tul4 (1014479)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4.1.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ1.3.1. Описание сигналов и систем1. Описание сигналов. Сигналы в системах управления, подверженных случайным воздействиям, являются случайными процессами. В качестве их характеристикобычно используются:математическое ожидание:m g (t )  M [ G (t ) ] Rg p(t , g ) dg ,nгде M – операция вычисления математического ожидания; G (t ) – вектор входного сигнала; p(t , g ) – плотность вероятности случайного процесса G (t ) ;ковариационная функция:R g (t1 , t 2 )  M { [ G (t1 )  m g (t1 ) ] [ G (t 2 )  m g (t 2 ) ]T } ,где t1 и t 2 – два момента времени. Ковариационная функция удовлетворяетR g (t1 , t 2 )  R g (t 2 , t1 ) .условиюПри t1  t 2 ковариационная функция представляет собой ковариационную матрицу R g (t )  R g (t , t ) , на главной диагонали которой находятся дисперсии каждой компоненты вектора G (t ) :D gi (t )  R gii (t )  M { [ G i (t )  m gi (t ) ]2 }.Частным случаем случайных процессов является белый шум N (t ) , имеющий нулевое математическое ожидание и ковариационную функциюRN (t1 , t 2 )  S 0 (t1 ) (t1  t 2 ) ,где S 0 (t1 ) – интенсивность шума, симметрическая неотрицательно определенная матрица; (t1  t 2 ) – симметричная дельта-функция, определяемая условиемba 0,   ( , a)  (b,  ),  (a, b ),f (),f (t ) (t  ) dt    a,0,5 f (a),b0,5 f (b ),для любой непрерывной в точке  функции f (t ) .1Стационарные случайные процессы имеют постоянные по времени математические ожидания, а их ковариационные функции зависят от разности своих аргументов t1  t 2   .

Поэтому последние можно рассматривать как функции одного аргумента:R g (t1 , t 2 )  R g (t1  t 2 )  R g () .Дисперсия стационарного процесса постоянна и равна D g  R g (0) . Например,стационарный белый шум имеет нулевое математическое ожидание и ковариационнуюфункциюRN (t1 , t 2 )  S 0 (t1  t 2 ) или RN ()  S 0 () ,где S 0 – постоянная матрица интенсивности шума.2. Описание систем. Линейные системы при наличии случайных воздействий впространстве состояний описываются стохастическими дифференциальными уравнениями, которые могут быть записаны в различных формах.Первый способ.

Система описывается уравнением в форме ЛАНЖЕВЕНАd X (t ) A(t ) X (t )  B (t ) G (t ), X (t 0 )  X 0 ,dtгде A (t ) , B (t ) – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ); G (t ) – r-мерный случайный процесс сmg (t)математическиможиданиемиковариационнойфункциейR g (t1 , t 2 )  S 0 (t1 ) (t1  t 2 ) , X 0 – n-мерный случайный вектор, характеризующий на-чальное состояние системы. Если mg (t )  0 , сигнал G (t ) совпадает с белым шумомN (t ) .Второй способ. Система описывается уравнением в форме ИТОdX (t )  A(t )X (t ) dt  B (t ) dG (t ) , X (t 0 )  X 0 ,где G (t ) – r-мерный винеровский случайный процесс, удовлетворяющий условиям:G (t 0 )  0 , M {G (t )}  0 для всех t  t 0 , вектор G (t ) для любых t  t 0 распределен погауссовскому закону, процесс является однородным с независимыми приращениями.

Егоковариационная функция R g (t1 , t 2 )  S 0 min [t1 , t 2 ]. Если S 0  E , винеровский случайный процесс называется стандартным.1.3.2. Связи вход-выходЕсли система задана уравнением Ланжевена, то закон изменения математическогоожидания вектора состояния имеет видm x (t )  A(t ) m x (t )  B (t ) m g (t ) , mx (t 0 )  m0 .2(1)Закон изменения ковариационной матрицы вектора состояния:R x (t )  A(t ) R x (t )  R x (t ) AT (t )  B (t ) S 0 (t )B T (t ) , Rx (t 0 )  R0 .(2)Ковариационная функция определяется по формуле (t1 , t 2 ) R x (t 2 ),R x (t1 , t 2 )  TR x (t1 )  (t 2 , t1 ),t1  t 2 ,t1  t 2 ,(3)где (t1 , t 2 ) – переходная матрица, удовлетворяющая уравнению (t1 , t 2 ) t1 A(t1 ) (t1 , t 2 ) , (t 2 , t 2 )  E .(4)Если система задана уравнением Ито, то в (1) следует положить mg (t )  0 , а в(1.72) подставить S 0 (t )  S 0 .Уравнение (1) получается из уравнения Ланжевена путем нахождения математического ожидания левой и правой частей.Поясним соотношения (2),(3).

Применим формулу Коши для уравнения (1):tm x (t )  (t , t 0 ) m0 (t , ) B () m g () d .(5)t0ОбозначимPx (t )  M [ X (t )X T (t ) ] , Pxg (t )  M [ X (t )G T (t ) ] , Pgx (t )  M [ G (t ) X T (t ) ]и определим ковариационную матрицуR x (t )  M { [ X (t )  m x (t ) ] [ X (t )  m x (t ) ]T }  M [ X (t ) X (t )T ]  M [ X (t ) m x T (t ) ] (6) M [m x (t ) x T (t )]  m x (t ) m x T (t )  Px (t )  m x (t ) m x T (t ).Выведем уравнение, описывающее изменение Px (t ) . С учетом уравнения получаемPx (t )  M [ X (t ) X T (t )]  M [X (t ) X T (t )]  A(t ) M [ X (t ) X T (t )]  B (t ) M [G (t ) X T (t )]  M [ X (t ) X T (t )] AT (t )  M [X (t )G T (t )] BT (t )  Px (t )Pgx (t )Px (t )Pxg (t ) A(t ) Px (t )  B (t ) Pgx (t )  Px (t ) AT (t )  Pxg (t ) BT (t ).3Найдем Pxg (t ) с учетом формулы Коши и того, что X 0 и G (t ) не коррелированы(R x0 g  0) :TtTPxg (t )  M [ X (t )G (t ) ]  M [ (t , t 0 ) X 0 G (t ) (t , ) B () G () G T (t ) d ] t0tT (t , t 0 ) m0 m g (t ) (t , ) B () M [ G ()G T (t )] d .t0Определим взаимную ковариационную функциюR xg (t1 , t 2 )  M { [ X (t1 )  m x (t1 ) ] [ G (t 2 )  m g (t 2 ) ]T }  M [ X (t1 )G T (t 2 )]  m x (t1 ) m g T (t 2 )  m x (t1 ) m g T (t 2 )  m x (t1 ) m g T (t 2 ) Pxg (t1, t2 ) Pxg (t1 , t 2 )  m x (t1 ) m g T (t 2 ).Используем полученное соотношение:M [ G () G T (t ) ]  Pg (, t )  m g () m g T (t )  R g (, t )  m g () m g T (t )  S 0 () (  t ) .ТогдаtTPxg (t )  (t , t 0 ) m0 m g (t ) T(t , )B () m g () m g (t ) d t0t(t , ) B ()S 0 () (  t ) d .t0Используя (4) и (5), имеемPxg (t )  m x (t ) m g T (t ) 11(t , t ) B (t ) S 0 (t )  m x (t ) m g T (t )  B (t ) S 0 (t ).22EАналогично можно показать, чтоPgx (t )  m g (t ) m x T (t ) 1S 0 (t ) B T (t ).2ПоэтомуPx (t )  A(t ) Px (t )  Px (t ) AT (t )  B (t ) m g (t ) m x T (t )  m x (t ) m g T (t ) B T (t )  B (t ) S 0 (t ) B T (t ) .4Продифференцировав (6), с учетом (5) и Px (t )  R x (t )  m x (t ) m x T (t ) , получимуравнение (2):R x (t )  Px  m x (t ) m x T (t )  m x (t ) m x T (t )  A(t ) Px (t )  Px (t ) AT (t )  B (t )S 0 (t ) B T (t )  B (t ) m g (t ) m x T (t )  m x (t ) m g T (t ) B T (t )  A(t ) m x (t ) m x T (t )  B (t ) m g (t ) m x T (t )  m x (t ) m x T (t ) AT (t )  m x (t ) m g T (t ) B T (t )  A(t ) R x (t )  A(t ) m x (t ) m x T (t )  R x (t ) AT (t )  m x (t ) m x T (t ) AT (t )  B (t ) S 0 (t ) B T (t )  A(t ) m x (t ) m x T (t )  m x (t ) m x T (t ) AT (t )  A(t ) R x (t )  R x (t ) AT (t )  B (t ) S 0 (t ) B T (t ).1.3.3.

Анализ выходных процессовПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал, заданный своими статистическими характеристиками mg (t ) ,R g (t1 , t 2 ) или R g (t ) ;б) система, описываемая одним из уравнений в форме Ланжевена или Ито;в) математическое ожидание m0 и ковариационная матрица R0 гауссовского закона распределения начального состояния X 0 .Требуется найти статистические характеристики случайного процесса X (t ) : поведение математического ожидания mx (t ) и ковариационной матрицы Rx (t ) , а также ковариационную функцию Rx (t1 , t 2 ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Решая уравнение (1), найти закон изменения математического ожидания выходного сигнала mx (t ) .2.

Решая уравнение (2), определить закон изменения ковариационной матрицыRx (t ) .3. Найти переходную матрицу, удовлетворяющую уравнению (4), и ковариационную функцию по формуле (3).1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ, УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ1.4.1. Анализ устойчивости1. Одномерные системы. При изучении различных форм математическогоописания систем управления большое внимание уделяется алгоритмам решения основной5задачи анализа – задачи анализа выходных процессов, т.е.

получению количественныххарактеристик процессов, происходящих в системах. В данном разделе рассмотренныевышесистемные характеристики используются для выяснения качественныхособенностей поведения систем управления.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим одномерную стационарную систему управления, поведение которойописывается дифференциальным уравнениемa n x (n) (t )  a 0 x (t )  bm g (m) (t )  b0 g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 , , x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; t 0 – начальный момент времени.В соответствии с представлением выходного сигнала системы в виде суммы свободного и вынужденного движений: x (t )  x“ (t )  x"/… (t ) вводятся следующие понятияустойчивости системы.Система управления называется устойчивой по начальным данным (асимптотически устойчивой), если при ненулевых ограниченных начальныхусловиях свободное движение x“ (t ) ограничено при всех t  [t 0 ,  ) и lim x c (t )  0 .tСистема управления называется устойчивой по входу, если при любомограниченном воздействии g (t ) реакция системы x"/… (t ) является ограниченной в любой момент времени t [t 0 ,  ) .Более краткий термин – устойчивая система управления – употребляется, еслисистема устойчива и по входу, и по начальным данным.Требуется определить, является ли система устойчивой.КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций