tul11 (1014486)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 11.5. ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ5.1. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ5.1.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы в дискретных динамических системах описываются последовательностями:  g k  , k  k 0 , k 0  1,  ,  x k  , k  k 0 , k 0  1,  , где k 0 –начальный момент дискретного времени k .2. Описание систем.

Дискретная система преобразует входной сигнал в выходнойпри заданных начальных условиях (рис. 1). Математические модели таких систем описываются разностными уравнениями.Начальные условияgkВходнойсигналxДискретнаядинамическаясистемаkВыходнойсигналРис. 1В общем случае одномерная линейная дискретная нестационарная системаописывается линейным разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,(1)с начальными условиямиx k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 ,(2)где g (k ) – входной сигнал; x (k ) – выходной сигнал; k – дискретное время;an k  , , a0 k  ; bm k  ,  , b0 k  – коэффициенты левой и правой частей, зависящие отвремени k ; n и m – заданные числа, n  m .1З а м е ч а н и я.1.

Если an k   0, a0 k   0, уравнение (1) называется уравнением n -го порядка.Его решение определяется n начальными условиями (рис. 2).xx0k0x n 1x1k0  1x (k 0  n)k0  n  1 k0  nkРис. 22. Одномерная линейная дискретная стационарная система описывается разностным уравнениемan x k  n   an 1 x k  n  1    a0 x k   bm g k  m   bm 1 g k  m  1    b0 g k  ,(3)k  0, 1, 2 ,  ,с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1 ,(4)где an ,  , a0 ; bm ,  , b0 – постоянные коэффициенты.5.1.2.

Связь вход-выходДля линейных дискретных систем, как и для непрерывных, справедлив принципсуперпозиции. Выходной сигнал системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений:x k   x с k   x вын k  .Свободное движение x с k  происходит при отсутствии внешнего воздействияg k   0  вследствие ненулевых начальных условий. Оно определяется решением однородного уравнения, соответствующего исходному уравнению (1):an k  x k  n     a0 k  x k   0 ,с начальными условиями2x k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .В случае, когда начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует( x c (k )  0 ).Вынужденное движение x вын k  – это реакция системы на внешнее воздействиепри нулевых начальных условиях.

Оно определяется решением неоднородного уравнения(1) при нулевых начальных условиях.З а м е ч а н и я.1. Общее решение однородного уравнения записывается в форме:x 0 k  n Cii 1i k  ,где C1 ,  , C n – произвольные постоянные; 1 k ,  ,  n k  – элементы фундаментальной системы решений, образуемой n линейно независимыми решениями однородногоуравнения, удовлетворяющими условию1 k 0  1 k 0  1  1 k 0  n  1 2 k 0   2 k 0  1   2 k 0  n  1 0. n k 0   n k 0  1   n k 0  n  12. Процедура нахождения свободного движения для стационарных систем (3),(4)сводится к решению соответствующего однородного уравнения ( g k   0 )an x k  n     a1 x k  1  a0 x k   0с начальными условиямиx 0   x 0 , x 1  x1 ,..., x n  1  x n 1и содержит три этапа.Первый этап.

Составить характеристическое уравнениеan n  an 1 n 1    a0  0и найти его корни: 1 ,  ,  n .Второй этап. В зависимости от типа корней выписать общее решение однородного уравнения (четыре случая).а) Если корни действительные разные, общее решение записывается в формеx k   C11k  C 2  2 k    C n  n k ,(5)где C1 ,  , C n – произвольные постоянные.б) Паре   i  комплексных сопряженных корней соответствует компонентаx k   r k  C1 cos k  C 2 sin k ,(6)3где r – модуль числа     i  , а  – аргумент, определяемые по формулам arctg  ,   0,   0 ,   arctg  ,   0,   0 ,,   0,   0 .2r   2  2 ,в) Действительному корню  j кратности m соответствует следующая составляющая общего решения:x k   C1  C 2 k    C m k m 1   j k ,(7)г) паре комплексных сопряженных корней кратности m :x k   r k C1 C 2 k    C m k m 1 cos k  B1  B 2 k    Bm k m 1 sin k ,(8)где C1 ,  ,C m ; B1 ,  , Bm – произвольные постоянные.Третий этап.

Найти произвольные постоянные с помощью начальных условий.3. Методика нахождения вынужденного движения содержит четыре этапа.Первый этап. Найти общее решение однородного уравнения.Второй этап. Найти частное решение неоднородного уравнения. В общем случаеприменяется метод вариации произвольных постоянных, а в частном случае, когда система описывается уравнениемan x k  n     a1 x k  1  a0 x k   g (k ) ,g k   r k Rq k  cos k  Pl k  sin k ,где Rq k  , Pl k  – многочлены степени q и l соответственно, r и  – заданные действительные числа, – метод подбора. Тогда частное решение ищется в формеx н k   r k Q p k  cos k  T p k  sin k  k s ,в которой p  max q ; l  ; Q p k  ,T p k  – многочлены переменной k степени pопределенными коэффициентами; число s находится следующим образом:(9)с не- 0 , если число r cos   i sin  не совпадаетsни с одним из корней характеристического уравнения , m , если число r cos   i sin  совпадает с корнем кратности m .Коэффициенты многочленов Q p k  ,T p k  находятся из тождества, которое получаетсяпри подстановке (9) в (1).Третий этап.

Найти общее решение неоднородного уравнения как сумму общегорешения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.Четвертый этап. Определить произвольные постоянные из нулевых начальныхусловий.45.1.3. Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал  g k  ,k  k 0 , k 0  1, ;б) дискретная динамическая система, описываемая разностным уравнениемan k  x k  n   an 1 k  x k  n  1    a0 k  x k   bm k  g k  m   bm 1 k  g k  m  1    b0 k  g k  ,k  k 0 , k 0  1,  ,в) начальные условия x k 0   x 0 , x k 0  1  x1 ,..., x k 0  n  1  x n 1 .Требуется найти выходной сигнал x k  ,k  k 0 , k 0  1, .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Найти свободное движение x с k  .2. Найти вынужденное движение x вын k  .3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений:x (k )  x c (k )  x вын k  .5.2. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ5.2.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы представляются последовательностями векторов,зависящих от дискретного времени: g1 k  g k      , g k  r x1 k  x k      , x k  n  y1 k  y k      . y k  s 2.

Описание систем. Многомерная линейная нестационарная система описывается уравнением состоянияx k  1  A k  x k   B k  g k  ,k  k 0 , k 0  1, (10)с начальными условиями5 x10  x 20 x k 0   x 0   x  n0 (11)y (k )  C (k ) x (k ) ,(12)и уравнением выходагде x – n -мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий (управлений); y – s -мерный вектор выхода; A(k ), B (k ),C (k ) – матрицы размера(n  n), (n  r ), (s  n) соответственно; k 0 – начальный момент времени (момент подачивходного воздействия).З а м е ч а н и я.1.

Многомерная система описывается набором из трех матриц: A k  , B k  , C k  .2. Если матрицы A k  , B k  , C k  не зависят от дискретного времени, система называется стационарной. Тогда уравнения (10)–(12) принимают вид:x k  1  A x k   B g k  , k  0, 1,  ;x 0   x 0 ;(13)y k   C x k  .5.2.2. Связи вход-состояние и вход-выходДля многомерных линейных дискретных систем, как и для непрерывных, справедлив принцип суперпозиции:x (k )  x c (k )  x вын k  ,y (k )  yc (k )  y вын k  ,где свободное движение x c (k ), yc (k ) является решением однородной системы при отсутствии внешнего воздействия, а вынужденное движение x вын k  , y вын k  – решениемнеоднородной системы с нулевыми начальными условиями. Рассмотрим процедуры нахождения свободного и вынужденного движений дискретной системы, описываемойуравнением состояния:x k  1  A k  x k   B k  g k  ,x k 0   x 0 .(14)Нахождение свободного движения ( при g k   0 ) связано с решением однороднойсистемы уравнений:x k  1  A k  x k  ,k  k 0 , k 0  1,  .Выписывая эту зависимость последовательно при k  k 0 , k  k 0  1, k  k 0  2 ит.д., имеем6x k 0  1  A k 0  x k 0   A k 0   x 0 ,x k 0  2   A k 0  1 x k 0  1  A k 0  1 A k 0  x 0 ,x k   A k  1 A k  2 A k 0  x 0 k 1 A i  x 0 .(15)i  k0Соотношение (15) определяет свободное движение в текущий момент времени kпо начальному состоянию x 0 .Получим общую формулу для нахождения решения неоднородной системы (14) сучетом (15).

Для этого запишем уравнение (14) последовательно при k  k 0 , k  k 0  1,k  k 0  2 и т.д.В результате имеемx k 0  1  A k 0  x k 0   B k 0  g k 0  ,x0x k 0  2   A k 0  1 x k 0  1  B k 0  1 g k 0  1  A k 0  1 A k 0  x 0  A k 0  1 B k 0  g k 0   B k 0  1 g k 0  1 ,x k  k 1 A i  x 0i  k0 k 1   A l  B  j  g  j   B k  1 g k  1 j  k0 l  j 1k 2свободное движениеk 1 k , k 0  x 0свободное движение(16) k, j  1 B  j  g  j ,j  k0вынужденное движениегде  k , k 0  – переходная матрица, определяемая соотношением A k  1 A k  2 A k 0  , k , k 0   E,k  k 0  1,k  k0 .Переходная матрица удовлетворяет уравнению k  1, k 0   A k   k , k 0  ,k  k0 ,(17) k 0 , k 0   E .7З а м е ч а н и я.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций