tul2 (1014477)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2.1. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ1.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы, действующие в системах управления, во временной области описываются различными функциями, в том числе обобщенными. Выделяютдва типовых сигнала: импульсное воздействие, которое описывается дельта-функцией(t  ) , и единичную ступенчатую функцию 1 (t  ) .1. Дельта-функция (асимметричная) определяется формулой [20]ba f (  0) ,   [a, b ),f (t ) (t  ) dt   0 ,   ( , a)  [b,  ),(1)справедливой для любой кусочно-непрерывной функции f (t ) .Аналогично определяются производные дельта-функции:bf (t ) a(k ) (1)k f (k ) (  0) ,   [a, b ),(t  ) dt   0 ,   ( , a)  [b,  ),где f (t ) – любая функция, имеющая кусочно-непрерывную производную соответствующего порядка.2.

Единичная ступенчатая функция 1 ,1 (t  )   0 ,t  ,t  .(2)Момент  соответствует моменту приложения входного воздействия к системеуправления (рис. 1).Типовые сигналы связаны соотношением1(t  )t1 (  ) d  1(t  ) ,tт.е. дельта-функцию (t  ) можно считатьпроизводной от единичной ступенчатой функции 1(t  ) .Рис. 12. Описание систем. Непрерывныепроцессы, протекающие в системах управления, могут быть описаны обыкновеннымидифференциальными уравнениями с соответствующими начальными условиями. Тогда,1если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решениязадачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.Одномерная линейная непрерывная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнениемan (t )d n x (t )dt n   a0 (t ) x (t )  bm (t )d m g (t )dt m   b0 (t ) g (t )(3)с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,(4)где g (t ) – входной сигнал; x (t ) – выходной сигнал; t – время; an (t ) ,..., a0 (t ) ,порядкиbm (t) ,..., b0 (t ) – коэффициенты левой и правой частей уравнения; n и m –старших производных выходного и входного сигналов соответственно; t 0 – момент начала функционирования системы.Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:and n x (t )dt n   a0 x (t )  bmd m g (t )dt m   b0 g (t ) .(5)В операторной форме уравнение (1.3) имеет видD(p,t) x(t) = M(p,t) g(t),d– символ, обозначающий операцию дифференцирования; D(p,t), M(p,t) – дифdtференциальные операторы левой и правой частей уравнения (1.3):где p D ( p, t )  an (t ) p n  a1 (t ) p  a0 (t ) ,M ( p, t )  bm (t ) p m  b1 (t ) p  b0 (t ) .Уравнение (1.5) в операторной форме имеет видD ( p) x (t )  M ( p ) g (t ) ,(6)где D ( p)  a n p n  a1 p  a 0 , M ( p)  bm p m  b1 p  b0 .Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах (рис.

2).gM ( p)D ( p)Рис. 22xСложные системы управления, как правило, состоят из элементарных и типовыхзвеньев.1. Усилительное звено (рис. 3,а) описывается уравнениемx (t )  K (t ) g (t ) ,(7)где K (t ) – коэффициент усиления. Если звено стационарное, то K (t )  K  const .Примеры усилительных звеньев:а) трансформатор (рис. 3,б), где выходное напряжение связано с входным соотношением: U "/.

(t )  KU ". (t ) ;б) редуктор (рис. 3,в), где угловые скорости выходного и входного вала связанычерез соотношение чисел зубьев шестерен:nn2  1 1  K (t ) 1 ,K (t )  K  1 .n2n22n1g (t )K (t )x (t )U ".U "/.1аn2бвРис. 32. Дифференцирующее звено (рис. 4) описывается уравнениемd g (t ).dtx (t ) (8)Выходной сигнал равен производной входного сигнала. Уравнение (8) в операторнойформе имеет вид x (t )  p g (t ) .g (t )px (t )g (t )1px (t )MаРис.

4бРис. 53. Интегрирующее звено (рис. 5,а) описывается уравнениемd x (t ) g (t ).dt(9)3Выходной сигнал получается в результате интегрирования входного. В операторной форме уравнение (9) имеет видp x (t )  g (t )илиx (t ) 1g (t ) .pДля примера рассмотрим процесс изменения угловой скорости  диска с моментоминерции J под действием управляющего момента внешних сил М из состояния покоя(рис. 5,б).dУравнение вращательного движения: J M , (t 0 )  0 .

Отсюда имеемdtMd M, а если положить x   , g , получаем уравнение (9).dtJJ4. Звено чистого запаздывания описывается уравнением x (t )  g (t  ) , гдевеличина запаздывания выходного сигнала относительно входного. –5. Апериодическое звено (рис. 6,а) описывается уравнениемTd x (t ) x (t )  g (t ),dt(10)где Т – действительное положительное число, называемое постоянной времени. Операторная форма записи уравнения (10) имеет вид(Tp  1) x (t )  g (t ) .В качестве примера рассмотрим схему с заданным сопротивлением R и емкостью C(рис.

6,б). В начальный момент времени емкость не заряжена.Rg (t )1Tp  1UCx (t ) U ".iаU ". (t )U "/.U "/. (t )tT  RCбвРис. 6Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения при условии подачи на вход постоянного напряжения единичнойвеличины.Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток инапряжение на емкости, и начальные условия:4U вых  iR  U вх ,i CdU вых,dtU вых (t 0 )  U вых (0)  0 .Отсюда следуетRCdU вых (t )dtU вых (0)  0 . U вых (t )  U вх (t ) ,Используя обозначения T  RC , x  U "/. , g  U ".

, получаем уравнение вида(10). Если g (t )  U ". (t )  1 (t ) , то решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет видx (t )  U вых (t )  1  etT,t  0.На рис. 6, в изображены входной и выходной (заметим, что он непериодический) сигналы.6. Колебательное звено (рис. 7,а) описывается уравнениемT2d 2 x (t )dt2dx (t ) x (t )  g (t ),dt 2T(11)где T  0 – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования,   1 .Для примера рассмотрим схему с известными параметрами R, L, C (рис. 7,б).

Вначальный момент времени ток в цепи отсутствует, а емкость не заряжена. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения.UU ". (t )RL1g (t )1T 2 p 2  2  Tp  1Cx (t ) U ".U "/. (t )U "/.tiабвРис. 7Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток инапряжение на емкости, и начальные условия:diL iR  U вых  U вх , U вых (0)  0,dtd U выхi C, i (0)  0 .dt5Отсюда получаемLCd 2U вых (t ) RCdt 2dU вых (t )dt U вых (t )  U вх (t ).R C, U "/.  x , U ".

 g .Гра2 Lфик типовой реакции рассматриваемой схемы на единичное ступенчатое входное напряжение при комплексных корнях характеристического уравнения с отрицательной вещественной частью и нулевых начальных условиях изображен на рис. 7,в.По сравнению с (11) здесь T  LC ,  7. Неустойчивое апериодическое звено (рис. 8,а) описывается уравнениемTd x (t ) x (t )  g (t ),dtгде T  0 – число, называемое постоянной времени.8. Неустойчивое колебательное звено (рис. 8,б) описывается уравнениемT2d 2 x (t )dt2 2Td x (t ) x (t )  g (t ),dtгде T  0 – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования.9. Дифференцирующее звено первого порядка (рис. 8,в) описывается уравнениемx (t )  Td g (t ) g (t ),dtгде Т – постоянная времени.10.

Дифференцирующее звено второго порядка (рис. 8,г) описывается уравнениемx (t )  Tg1T p 1xg2d 2 g (t )dt12 2TxT 2 p 2  2Tp  1gd g (t ) g (t ).dtTp  1xgT 2 p 2  2Tp  1xРис. 8З а м е ч а н и е. Первые четыре звена называются элементарными, так какони не могут быть представлены через другие звенья.61.1.2.

Связь вход-выходРассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )    a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )    b0 (t ) g (t ) ;(12)с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) .(13)Требуется по заданному входному сигналу и начальным условиям найти выходнойсигнал.Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемыйсуммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов каждого из воздействий в отдельности. Поэтому выходной сигнал линейной системы представляется в виде суммысвободного и вынужденного движений:x (t )  xc (t )  x"/… (t ) .(14)Свободное движение xc (t ) происходит при отсутствии внешнего воздействия( g (t )  0 ) вследствие ненулевых начальных условий.

Оно является решением однородного дифференциального уравнения, соответствующего исходному уравнению системы:an (t ) x (n ) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  0(15)с начальными условиями (13). В случае, когда начальные условия нулевые, свободноедвижение в системе отсутствует ( x c (t )  0 ).Вынужденное движение x "/… (t ) происходит вследствие внешнего воздействияg (t ) при нулевых начальных условиях.

Оно является решением неоднородного уравнения (12) при нулевых начальных условиях. Вынужденное движение x"/… (t ) отлично отнуля только после приложения внешнего воздействия. Подчеркивая эту причинноследственную связь, вынужденное движение системы при внешнем воздействии, отличном от нуля при t  t 0 , будем обозначать x"/… (t )  1 (t  t 0 ) , где 1 (t  t 0 ) – единичная ступенчатая функция (2).Выходной сигнал системы будет иметь видx (t )  x“ (t )  x"/… (t )  1 (t  t 0 ) ,(16)где функции x“ (t ) , x"/… (t ) можно считать n раз непрерывно дифференцируемыми.З а м е ч а н и я.1. Общее решение однородного уравнения (15) находится по формулеx 0 (t )  c1 1 (t )    c n  n (t ) ,(17)где c1 ,...

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций