2017.04.18_forms1 (Семинары (2017))
Описание файла
Файл "2017.04.18_forms1" внутри архива находится в папке "Семиныры 2017". PDF-файл из архива "Семинары (2017)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû18 àïðåëÿ • 16135 ãðóïïàÎäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí Q ñòåïåíè 2 îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn ñêîýôôèöèåíòàìè èç C (R) íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé. ÔîðPìà Q îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå i,j aij xi xj . Ñ÷èòàåì, ÷òîaij = aji. Ìàòðèöåé ôîðìû Q íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà A = (aij ), ñ å¼ïîìîùüþ ôîðìó ìîæíî çàïèñàòü êàê Q(x)=(x1 . . . xn )A(x1 . . . xn )T .Ïóñòü r = rank(A).
Íîðìàëüíûì âèäîì ôîðìû Q íàçûâàåòñÿ âèä2y12 + . . . + ys2 − ys+1− . . . − yr2 (íàä R), y12 + . . . + yr2 (íàä C).Êàíîíè÷åñêèì âèäîì ôîðìû Q íàçûâàåòñÿ âèä a1 y12 + . . . + ar yr2 .1. Íàéäèòå íîðìàëüíûé âèä â îáëàñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñëåäóþùèõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì:à) x21 − 3x23 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 ;á) x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 .2. Íàéäèòå íîðìàëüíûé âèä è íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå ê ýòîìó âèäó, äëÿ ñëåäóþùèõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì (ââèäó íåîäíîçíà÷íîñòè èñêîìîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ îòâåò ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ îòëè÷íûì îò ïðèâåäåííîãî íèæå):à) x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1 x2 − 4x1 x3 ;á) x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 .3.
Íàéäèòå îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïðèâîäÿùåå ñëåäóþùèå ôîðìû ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó (ïðèâåäåíèå ê ãëàâíûì îñÿì),è íàïèøèòå ýòîò êàíîíè÷åñêèé âèä (ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëåíî íåîäíîçíà÷íî):à) 11x21 + 5x22 + 2x23 + 16x1 x2 + 4x1 x3 − 20x2 x3 ;á) 2x1 x2 − 6x1 x3 − 6x2 x4 + 2x3 x4 .4. Íàéäèòå êàíîíè÷åñêèé âèä, ê êîòîðîìó ñëåäóþùèå ôîðìûïðèâîäÿòñÿ îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, è âûðàçèòå íîâûåíåèçâåñòíûå ÷åðåç ñòàðûå (èñêîìîå ïðåîáðàçîâàíèå íå îäíîçíà÷íî):à)nPi=1x2i+nPi<jxixj ; á)nPi<jxixj .1.
