2017.04.06_euclid3 (Семинары (2017))

Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ6 àïðåëÿ • 16135 ãðóïïàÏóñòü E åâêëèäîâî êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ëèíåéíîåïðåîáðàçîâàíèå ϕ ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (íàäC óíèòàðíûì), åñëè ϕ∗ = ϕ−1.1. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îðòîãîíàëüíûõ/ óíèòàðíûõïðåîáðàçîâàíèé ñàìî îðòîãîíàëüíî/óíèòàðíî.2. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ϕ åâêëèäîâà/óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà E îðòîãîíàëüíî/óíèòàðíî, åññëè ϕ ñîõðàíÿåòñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ò.å.

(ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) äëÿ âñåõ u, v ∈ E .3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ óíèòàðíîãîïðîñòðàíñòâàà) ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå (è, çíà÷èò,õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà óíèòàðíîé, â ÷àñòíîñòè âåùåñòâåííîéîðòîãîíàëüíîé, ìàòðèöû ïî ìîäóëþ ðàâíû åäèíèöå);á) ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå äâóì ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû;â) åñëè â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöà A ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ âåùåñòâåííà è ñîáñòâåííûé âåêòîð, ïðèíàäëåæàùèé êîìïëåêñíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ α + iβ , β 6= 0, ïðåäñòàâëåí â âèäå x + iy , ãäåâåêòîðû x è y èìåþò âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû, òî x è y îðòîãîíàëüíû è èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó, ïðè÷åì:ϕ(x) = αx − βy,ϕ(y) = βx + αy.4. Äîêàæèòå, ÷òî ϕ îðòîãîíàëüíî, åññëè ϕ ïåðåâîäèò ëþáîéîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â òàêæå îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.Ìàòðèöà îðòîãîíàëüíà/óíèòàðíà, åñëè ĀT = A−1 .Òåîðåìà.

Äëÿ êàæäîé óíèòàðíîé/îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû A íàéä¼òñÿ òàêàÿ óíèòàðíàÿ/îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà U , ÷òîà) U −1 AU = diag {λ1 , . . . , λn }, |λi | = 1, íàä C,á) U −1 AU ñîñòîèòµèç êëåòîê ðàçìåðà1 × 1, â êîòîðûõ ñòîÿò ±1,¶è êëåòîê 2 × 2 âèäàcos χ sin χ, sin χ 6= 0.− sin χ cos 1χ5. Äëÿ îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàäàííîãî â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå, íàéäèòå îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîììàòðèöà ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä. Íàéäèòåýòîò êàíîíè÷åñêèé âèä.à)23 231−3231−323− 132,323á)1212√1212121− √2− √12√1 .206. Íàéäèòå êàíîíè÷åñêèé âèä B îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû A è−1îðòîãîíàëüíóþìàòðèöó Q òàêóþ, ÷òî B = Q AQ :à)1 21212121212− 21− 2112− 1212− 1212− 21 ,− 21 12á)1 21 2 1− 2− 12212121212121−2− 121212− 12 1 .2− 12.