tul4 (1014479), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,чтобы корни  i характеристического уравненияan n  an 1 n 1    a0  0имели отрицательные действительные части: Re  i  0 , i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости (рис. 1).6Im Левая полуплоскостьПравая полуплоскостьRe   0Re   0Re Рис.2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,чтобы при an  0 угловые миноры  i матрицы an 1 an  3 a n an  2 0an 1an 0 0 0an  5an  4an  3an  20 0 0 0 0  a0 a aбыли положительны:  i  0 , i  1,  , n , где 1  an 1 ,  2   n 1 n  3  и т.д. an an  2 При заполнении квадратной порядка n матрицы отсутствующие в уравнении коэффициенты an  i и ai при i  n заменяются нулями.3.

Если система устойчива по начальным данным и порядок m дифференциальногооператора M ( p)  bm p m  b0 правой части уравнения системы не больше порядка nдифференциального оператора D ( p)  an p n  a0 левой части, т.е. m  n , то система устойчива по входу.Необходимое условие устойчивости. Если система устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.З а м е ч а н и я.1. Первый критерий устойчивости называется прямым, а второй – косвенным, таккак в этом случае процедура анализа устойчивости не требует нахождения корней характеристического уравнения.2. Коэффициент an в уравнении всегда можно сделать положительным, например, умножая характеристическое уравнение на (  1 ).73. Анализ устойчивости элементарных и типовых звеньев систем управления (см.разд.

1.1.1) можно также выполнить, пользуясь определениями и сформулированнымикритериями. Устойчивыми являются усилительное, апериодическое (при T  0 ) и колебательное (при T  0 , 0    1 ) звенья. Дифференцирующее звено не устойчиво повходу, а интегрирующее звено не устойчиво и по входу, и по начальным данным.2. Многомерные системы. Аналогично одномерным системам рассмотрим качественное поведение многомерных систем, описываемых уравнениями состояния.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается линейная многомерная стационарная система, описываемая уравнением состояния:x (t )  A x (t )  B g (t ) , x (0)  x 0 ,где x – n-мерный вектор состояния; g – r -мерный вектор входных воздействий; t – время; начальный момент времени t 0  0 ; x 0 – начальное состояние; А, В – матрицы размера (n  n) , (n  r ) соответственно.Система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движениеx“ (t ) (при g (t )  0 ) ограничено при ограниченных начальных состояниях x 0 и выполняется условиеlimtxc (t )  0 .КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ1.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни  i характеристического уравненияdet ( A  E )  0имели отрицательные действительные части: Re  i  0 , i  1,  , n , т.е. располагалисьв левой полуплоскости комплексной плоскости (см. рис. ).2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.Необходимое условие устойчивости. Если система асимптотически устойчива,то все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковые знаки.81.4.2.

Анализ управляемости и наблюдаемостиПОСТАНОВКА ЗАДАЧИДана линейная многомерная стационарная система управления, поведение которойописывается уравнениями состояния и выхода:x (t )  A x (t )  B u(t ) , x (t 0 )  x 0 ,y (t )  C x (t ) ,где x – n-мерный вектор состояния; u – r-мерный вектор управления, u  R r ;t – время, t [t 0 , t1 ] – промежуток времени функционирования системы; y – k-мерный векторвыхода; А, В, С – матрицы размера ( n  n ), ( n  r ), ( k  n ) соответственно; x 0 – начальное состояниеСистема называется вполне управляемой по состоянию, если выбором управляющего воздействия u(t ) на промежутке времени [t 0 , t1 ] можно перевести систему излюбого начального состояния x (t 0 ) в произвольное заранее заданное конечное состояниеx (t1 ) .Система называется вполне управляемой по выходу, если выбором управляющеговоздействия u(t ) на промежутке времени t 0 , t1  можно перевести систему из любого начального состояния x (t 0 ) в такое конечное состояние, при котором обеспечивается заранее заданное произвольное значение выхода y (t1 ) .Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции y (t ) на выходе системы на промежутке времени [t 0 , t1 ] при заданном управляющем воздействии u(t ) можно определить начальное состояние x (t 0 ) .Постановка задачи формулируется следующим образом.Пусть известны матрицы А, В, С системы.

Требуется определить, является лисистема вполне управляемой и наблюдаемой.КРИТЕРИИ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИКритерий управляемости по состоянию. Для того чтобы система была вполнеуправляемой по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости по состояниюW  BABA 2 B  A n 1Bравнялся размерности вектора состояния:9rang W  n .Критерий управляемости по выходу. Для того чтобы система была вполнеуправляемой по выходу, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемостипо выходуP  CB CAB CA 2 B  CA n  1Bравнялся размерности вектора выхода:rang P  k .Критерий наблюдаемости. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой,необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемостиQ  CTAT C T( AT )2C T ( AT )n 1C Tравнялся размерности вектора состояния:rang Q  n .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. В уравнениях состояния и выхода выделить матрицы А, В, С.2.

Составить матрицу W управляемости по состоянию, матрицу P управляемостипо выходу и матрицу наблюдаемости Q.3. Подсчитать ранги матриц и сделать вывод об управляемости и наблюдаемостина основе соответствующего критерия.З а м е ч а н и е. Если линейная стационарная система управления описываетсясоотношениямиan x (n ) (t )  ...  a0 x  g (t ) , y (t )  x (t ) ,то, вводя обозначения x1  x ,вивалентной форме: x1   0   x   0 2         a0   an xn  101001a 1ana 2anx 2  x ,..., xn  x (n 1) ,0  a  n 1 an 00 x1     0 x2        1x   n   anu  g , их можно записать в эк u,y  1 0  0  x .ABC.

Характеристики

Список файлов лекций