Chizhov_lektsiya_4 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева))

4. Динамика сплошной среды.Для построения динамической теории необходимо ввести физические величины,описывающие действие на выделенный элементарный объем других тел. В ньютоновскойдинамике точки для этого используется вектор силы. Аналогичным образом можностроить и динамику сплошной среды, введя полевые величины для описания действия тел.4.1. Описание взаимодействияВ динамике точки и твердого тела силы делятся а два основных типа –дальнодействующие и контактные. Это разделение удобно и в механике сплошной среды.Объемные силыК дальнодействующим силам относятся электромагнитные и гравитационные силы,действие которых на рассматриваемое тело пропорционально числу частиц в нем.

Еслиобъем, занимаемый телом или его частью, является элементарным, то число частицпропорционально величине этого объема V . Соответственно и сила, действующая начастицы, пропорциональна объему. Такие силы называются объемными.Способ введения полевой величины, описывающей объемные силы, покажем напримере силы тяжести. На вещество плотности  в элементарном объеме V действуетсила тяжести F   gV , пропорциональная величине объема независимо от его размерови формы: F ~ V .

Векторный коэффициент пропорциональности f называется (объемной) плотностью силы: F  fV . В поле тяжести плотность силы: f  g .  Плотность силы определяет физическое поле f  f r , t  , заданное в каждой точкепространства в каждый момент времени.К силам такого типа относятся и электромагнитные силы, действующие на заряженнуюсплошную среду, если плотность заряда (или плотность тока в ней) пропорциональнавеличине элементарного объема.Поверхностные силыПусть контактные силы таковы, что модуль силы пропорциональен площадисоприкосновения элементарного объема с другими телами F ~  . Величину иориентацию элементарной поверхности соприкосновения зададим вектором  .Направление векторов F и  не обязательно совпадает и может зависеть оториентации площадки, поэтому коэффициенты пропорциональности образуют тензорвторого ранга.

Соотношение между элементарной силой и элементарной площадкойудобно записывать в тензорных обозначениях. Пусть F  Fni i , где Fi - проекцииэлементарного вектора силы на орты ni декартовой системы, а    k nk . Тогда условиепропорциональности имеет вид: Fi   ik  k . Тензор второго ранга  ik   ik xs , t определяет поле, описывающее контактное воздействие на элементарную поверхностьдругих частей сплошной среды. Этот тензор называется тензором локальных напряжений.Диагональные компоненты тензора определяют нормальные (перпендикулярные)составляющие вектора силы, действующего на площадку, а недиагональные – касательныесоставляющие этой силы.В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами, однако в силузакона сохранения кинетического момента этот тензор симметричен: ik   ki ,что снижает число независимых компонент тензора до 6.

Выбором направления ортов niможно привести симметричный тензор к диагональному виду в точке наблюдения.В простейших моделях сплошной среды воздействие на элементарную площадкусчитается не зависящим от ориентации. Такая среда называется изотропной. В изотропнойсреде тензор напряжений оказывается диагональным, причем все его компонентыодинаковы. Такая ситуация реализуется в модели взаимодействия жидкости или газа,находящегося в относительном равновесии, описываемом законом Паскаля. Жидкости или1газы, подчиняющиеся закону Паскаля, называются идеальными.

Тензор напряженийидеальной сплошной среды можно записать в виде: ik   pxs ,t ki .Знак «минус» в этом выражении выбран потому, что элементарная сила, действующаяна поверхность, ограничивающую элементарный объем, направлена внутрь объема,нормаль выбирается внешней к поверхности. При этом коэффициент p xs , t   0 .В более сложных случаях применяются модели, в которых сила, действующая наэлементарную поверхность, имеет касательные составляющие, обычно пропорциональныескорости.4.2. Уравнения движения сплошной средыВ основу описания сплошной среды кладутся дифференциальные уравнения, которыемогут быть получены из уравнений изменения физических величин, связанных сдвижущейся частицей постоянного состава – аналогом материальной точки в динамикеНьютона. К ним относятся масса частицы, импульс, кинетический момент, кинетическая ивнутренняя энергия, энтропия.4.2.1.

Уравнение непрерывностиПростейшим уравнением является уравнение непрерывности, являющееся следствиемсохранения массы частицы постоянного состава. Пусть такая частица массой m  Vзанимает элементарный объем V . Постоянство массы приводит к уравнению:d  V ddm  V   0.dtdtdtd  V Кинематическое соотношение V  divv , приводит к уравнению непрерывностиdtd  divv  0 .dtЕсли сплошная среда является несжимаемой / divv  0 /, то из уравнения непрерывностиdследует, что 0 , т.е. вдоль линии тока плотность среды остается постоянной   0 .dt4.2.2.

Уравнение ЭйлераУравнение Эйлера можно получить, применяя второй закон Ньютона к частицепостоянного состава. Пусть масса частицы m  V , а ее скорость v  vi ni .Второй закон Ньютона для этой частицы имеет вид:dvm F об  F пов ,dtобповгде F  f V  f i ni V и F   df   dfi ni  ni   ik d k - объемные и поверхностныесилы соответственно. При вычислении объемных сил мы воспользовались теоремой осреднем для элементарного объема, а для поверхностных сил воспользовались теоремойГаусса, и перешли к интегрированию по объему и теоремой о среднемF пов  ni   ik d k  ni  ik dV  ni ik V .xkxkVЭто приводит к уравнениям движения для проекций на декартовы ортыdv   i   f i  ik  .dt xk Для идеальной жидкости  ik   pik , что позволяет перейти к инвариантной векторнойформеdv f  gradpdt24.2.3.

Замыкание системы уравнений. Политропные процессы.Вместе с уравнением непрерывностиd   div vdtуравнение Эйлераdv f  gradpdtсоставляет основу описания динамики сплошной среды. Но при заданных объемных силахчисло неизвестных функций в этих уравнениях на единицу больше, чем число уравнений.Для замыкания системы необходимо уравнение, связывающее давление и плотностьp  p    .

Таким уравнением может быть уравнение состояния идеального газаКлапейрона-Менделеева в изотермическом процессе, или уравнение адиабаты Пуассона.Процессы, для которых установлено соотношение p  p    , называются политропными.Особым случаем является движение несжимаемой сплошной среды div v  0 ,   const .При этом система уравнений расцепляется:dvdiv v  0 ,0 f  gradp .dtУравнение непрерывности позволяет определить поле скоростей, а уравнение Эйлера –поле давлений.

Наиболее просто определить поле скоростей в случае потенциальноготечения, когда имеется потенциал поля скоростей v   .В этом случае уравнение непрерывности приводится к уравнению Лапласа дляпотенциала  0 .Вместе с граничными условиями оно определяет полескоростей идеальнойнесжимаемой жидкости. Уравнение Эйлера дает поле давлений в этой жидкости.4.3. Балансные соотношения для уравнения Эйлера.В переменных Эйлера уравнения для изменения физических величин движущейсячастицы представляются как уравнения для полевых величин, зависящих от координатточки наблюдения и времени.

Это достигается представлением субстанциальнойdпроизводной в виде, или в инвариантной векторной форме  vkdt txkd   v  . Представление уравнений для изменяющихся величин в переменныхdt tЭйлера дает интерпретацию уравнений, называемую балансными соотношениями.Балансные соотношения тесно связаны с законами сохранения или теоремами обизменении механических, электрических или термодинамических величин и являютсяобобщением их на случай системы переменного числа частиц, возникающих прииспользовании переменных Эйлера.4.3.1. Изменение импульса и плотность потока импульса.Уравнение Эйлера также допускает представление в форме балансного соотношения.

Впроекциях на орты декратовой системы оно имеет видdv   i   f i  ik  .dt xk Для этого умножим уравнение непрерывности, записанное в тензорных обозначениях, навектор скоростиvdvi  vi k  0 ,dtxkи сложим с уравнением Эйлера:3d   vi v   vi k  ik  f i .dtxk xkdРаскрывая субстанциальную производную, получим уравнение Эйлера в  vkdt txkдивергентной форме:  vi     vi vk   ik   f i .txkРассмотрим некоторый объем наблюдения V, не зависящий от времени.

Импуьс среды вэтом объеме определяется интегралом:Pi    vi dV .VИнтегрируя уравнение Эйлера по этому объему, и переходя к интегрированию поповерхности в дивергентном слагаемом, получим балансное соотношение, определяющеескорость изменения импульса:Pi    vi dV      vi vk   ik  d k   f i dV .tt VVЭто выражение допускает простую интерпретацию: скорость изменения импульса ввыделенном объеме определяется переносом потока импульса через ограничивающуюповерхность, и внешними силам, действующими на нее.Вводя тензор плотности потока импульсаik   vi vk   ik ,учитывающий и конвективную часть, и действие внешних контактных сил, можноопределить поток импульса через поверхность выражениемI ip    ik d k .Другая часть изменения импульса выделенного объема вызвана приложенными к немуобъемными внешними силами, которые для силы тяжести в однородном полеопределяются выражением:FiV   f i dV  Mgi .VТаким образом, получаем обобщение теоремы динамики системы частиц, учитывающеепеременный состав выделенного объема:Pi   I ip  Mgi ,tИли в инвариантной векторной формеP   I p  Mg .tВ отсутствие внешних объемных сил это уравнение является формулировкойлокального закона сохранения импульса.Пример 2.Стационарный поток жидкости плотностью ρ, текущий по трубепеременного сечения, поворачивает на угол α (см.

рис.) Входное сечениетрубы S0, скорость потока на входе V0. Какая сила действует на изогнутыйучасток трубы, если ее выходное сечение равно S1?В механике точки подобная задача решается на основе закона измененияимпульса. Аналогичный подход в МСС может быть реализован на основетеоремы о плотности потока импульса:vi  ik gi , гдеtxkik  vivk  pik - тензор плотности потока импульса.4В стационарном потоке в отсутствие силы тяжестиik xVk ik 0 и интегрирование по объему даетxkdV   ikd k  0 . Выбирая контрольную поверхность, как указано на рис, и учитывая,Sчто на поверхности трубы v  d   0 , получим отсюда pdF S 0 p0n 0  v 0S 0v 0  v1S1v1  S1 p1n1 S трубыИнтеграл Бернулли связывает скорость жидкости и давление в ней: p0 v 02v12,а p1 22уравнение непрерывности – скорость в рассматриваемых сечениях трубы: v 0S 0  v1S1 .Учитывая эту связь и направление векторов, получим ответ:1  S 2 SFy  v 02S 0   02  1  0 cos  S1 S1 2  S14.3.2.