tul15 (1014490), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Проверить выполнение условия п.3 утверждения 1.Если все три проверенных условия выполняются, то система являетсяабсолютно устойчивой.Для решения задач удобно использовать геометрическую интерпретациюусловий абсолютной устойчивости :~ (i) ,1. Построим годограф модифицированной частотной характеристики Wопределяемой выражением (*).2. Построив годограф, получим одну из трех возможных ситуаций:~ (i) пересекает луч   ;  1  действительной оси (рис. 6,а) – ва) годограф Wk этом случае абсолютной устойчивости нет;~ (i) не пересекает луча   ;  1  и можно провести прямуюб) годограф Wk  1 Попова, проходящую через точку   ; 0 и лежащую левее годографа (рис. 6,б), – в k этом случае система абсолютна устойчива;71в) годограф не пересекает луча   ;   действительной оси и провестиkпрямую Попова нельзя (рис.

6,в) – в этом случае никакого заключения обабсолютной устойчивости мы сделать не можем.Прямая Попова~ (i)W01k~ (i)W01k01k~ (i)WабвРис. 68.5. АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ8.5.1. Постановка задачиРассматривается разомкнутая система с одним нелинейным элементом.zgF (g )W (s )xРис.

1Пусть известны:а) нелинейный элемент с однозначной нечетной характеристикой F  g  ;б) передаточная функция W  s  линейной части системы, имеющая вид (7.4);предполагается, что линейная часть системы устойчива;в) входной стационарный сигнал с математическим ожиданием mg  const иковариационной функцией R g () , который действует на систему продолжительноевремя.Требуется найти математическое ожидание mx и ковариационную функциюRx () выходного сигнала в стационарном режиме (при t    ).Точное исследование нелинейных систем при случайных воздействияхзначительно сложнее, чем исследование линейных систем, так как нелинейные8элементы обычно существенно искажают входной сигнал. Например, распределение(одномерное) реакции релейного звена будет дискретным для любого входногосигнала, в том числе и для сигналов с непрерывным распределением.

Поэтомувпрактике расчетов нелинейных систем управления применяются приближенныеметоды, к которым относится рассматриваемый ниже метод статистическойлинеаризации.8.5.2. Статистическая линеаризация нелинейных элементовПусть на вход нелинейного звена с однозначной характеристикой z  F ( g )поступает случайный сигнал g (t ) . Выделяя в сигналах g (t ) и z (t )  F ( g (t )) средниеmg (t ) , mz (t ) и центрированные g (t ) , z (t ) составляющие, получаемg (t )  mg (t )  g (t ) ,z (t )  mz (t )  z (t ) .В соответствии с данным представлением преобразование входного сигналаg (t ) в выходной сигнал z (t ) нелинейным звеном (рис.

2,а) заменим двумяпреобразованиями (рис.2,б): нелинейным по математическому ожиданию и линейнымпо центрированной составляющей. При такой замене получим отличный от z (t )выходной сигнал~z (t )  mz (t )  k1 g (t )  F0 (mg (t ))  k1 g (t ) .z  F (g )Для нечетных характеристикнелинейное преобразованиеmz (t )  F0 (mg (t )) заменяют, в свою очередь, линейным mz (t )  k 0 m g (t ) . В этомслучае выходной сигнал ~z (t )  k 0 m g (t )  k1 g (t ) получается в результатепреобразований средней и центрированной составляющих входного сигнала g (t )двумя усилительными звеньями (рис.

2,в), коэффициенты усиления k 0 , k1 которыхназывают коэффициентами статистической линеаризации.mggF (g )mzmgk0k 0mg~zzgаF0 (mg )k1k1 gб~zgk1k1 gвРис. 2вВыбор коэффициентов статистической линеаризации делают по-разномузависимости от требований к статистической эквивалентности линейных звеньев9исходному нелинейному звену. Обычно используют один из следующих двухспособов.Первый способ обеспечивает равенство математических ожиданий и дисперсийсигналов z (t ) и z~(t ) :mz (t )  m~z (t )  k 0 m g (t ) ,D z (t )  D ~z (t )  M [ ~z (t )  m~z (t ) ]2  M [ ~z (t )  k 0 m g (t ) ]2  M [ k1 g (t )]2  k12 D g (t ) .Отсюда получаемk 0 (t ) mz (t )m g (t ),k1(1) (t ) D z (t )D g (t ),(*)где D g (t ) , Dz (t ) – дисперсии входного и выходного сигналов.При втором способе линеаризации минимизируется математическое ожидание2I  M z (t )  ~z (t )  min .С учетом представленияквадрата ошибки:k0 , k1~z (t )  k 0 m g (t )  k1 g (t ) имеем I  M  [ z (t )  k 0 m g (t )  k1 g (t ) ]2  .Применим необходимое условие безусловного экстремума:I 2M  [ z (t )  k 0 m g (t )  k1 g (t ) ]  ( m g (t ))  0 , k0I 2M  [ z (t )  k 0 m g (t )  k1 g (t ) ]  ( g (t ))  0 k1илиm(t)km(t)kM[g(t )]   ( m g (t ))  0 , z0g1  M [ z (t ) g (t ) ]  k 0 m g (t ) M [ g (t ) ]  k1 M  [ g (t )]2   0 . Поскольку M [ g (t ) ]  0, M  [ g (t )]2   D g (t ) , получаемk 0 (t ) mz (t )m g (t ),k1(2) (t )M [ z (t ) g (t ) ].D g (t )(**)Коэффициент k1 можно взять либо равным k1(1) , либо равным k1(2) , либоравным их полусумме.

Коэффициент k 0 выражается одинаково в обоих случаях (*),(**). Заметим, что коэффициенты статистической линеаризации зависят отраспределения (одномерного) входного сигнала g (t ) . Эта зависимость может бытьуказана явно, если в формулы (*), (**) подставить выражения10mz (t ) F ( g ) p(t , g ) dg ,D z (t ) F 2 ( g ) p(t , g ) dg  mz2 (t ) ,(***)M [ z (t ) g (t ) ] F ( g ) ( g  m g (t )) p(t , g ) dg ,где p(t , g ) – плотность распределения g (t ) . При нормальном законе распределенияg (t ) , который задается параметрами mg (t ) и D g (t ) , коэффициенты линеаризации (*),(**) будут функциями этих параметров k0  k0 (mg (t ), D g (t )) , k1  k1 (mg (t ), D g (t )) .8.5.3. Алгоритм анализа выходных процессовВ результате статистической линеаризации нелинейного элемента исходнаясистема (рис.

1) заменяется статистически эквивалентной (рис. 3).mgk0k 0mgW (s )gk1xk1 gРис. 3Математическое ожидание преобразуется последовательным соединением двухлинейных звеньев с эквивалентной передаточной функцией k 0 W (s ) , ацентрированная составляющая – последовательным соединением двух линейныхзвеньев с эквивалентной передаточной функцией k1 W (s ) . Поэтому формулы,устанавливающие связи вход-выход, принимают видmx  k0b0m g  k 0 W (0) m g ,2S x ()  k1 W (i) S g () .a0Для решения задачи анализа выходных процессов нужно выполнить следующиеоперации.1. Найти коэффициенты k 0 , k1 статистической линеаризации по формулам (*)или (**) с учетом (***).2. Определить математическое ожидание выходного сигнала в стационарномрежиме:mx  k 0 W (0) m g .113.

Найти спектральную плотность входного сигнала S g () по формулепреобразования Фурье:S g ()  R g ()e i d .4. Определить спектральную плотность выходного сигнала по формуле2S x ()  k1 W (i) S g () .5. Найти ковариационную функцию выходного сигнала в стационарном режимепо формуле обратного преобразования Фурье:1R x () S x () e i  d .2  12.

Характеристики

Список файлов лекций