tul7 (1014482)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7.3.1.5. Анализ устойчивостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается одномерная линейная стационарная система, описываемая передаточной функциейW (s ) bm  s m    b0na n  s    a0M (s ).D (s )Требуется определить, является ли система асимптотически устойчивой.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИПри решении поставленной задачи используется следующий факт: корни характеристического многочлена D (s )  an  s n    a0 (или, что то же самое, корни характеристического уравнения an  n    a0  0 ) являются полюсами передаточной функции.В общем случае характеристический многочлен имеет n корней s1 ,  , s n .Для асимптотической устойчивости одномерной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции имели отрицав левой потельные действительные части: Re s i  0, i  1,  , n , т.е.

располагалисьлуплоскости комплексной плоскости.Пример 1. Исследовать устойчивость системы, заданной передаточной функциейs 1W (s ) .(s 2  s  5)  (s  3) Найдем полюсы передаточной функции, т.е. корни характеристического многочлена: D (s )  (s 2  s  5)  (s  3)  0 . Получаем s1,2  1  2i , s 3  3 . Так как все полюсы лежат в левой полуплоскости, то исследуемая система является асимптотически устойчивой.Пример 2. Исследовать устойчивость разомкнутой и замкнутой системы, заданнойструктурной схемой (рис.1 ).g1s 1x2Рис. 11 Сначала исследуем разомкнутую систему (линия размыкания изображена пунк2, то полюс петиром). Так как передаточная функция разомкнутой системы W p (s ) s 1редаточной функции s1  1  0 . Поэтому разомкнутая система неустойчива.11.Исследуем замкнутую систему.

Получаем W ( s )  s  1 1s 112s 1Полюс s1  1 передаточной функции лежит в левой полуплоскости, поэтомузамкнутая система асимптотически устойчива. Заметим, что путем введения отрицательной обратной связи неустойчивую систему удалось сделать устойчивой.3.1.6. Анализ чувствительностиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается линейная стационарная система, заданная структурной схемой сизменяемыми параметрами.Способность динамических характеристик системы меняться при малом изменениипараметров называется чувствительностью.Требуется установить степень чувствительности системы к изменению выбранныхпараметров.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯЯ ЗАДАЧИ1.

Выбрать изменяемый параметр и исследуемую характеристику. С использованием связи вход-выход составить формулу, отражающую их взаимозависимость.2. Малым изменениям параметров придать смысл вариаций относительно заранеезаданных значений.3. Найти зависимость вариации исследуемой характеристики от вариации изменяемого параметра – функцию чувствительности.

Провести качественный анализ полученной зависимости.Пример 3. Дана система, описываемая структурной схемой (рис. 2).gyxW1 (s )W 0 (s )W 2 (s )Рис. 2Передаточные функции объекта и регуляторов имеют вид2W 0 (s )  k 0 W 00 (s ),W1 (s )  k1 W10 (s ),W 2 (s )  k 2 W 20 (s ).где k1 и k 2 – коэффициенты усиления регуляторов, а k 0 – изменяемый параметр.Требуется исследовать влияние вариации параметра k 0 прямой цепи на изображение выходного сигнала системы. Согласно постановке задачи, изменяемым параметром является k 0 , а исследуемой характеристикой – выходной сигнал. Используем связь вход-выход:X (s )  W (s )  G ( s ) W1 ( s )  W 0 ( s ) G (s ) 1  W1 ( s )  W 0 ( s )  W 2 ( s )W1 (s )  k 0  W 00 (s ) G (s ).1  W1 (s )  k 0  W 00 (s )  W 2 (s )2. Придадим малым изменениям параметра k 0 смысл вариаций k 0 .3. Найдем связь вариаций k 0 с вариациями выходного сигнала:X (s )  [W (s )  G (s ) ] k0  k0W1 (s )  W 00 (s )  [ 1  W1 (s )  k0  W 00 (s )  W 2 (s ) ]  W1 (s )  k0  W 00 (s )  W1 (s )  W 00 (s )  W 2 (s )[ 1  W1 (s )  k0  W 00 (s )  W 2 (s ) ]2 G (s )  k0 W1 (s )  W 00 (s )[ 1  W1 (s )  k0 W 00 (s )  W 2 (s ) ]2 G (s )  k0 .Учитывая вид передаточных функций регуляторов, получаем:X (s ) k1  W10 (s )  W 00 (s )[ 1  k1  W10 (s )  k 0  W 00 (s )  k 2  W 20 (s ) ]2 G (s )  k 0 .При k 2   вариация выходного сигнала X (s )  0 , т.е.

при увеличении коэффициента усиления k 2 влияние вариации k 0 изменяемого параметра k 0 уменьшается.Заметим, что влияние коэффициента k1 аналогично. При отсутствии цепи обратной связиописанное свойство не выполняется.На основании проведенных рассуждений можно сформулировать характерноесвойство соединения с обратной связью: обратная связь компенсирует влияние вариациипараметров прямой цепи на выход системы.Пример 4. Дана система, описываемая структурной схемой (рис. 3).3fgW1 (s )xW 0 (s )W 2 (s )yРис. 3ПередаточныефункциирегуляторовимеютW 2 (s )  k 2 W 20 (s ) , где k1 и k 2 – коэффициенты усиления.видW1 (s )  k1 W10 (s ),Требуется исследовать влияние внешнего возмущения f на изображение выходного сигнала системы. 1.

Согласно постановке задачи изменяемым параметром является f , а исследуемой характеристикой – выходной сигнал. Используя связь вход-выход с применением передаточной функции по возмущению при отсутствии сигнала g , имеем:X (s ) W 0 (s )1  W 0 (s )  W1 (s )  W 2 (s ) F (s ).2.

Придадим малым изменениям внешнего возмущения f смысл вариаций f(при использовании преобразования Лапласа F ).3. Найдем связь вариаций внешнего возмущения с вариациями выходного сигнала:X (s ) FW 0 (s )W 0 (s ) F (s )  F  F 1  W 0 (s )  W1 (s )  W 2 (s )1  W 0 (s )  W1 (s )  W 2 (s )W 0 (s ) F .1  W 0 (s )  k1  W10 (s )  k 2  W 20 (s )При k 2   вариация выходного сигнала X (s )  0 , т.е. при увеличении коэффициента усиления k 2 уменьшается влияние изменений внешнего возмущения. Заметим,что влияние коэффициента k1 аналогично. При отсутствии цепи обратной связи описанное свойство не выполняется.На основании проведенных рассуждений можно сформулировать еще одно характерное свойство соединения с обратной связью (первое свойство сформулировано и доказано при решении примера 3): в замкнутой системе подавляется влияние внешних возмущений, действующих в прямой цепи.43.2.

МНОГОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ.ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА3.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Используется преобразование Лапласа сигнала g (t ) :G (s )  Lg (t ) g (t ) e  st dt ,0где g (t ) – r-мерная вектор-функция; G (s ) – ее изображение по Лапласу.2. Описание систем. Рассматриваются линейные стационарные многомерные системы, описываемые уравнениями:x (t )  A x (t )  B g (t ) , x(0)  x 0 ;y (t )  C x (t ) ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий; y – kмерный вектор выхода; x 0 – начальное состояние; t – время, t 0  0 – начальный моментвремени; A, B, C – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно.Импульсные переходные функции по состоянию и выходу стационарной системыявляются функциями разности t     своих аргументов:K x (t , )  K x (t  )  K x () ,K y (t , )  K y (t  )  K y () .Передаточной функцией W x (s ) стационарной линейной многомерной системыпо состоянию называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции посостоянию:xxW (s )  L K () K x () e  sd .0Передаточной функцией W y (s ) стационарной линейной многомерной системыпо выходу называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции по выходу:W y (s )  L K y () K y () e  sd .0Передаточные функции W x (s ) , W y (s ) представляются матрицами размера( n  r ), ( k  r ) соответственно, элементы которых являются функциями комплексногопеременного s .

Они могут быть найдены по формуламW x (s )   sE  A  B ,1W y (s )  C  sE  A  B .1З а м е ч а н и е. Еще один способ нахождения переходной матрицы:5()  L1 sE  A  ,1где L1 – обратное преобразование Лапласа.3.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходПрименяя преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнений состояния ивыхода, имеемsX (s )  x 0  A X ( s )  B G (s ) ,Y (s )  C X (s ) ,где X (s )  L x (t ) , Y (s )  L y (t ) , G (s )  L g (t ) – изображения по Лапласу векторовсостояния, выхода и входа.

ОтсюдаX (s )   sE  A  x 0   sE  A  B G (s ) ,11Y (s )  C  sE  A  x 0  C  sE  A  B G ( s ) .11Учитывая определения передаточных функций по состоянию и выходу, получаемискомые связи вход-состояние и вход-выход:X (s )   sE  A  x 0  W x ( s ) G (s ) ,1Y (s )  C  sE  A  x 0  W y (s ) G (s ) .1Первые слагаемые представляют собой изображения по Лапласу свободного движения, авторые – вынужденного.3.2.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) линейная стационарная многомерная система, описываемая уравнениями;в) начальные условия x (0)  x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и вектора выходаy (t ) .6АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти изображение входного сигнала: G (s )  L g (t ) .2.

Найти матрицы  sE  A  , C  sE  A 11и передаточные функции по формуламW x (s )   sE  A  B ,1W y (s )  C  sE  A  B .13. Используя связи вход-состояние и вход-выход, найти изображение по Лапласузаконов изменения векторов состояния и выхода:X (s )  sE  A 1 x 0  W x (s ) G (s ) ,  X c (s )X вын ( s )Y (s )  C sE  A 1 x 0  W y (s ) G (s ) .  Yc ( s )Y вын ( s )4. Найти законы изменения векторов состояния и выхода с помощью обратногопреобразования Лапласа:x (t )  L1 X (s )  x c (t )  x вын (t ) ,y (t )  L1 Y (s )  yc (t )  y вын (t ) .При выполнении пп.

1 и 4 применяются табл.1 преобразования Лапласа и его свойства.7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций