tul8 (1014483), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если годограф f (i) проходитчерез начало координат z  0 или бесконечно удаленную точку z   , то его следуетразбить на участки, исключив указанные точки, вычислить величину  угла поворотарадиус-вектора для каждого участка годографа, а затем полученные величины сложить.На рис. 4 показаны примеры вычисления величины    Arg f (i) по годографу0    f (i) .0  1   2  2     0201f (i)f (i) 1 01   2   2  01f (i) 1 0Рис. 4Рассмотрим теперь в качестве функции f (s ) характеристический многочленD (s )  an s n  an 1 s n 1  ...

 a0 с действительными коэффициентами a0 , a1 ,... , an . Еслимногочлен D ( s ) имеет  корней, лежащих в левой полуплоскости ( Re s  0 ),  корней в правой полуплоскости ( Re s  0 ) и m корней  на мнимой оси ( Re s  0 ), то справедлива формула Arg D (i) 0    (   ) .2(*)Сумма неотрицательных целых чисел , , H по основной теореме алгебры равна степени n многочлена D (s ) :n H.Поясним формулу (*). Так как характеристический многочлен имеет n корней, тоего можно представить в виде7D (s )  an  s n  an 1 s n 1    a0  an  (s  s1 )  (s  s 2 )  (s  s n ).Положим s  i  и воспользуемся показательной формой представления комплексного числа:D (i )  A()  e i ()  an  A1 ()  e i 1 ()  A2 ()  e i 2 ()    An ()  e i n () Поэтому Arg D (i )  ()  1 ()   2 ()     n () , Arg D (i)   0,   n(i  s j ). Arg0,   j 1Если корень s j лежит в левой полуплоскости, то при изменении частоты  от 0 до  аргумент изменяется на2(рис.

5,а).2    isj1sj020s jа1   2  бРис. 5Паре комплексных сопряженных корней соответствует изменение аргумента, равное  (рис. 5,б). Если корни расположены в правой полуплоскости, величина изменения аргумента отличается знаком. Следовательно, имеем Arg D (i )             . Для устойчивости (по начальным данным) не222  0,   обходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического многочлена лежали в левой полуплоскости. Положив   0 , H  0 и учитывая n      H , получаем Arg D (i )      n .22  0,   1. Критерий Михайлова. Этот критерий позволяет сделать вывод об устойчивости системы по годографу характеристического многочлена.Утверждение.

Для устойчивости (по начальным данным) линейной стационарсистемы(см.рис.3,а),описываемойпередаточнойфункциейmM (s ) bm s  ...  b0, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеW (s ) =D (s )an s n  ...  a0ной8ристического многочлена D (i) при изменении частоты  от 0 до   , охватывалначало координат на угол   n , где n  порядок характеристического многочлена.2АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Определить порядок n знаменателя D (s ) передаточной функции W (s ) системы.2. Построить на комплексной плоскости годограф многочлена D (i) при изменении частоты  от 0 до   .3. Вычислить величину  угла, на который годограф охватывает начало координат(точку z  0 ):   Arg D (i) .0    n . Если условие выполнено, то система2устойчива по начальным данным. Если, кроме того, порядок m числителя передаточнойфункции не больше порядка n ее знаменателя, то система устойчива и по входу. Если годограф характеристического многочлена проходит через начало координат, то говорят,что система находится на границе устойчивости (оставаясь неустойчивой).4. Проверить выполнение условия  QBD (i)CA0QQPPP00032аD (i)D (i)б002вРис.

6На рис. 6 приведены различные случаи применения критерия при n  3 ,P ()  Re D (i), Q ()  Im D (i) . Годограф, изображенный на рис. 6,а, соответствуетустойчивой системе, годографы, изображенные на рис. 6,б-в  неустойчивой.З а м е ч а н и е. Существуют эквивалентные формулировки критерияМихайло-ва.1. Для устойчивости линейной стационарной системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена, начинаясь9на положительной части действительной оси, проходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов.На рис. 7 приведены примеры годографов характеристических многочленов устойчивых систем.Qn2Pn4n3Рис. 72.

Для устойчивости линейной стационарной системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы нули действительной P () и мнимой Q () частей характеристического многочлена чередовались, а их общее число равнялось n .PABC0QCA 0BРис. 8На рис.

8 изображены графики действительной и мнимой частей характеристического многочлена, соответствующие устойчивой системе при n  3 .10.

Характеристики

Список файлов лекций