tul6 (1014481)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 6.2.2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ2.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы, действующие в системе, описываются функциями времени (см. разд. 1.2.1). Среди них выделяют два типовых сигнала: импульсное воздействие в виде дельта-функции (t  ) и единичную ступенчатую функцию 1(t  ) .2. Описание систем. Многомерные нестационарные системы описываются уравнениями состояния и выхода:x (t )  A(t ) x (t ) + B (t ) g (t ) ,y t   C t  x t  ,где x – n -мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий; y – k мерный вектор выхода; t – время; A(t ) , B (t ) , C (t ) – матрицы размера (n  n) , (n  r ) ,(k  n) соответственно.Преобразование сигналов в системе отражено на рис.

1.Закон изменения i-й координаты вектора состояния при воздействииg j (t )  (t  ) на j-м входе, нулевых воздействиях на остальных входах и нулевых начальных условиях называется импульсной переходной функцией по состояниюK ixj (t , ) , i  1, , n ; j  1, , r .Закон изменения p-й координаты вектора выхода при воздействии g j (t )  (t  )на j-м входе, нулевых воздействиях на остальных входах и нулевых начальных условияхназывается импульсной переходной функцией по выходу K py j (t , ) , p  1,..., k ;j  1, , r .Импульсные переходные функции по состоянию и выходу представляются матри-цами K x (t , ) K ixj (t , ) , K y (t , ) K py j (t , )размера (n  r ) , (k  r ) соответст-венно.

Как и в случае одномерных систем (см. разд. 2.1.1), импульсные переходныефункции удовлетворяют условию физической реализуемости:K x (t , )  0 при t   ,K y (t , )  0 при t   ,а для стационарных систем, описываемых уравнениямиx (t )  A x (t )  B g (t ) ,y (t )  C x (t ) ,1зависят только от разности t     своих аргументов:K x (t , )  K x (t  )  K x () ,K y (t , )  K y (t  )  K y () .2.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходИмпульсные переходные функции позволяют определить законы изменения векторов состояния и выхода при нулевых начальных условиях, т.е. вынужденное движениесистемы.Для многомерных нестационарных систем они находятся по формуламtx (t ) =txK (t , ) g () d ,y (t ) =t0K y (t , ) g () d ,(*)t0где t0 – момент начала функционирования системы (возможен случай t0    ).Для многомерных стационарных систем законы изменения векторов состояния ивыхода находятся по формуламtx (t ) 0ty (t ) 0tK (t  ) g () d   K x () g (t  ) d ,x0t(**)K y (t  ) g () d   K y () g (t  ) d.02.2.3.

Нахождение импульсных переходных функцийСравнивая (*) с формулой Коши при нулевых начальных условиях, получаем формулы для нахождения импульсных переходных функций:K x (t , )  (t , ) B () ,K y (t , )  C (t ) (t , ) B () ,где (t , ) – переходная матрица.Для стационарных систем имеемK x ()  () B ,K y ()  C () B .2.2.4. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть заданы:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выхода;в) нулевые начальные условия.Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и вектора выходаy (t ) .2АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти переходную матрицу (одним из трех способов).2. Найти импульсные переходные функции.3. Определить законы изменения векторов состояния и выхода системы по формулам (*) или (**).Глава 3. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ3.1. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ПРИМЕНЕНИЕПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА3.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов.

Для описания сигналов используется преобразование Лапласа:G (s )  L[ g (t )] g (t ) e  st dt ,0где g (t ) – сигнал (оригинал); G (s ) – его изображение по Лапласу.2. Описание систем. Рассматриваются линейные одномерные стационарные системы управления, описываемые дифференциальным уравнениемan x (n) (t )    a0 x (t )  bm g (m) (t )    b0 g (t ) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; m и n – порядки старших производныхвходного и выходного сигналов соответственно; an ,  , a0 , bm ,  , b0 – коэффициенты,не зависящие от времени.Импульсная переходная функция k (t , ) стационарной системы является функциейразности своих аргументов k (t , )  k () ,   t   (см.

разд. 2.1.1).Передаточной функцией W ( s ) стационарной линейной системы называется преобразование Лапласа импульсной переходной функции k () :W (s )  L[k ()]  k () e sd .0Передаточная функция является функцией комплексного переменного s .По дифференциальному уравнению системы передаточная функция находится следующим образом:3M ( p)W (s ) D ( p)psbm s m    b1 s  b0an s n    a1 s  a0,(*)где D ( p)  an p n  a1 p  a0 ; M ( p)  bm p m  b1 p  b0 – дифференциальные операторы левой и правой части уравнения.Корни числителя передаточной функции, удовлетворяющие уравнению M (s )  0 ,называются нулями передаточной функции.

Корни знаменателя передаточной функции,удовлетворяющие уравнению D (s )  0 , называются полюсами передаточной функции.При выводе формулы предполагается, что на вход системы, описываемой уравнением, подается сигнал g ()  () при нулевых начальных условиях. Поэтому выходомсистемы является импульсная переходная функция k () :an k (n ) ()  ...

 a0 k ()  bm  (m) ()  ...  b0 () ,k (i ) (0)  0,i  1,..., n  1 .Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения, используясвойства:а) линейности:nL[  ck f k () ] k 1n ck L[ f k ()] ,k 1где f1 (),..., f n () – оригиналы; c1 ,..., c n – числа;б) дифференцирования оригинала:L[ x (n ) (t )]  s n X (s )  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) ,где X (s )  L[x (t )] , а x (0)  x 0 , x (0)  x 0 ,..., x (n 1) (0)  x 0(n 1) – начальные условия. Принулевых начальных условиях справедливо равенствоL[ k (i ) () ]  s i L[ k () ]  s i W (s ),L[ x (n ) (t )]  s n X (s ) , например,i  1,..., n;в) преобразования дельта-функции и ее производных:L[ () ]  1,L[  ( j ) () ]  s j , j  1,..., m .В результате получаемan L[k (n) ()]  ...

 a0 L[k ()]  bm L[ (m) ()]  ...  b0 L[()]илиan s nW (s )  ...  a0W (s )  bm s m  ...  b0 ,W (s ) (an s n  ...  a0 )  bm s m  ...  b0 .Отсюда следует связь передаточной функции с дифференциальным уравнением.Пользуясь формулой (*) и уравнениями звеньев можно получить передаточныефункции элементарных и типовых звеньев:а) усилительного: W (s )  K ;4б) дифференцирующего: W (s )  s ;1;s1;г) апериодического: W (s ) T s 11;д) колебательного: W (s )  2 2T s  2T s  1в) интегрирующего: W (s ) е) неустойчивого апериодического: W (s ) ж) неустойчивого колебательного W (s ) 1;T s 11T 2 s 2  2T s  1;з) дифференцирующего первого порядка: W (s )  T s  1 ;и) дифференцирующего второго порядка: W (s )  T 2 s 2  2 T s  1 ;к) чистого запаздывания: W (s )  e   s .Заметим, что последняя формула следует из вида импульсной переходной функцииk ()  (  ) звена чистого запаздывания и свойства запаздывания.3.1.2.

Связи вход-выходВыходной сигнал представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений с помощью формулы, следующей из (1.27) при t 0  0 :x (t )  x“ (t )  x"/… (t )  1 (t ) ,(3.5)где функции x“ (t ) , x"/… (t ) – n раз непрерывно дифференцируемы.Обозначим X (s )  L[ x (t )] , X “ (s )  L[ x“ (t )] , X вын (s )  L[ x вын (t )  1 (t )] – изображения по Лапласу выходного сигнала, свободного и вынужденного движения соответственно.С использованием свойств преобразования Лапласа получаем:L[ x c(n) (t )]  s n X c (s )  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) ,(3.6)L[{x"/… (t )1 (t )}(n) ]  s n X "/… ( s ) .Из (3.6) и (3.5) имеемL[ x (n) (t )]  s n [ X c (s )  X вын (s )]  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) .При n  0 из (3.5) и (3.6) следует, что(3.7)X (s )  X “ ( s )  X "/… ( s ) .

ПоэтомуL[ x (n) (t )]  s n X (s )  s n 1 x 0    s x 0(n  2)  x 0(n 1) .5Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциальногоуравнения (3.2):,используя (3.7) и свойство L[ { g (t ) 1 (t ) }(m) ]  s m G (s ) .В результате получаемL[ an x (n ) (t )    a0 x (t ) ]  D (s ) X (s )  D н (s ) ,L[ bm { g (t ) 1 (t ) }(m)    b0 { g (t ) 1 (t ) } ]  M (s ) G (s ) ,D ( s )  an s n  a0 ;гдеM (s )  bm s m  b0 ;D … (s )  x 0 (a1  a 2 s  a n s n 1 )  x 0 (a 2  a 3 s  a n s n  2 )  x 0(n  2) (a n 1  a n s )  x 0(n 1)a n  s n 1 a n x 0  s n  2 [ a n x 0  a n 1 x 0 ]  [a n x 0 (n 1)  a n 1 x 0 (n  2)  a 2 x 0  a1 x 0 ].(3.8)Окончательно имеем:D (s ) X (s )  D н ( s )  M (s ) G ( s )или с учетом (3.3):X (s )  X c (s )  X вын (s ) D н (s )D (s )D (s )M (s )G (s )  н W (s ) G ( s ) .D (s )D (s )(3.9)Если начальные условия нулевые, то D … ( s )  0 и выходной сигнал совпадает с вынужденным движением:X (s )  W (s ) G (s ) .(3.10)Из (3.10) следует эквивалентное определение передаточной функции как отношения изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала принулевых начальных условиях.3.1.3.

Передаточные функции соединенийНАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО СТРУКТУРНОЙ СХЕМЕЕсли система представляет собой соединение звеньев, то передаточная функциясистемы определяется с помощью формул:для последовательного соединения (см. рис.1,а):W ( s )  W1 (s ) W 2 (s ) ;для параллельного соединения (см.

рис.1,б):6W (s )  W1 ( s )  W 2 (s ) ;для соединения с обратной связью (см. рис. 3.1,в):W (s ) W1 (s )1  W1 (s )  W 2 (s ),где знак «плюс» для отрицательной обратной связи, а «минус» – для положительной;W1 (s ) , W 2 (s ) – передаточные функции первого и второго звеньев.X 1 (s )X 1 (s )G (s )W1 ( s )X (s )X (s )G (s )W 2 (s )W1 (s )W 2 (s )аX 2 (s )бG(s)E (s )W1 ( s )X (s )W 2 (s )X 2 (s )вРис. 1С целью получения формулы W (s )  W1 (s ) W 2 (s ) следует воспользоваться связьювход-выход для первого и второго звеньев:X 1 (s )  W1 (s ) G (s ) ,X (s )  W 2 (s ) X 1 (s ) .Отсюда следует формула для нахождения передаточной функции последовательного соединения:X (s )  W1 (s )W 2 (s ) G (s ) .W (s )Для доказательства формулы W (s )  W1 ( s )  W 2 (s ) следует воспользоваться связью вход-выход для первого и второго звеньев, а также записать уравнение сумматора(см. рис.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций