фундаментальную систему решений 1 (t ),...,  n (t ) . При этом каждому действительному корню  кратности p соответствует p линейно независимых решенийe t , t e t ,..., t p 1e t , а каждой паре     i  комплексных сопряженных корней кратно-стиpотвечают2pлинейно независимых решенийe t sin t ,..., t p 1e t sin  t ;e t cos t ,..., t p 1e t cos  t .2. Определив n линейно независимых решений 1 (t ) ,..., n (t ) однородного урав-нения, получить импульсную переходную функцию k0  системы, описываемой укороченным дифференциальным уравнениемk 0 () 1an 1 (0)1 (0) n (0)n (0)1(n  2) (0)(nn  2) (0)1 () n (), 1 (0)1 (0)n (0)n (0).1(n 1) (0)  (nn 1) (0)3.

Найти импульсную переходную функцию k () системы, учитывая ее связь симпульсной переходной функцией k0 () соответствующего укороченного дифференциального уравнения:k ()  bm k 0m  ()  ...  b0 k 0 () .Пример. Найти импульсные переходные функции элементарных звеньев. Усилительное звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )  K (t ) (t  ) .Дифференцирующее звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )   (t  ) .Интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение при g (t )  (t  ) имеетрешение k (t , )  1 (t  ) .7Второй способ.1. Решить задачу Коши:an h0(n ) ()  ...  a0 h0 ()  1,h (0)  h (0)  ...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций