tul17 (1014492)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 17.Глава 10. CИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХСИСТЕМ10.1. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ10.1.1. Постановка задачиПусть поведение модели объекта управления описывается стохастическим дифференциальным уравнением Ито:dX  f (t , X (t ), u(t )) dt  (t , X (t ), u(t )) dW , X (t 0 )  X 0 ,(1)где Х – вектор состояния системы, X  R n ; u – вектор управления, u U  R q , U –некоторое заданное множество допустимых значений управления; t T  [t 0 , t1 ] –промежуток времени функционирования системы, моменты времени t 0 и t1 заданы;W (t ) – k-мерный стандартный винеровский случайный процесс, не зависящий от X 0(второй член в уравнении (1) характеризует случайные внешние воздействия на объект);f (t , x , u ):T  R n  U  R n , (t , x , u ) – матричная функция размера ( n  k ).

Обозначим:B  R n , Q  (t 0 , t1 )  R n .Начальное состояние X 0 определяется плотностью вероятностиp(t 0 , x )  p0 ( x )  P ,где P   p( x ) | p( x )  C 2 (B ),  p( x ) dx  1, p( x )  0 x  BBk - раз непрерывно дифференцируемых на B функций.(2)k , C (B ) – множествоо времеПредполагается, что при управлении используется информация толькони t , т.е. система управления в данном случае является разомкнутой по состоянию ирассматривается так называемое программное управление u(t ) .Множество допустимых управлений U 0 образуют функции u():T  U такие,что функции f iu () (t , x )  f i (t , x , u (t )) ,  iu(j ) (t , x )   i j (t , x, u(t )) , i  1, .

n , j  1,  , k ,удовлетворяют условиям, при которых решение уравнения (10.1) существует, единственно и является непрерывным марковским процессом. Если плотность вероятности этогопроцесса p(t , x ) C 1,2 (Q ) , то она удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова:n1 n n2 p t , x  [ f i t , x, u t  p t , x  ]   [ ai j t , x, u t  p(t , x ) ] t2 i 1 j  1  x i  x ji 1  x i A u [ p t , x  ](t , x ) Q(3)1с начальным условием (2). Здесь A u()  – дифференциальный оператор, C 1,2 (Q ) – пространство функций p(t , x ) , непрерывных на Q вместе с частными производными p(t , x )  p(t , x )  2 p(t , x ),,( i  1, . n ; j  1,  , n ),t xixi x jai j (t , x, u) k i l (t, x, u)   j l (t, x, u) .l 1 u ()) , где функцииОбозначим через D 0 (t 0 , p0 (x )) множество пар d 0  ( p(,),p(,) C 1,2 (Q ) , u()  U 0 и удовлетворяют уравнению (3) с начальным условием (2).Определим на множестве D 0 (t 0 , p0 (x )) функционал качества управленияJ (d 0 ) t1f 0 (t , x, u(t )) p(t , x ) dx dt t0 BF ( x ) p(t1 , x ) dx B t1 M   f 0 (t , X (t ), u(t )) dt  F ( X (t1 ))  , t0(4)M–гдезнакматематическогоожидания;непрерывныефункции0f (t , x , u):T  B  U  R , F ( x ): B  R удовлетворяют условию полиномиального рос-та: (t, x, u) T  B UF (x)  c1 ( 1  x )c2 ; c1 , c 2 –f 0 (t, x, u)  c1 ( 1  x  u )c2 ,некоторые постоянные. u  ())  D0 (t 0 , p0 (x )) , чтоТребуется найти такой элемент d 0  ( p  (,),J (d 0 ) mind 0 D 0 (t 0 , p0 ( x ))J (d 0 ) .(5)10.1.2.

Стохастический принцип максимума u  ())  D0 (t 0 , p0 (x )) удовлетворяетУтверждение. Если элемент d 0  ( p  (,),условию (5), то выполняются соотношения стохастического принципа максимума: p * (t , x ) A u (.)[ p * (t , x )] , p * (t 0 , x )  p0 ( x ) ,t (t , x )  A*u () [(t , x )]  f 0 (t , x, u * (t )) ,tu * (t )  arg maxu UB n  (t , x )f i (t , x, u )  i 1  x i1 n n  2 (t , x ) ai j t , x, u   f2 i  1 j 1  x i  x j2(t1 , x )   F ( x ) ,0t, x, u   p * (t , x ) dx ,(6)где A*u() [(t , x )]  (t , x )1 n n  2 (t , x )ftxut(,,())ai j (t , x, u  (t )) – сопряжен x i2 i 1 j 1  x i  x jii 1nный дифференциальный оператор.В результате решения краевой задачи (6) может быть найдено оптимальное программное управление u * () .Минимальное значение функционала (4) вычисляется по формулеmind0  D0 (t0 , p0 ( x ))J (d 0 )    (t 0 , x ) p0 ( x ) dx .(7)BЗ а м е ч а н и е.

Если использовать понятие обобщенного решения дифференциальных уравнений, то ограничения на функции, входящие в (1)–(3), можно ослабить. Приэтом соотношения для нахождения оптимального управления остаются справедливыми.10.2. НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯС ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ10.2.1. Постановка задачиПусть поведение модели объекта управления описывается стохастическим дифференциальным уравнением Ито (1), а начальное состояние X 0 определяется плотностью вероятности (2).Предположим, что о компонентах вектора состояния X известна полная текущаяинформация, т.е. управление u(t ) , применяемое в каждый момент времени t T , имеетвид управления с полной обратной связью: u(t )  u (t , X (t )) (рис.

1).X (t 0 )  X 0W (t )dX  f (t , X (t ), u(t )) dt  (t , X (t ), u(t )) dWX (t )u(t , x )u(t )  u(t , X (t ))Рис. 1Множество допустимых управлений с полной обратной связью U n образуютфункции u(t , x ):T  B  U такие, что для всех i  1,  , n ; j  1, , k функцииf iu() (t , x )  f i (t , x , u (t , x )) ,  ui (j ) (t , x )   i j (t , x , u (t , x )) удовлетворяют условиям, при ко-3торых решение уравнения (1) существует, единственно и является непрерывным марковским процессом. Если плотность вероятности этого процесса p(t , x ) C 1,2 (Q ) , то онаудовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова (3) с начальным условием (2). u (,)) , где функцииОбозначим через D n (t 0 , p0 ( x )) множество пар d n  ( p(,),p(,) C 1,2 (Q ) , u (,) U n и удовлетворяет уравнению (3) с начальным условием (2).Определим на множестве D n (t 0 , p0 ( x )) функционал качества управленияJ d n  t1t0 Bf0t , x, u(t , x ) p t , x  dx dt  F ( x ) p t1 , x  dx ,(8)Bгде функции f 0 (t , x , u ) , F (x ) удовлетворяют условию полиномиального роста (см.

разд.10.1.1)Требуется найти такой элемент d n  ( p * (,), u * (,))  D n (t 0 , p0 ( x )) , что J d n mindn Dn (t 0 , p0 ( x ))J d n  .(9)Функция u * (,)  U n называется оптимальным управлением с полной обратнойсвязью.10.2.2. Уравнение БеллманаДля определения оптимального управления с полной обратной связью служитуравнение Беллмана для непрерывных стохастических систем.Утверждение. Если существует функция t , x  C 1,2 Q  , удовлетворяющаяуравнению Беллмана и граничному условию  t , x  n  t , x 1 n n  2 t , x f i t , x, u    max ai j t , x, u   f 0 t , x, u    02 i 1 j  1  x i  x ju U i 1  x i t(t , x ) Q ,t1 , x    F  x x  B ,  U n , удовлетворяющее условиюи управление u * (,) n  t , x 1 n n  2 t , x f i t , x , u    u * t , x   arg max  ai j t , x , u   fu U  i 1  x ixx2iji  1 j 10t , x, u   ,то u * (t , x ) является оптимальным управлением с полной обратной связью.Здесь, как и ранее, используется обозначение ai j t , x, u  4k i l t, x, u    j l t, x, u  .l 1(10)Уравнение (10) является нелинейным дифференциальным уравнением с частнымипроизводными второго порядка.

Структура управления определяется в результате максимизации выражения в фигурных скобках по управлению.Минимальное значение функционала (8) вычисляется по формулеmindn Dn (t0 , p0 ( x ))J d n     (t 0 , x ) p0 ( x ) dx .(11)BОно достигается для любой начальной плотности вероятности p0 (x ) . В этом заключается основное преимущество управления с обратной связью.

При решении задачи достаточно определить только оптимальное управление u * (t , x ) ,а затем его можно использовать для получения оптимальных пар d n  ( p * (,), u * (,))  D n (t 0 , p0 ( x )) прилюбых начальных данных. Если начальная плотность вероятности дельтаобразная:p0 (x )  (x  x 0 ) , то минимум функционала достигается для любого начального состояния x 0 .АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯС ПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ1. Записать уравнение Беллмана (10) с граничным условием.2. Найти структуру оптимального управления с полной обратной связьюв результате поиска максимума в (10) по управлению.

Искомое управление u * (t , x ) обычновыражается через производные функции t , x  .3. Подставить полученные выражения для управления в уравнение (10). Проблемасводится к решению нелинейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка.4. Найти решение полученного уравнения и явный вид искомого управления.З а м е ч а н и е. Если обозначить  Б t , x    t , x  , то уравнение Беллмана(10) и (11) с учетом равенства max f (x )   min( f (x )) можно переписать в эквивалентной форме:   Б t , x  n   Б t , x 1 n n  2  Б t , x min f i t , x, u    ai j t , x, u   f 0 (t , x, u )  0u U 2 i 1 j 1  x i  x jt xii 1(t , x ) Q ,(12) a t1 , x   F  x  x  B ,mindn  Dn (t0 , p0 ( x ))J d n   Б (t 0 , x ) p0 ( x ) dx .(13)B5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций