Chizhov_lektsiya_1 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева))

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ1. Концепция сплошной средыВ предыдущих разделах курса в основном рассматривалось движение материальной точки,и абсолютно твердого тела. Рассмотрим движение деформируемых тел, обращая внимание наописание жидкостей и газов, деформации которых могут быть особенно заметны.1.1. Понятие сплошной средыОписание деформаций произвольного тела является сложной задачей, поэтому ограничимсямоделью сплошной среды.Сплошной средой называется тело,физические характеристики которого в соседних точках мало отличаются.Традиционными примерами таких тел являются жидкости или газы.

Предполагается, чтомеханические и термодинамические характеристики сплошной среды могут быть описаны физическими полями (полем плотности, скорости, давления и т.д.), а близость физических величин в соседних точках позволяет применять аппарат дифференциального исчисления.Полем физической величины называется одна или несколько функций,заданных в каждой точке пространства в каждый момент времени.Практически задание поля физической величины связано с процедурой усреднения, которую мы поясним примерами.1.2.

Редукция к системе точекПредположим, что рассматриваемое тело можно представить в виде совокупности большогочисла частиц постоянного состава, каждая из которых занимает некоторый элементарныйобъем, отделенный от других поверхностью.Элементарным называется такой объем, внутри которого различия между значениямифизических величин, определенных в любых его точках, несущественны.Если элементарный объем, занимаемой частицами вещества можно выбрать так, чтобы егоразмерами можно было пренебречь, то вещество в нем можно рассматривать, как материальную точку. Если состав вещества в элементарном объеме не изменяется (частицы постоянногосостава) то движение сплошной среды может быть представлено, как движение системы материальных точек.Физические величины, описывающие состояние вещества в выделенном объеме, отличаются законом преобразования при изменении базиса (повороте) системы отсчета.

Используютсяскалярные, векторные и тензорные величины.Скалярные величины - масса, объем, энергия и др., не преобразуются при изменении базиса.Векторные величины – перемещение, скорость, ускорение и т.д. являются геометрическимиобъектами (направленные отрезки), которые могут быть заданы в выбранном глобальном (де 3 картовом) базисе ni набором проекций: v   vi ni  vi ni . Подразумевается суммирование поi 1повторяющимся индексам.

Проекции вектора определяются скалярным произведением vk   nk  v  . Изменение базиса, например, переход от глобального базиса декартовой системыni к локально-декартову базису сферических координат ek изменяет проекции вектора ско рости: uk   ek  v   vk .Если вектору a сопоставляется некоторый вектор b с помощью линейного оператора Tˆ :b  Tˆa , то такой оператор является тензором второго ранга.

В выбранном базисе ni , где a  ai ni , b  bk nk , он задается матрицей коэффициентов Tik , связывающих проекции векторовсоотношениями bi  Tik ak . При изменении базиса эти коэффициенты преобразуются как компоненты тензора.12. Кинематика сплошной среды.2.1. Методы описания Лагранжа и Эйлера.Рассматривая частицы постоянного состава, мы переходим к системе точек. В механикесплошной среды аналогичная процедура называется описанием Лагранжа.

Для задания законадвижения r  t   r  t  выделить конкретную частицу можно, задав ее положение в начальный  момент времени r0  r  0  , так что закон движения принимает вид r  t   r  t , r0  .Описание можно построить в два этапа:1.Выделить N элементарных частиц постоянного состава (постоянной массы m ), где1    N , исчерпывающих рассматриваемый объем сплошной среды.

Положение каждой элементарной частицы в начальный момент времени можно задать радиусом-вектором начальногоположения этой частицы r0 .2.Осуществить переход от счетного множества выделенных частиц к континууму, формально опуская индекс α: r0  r0 .Такой переход удобен, если удается установить взаимно-однозначное соответствие междуначальным положением частицы, и ее положением в произвольный момент времени.

Это возможно в том случае, когда любые две частицы, начавшие движение в разных точках пространства, в некоторый момент времени не окажутся в одной точке. Физически это значит, что рассматриваются только непроницаемые элементарные объемы постоянного состава. Модель неописывает движение струй разреженных газов или движение сверхтекучей и нормальной компонент.В декартовых координатах r  t   xn1  yn2  zn3 закон движения приводит к системеx  x  x0 , y0 , z0 , t  ,y  y  x0 , y0 , z0 , t  ,z  z  x0 , y0 , z0 , t  .Возможность установления взаимно-однозначного соответствия между начальным положением любой частицы и ее положением в любой момент времени гарантируется выполнениемD x, y , z 0 для любого момента времени.условия  D  x0 , y0 , z0 Гидродинамические величины при лагранжевом описании являются функциями начальногоположения и времени:     x0 , y0 , z0 , t  ,v  v  x0 , y0 , z0 , t  , T  T  x0 , y0 , z0 , t  .Альтернативным способом описания является подход Эйлера, в котором рассматриваютсямысленно выделенные объемы в окрестности «точки наблюдения» r – любой точки, принадлежащей этому объему.

Предполагается, что здесь также можно выбрать элементарныйобъем (переменного состава). В эйлеровом описании физические величины задаются полями ,т.е. определены в каждой точке рассматриваемой области пространства r в каждый моментвремени t:   r , t  ,  v  v r , t  ,T  T r , t  .2.2 Полевые величины.Интенсивные и экстенсивные величины в полевом описании.Как известно из термодинамики, существует два класса величин, характеризующих термодинамическую систему – интенсивные (не зависящие от числа частиц в системе), и экстенсивные (пропорциональные числу частиц).

Это же деление справедливо для физических величин,описывающих механическое движение частиц сплошной среды, являющихся элементарнымитермодинамическими системами. Введение полевых величин для них имеет свои особенности.2Экстенсивные величины. Примерами являются масса, кинетическая энергия, импульс. Длявведения поля такой величины необходимо, чтобы существовал такой (элементарный) объем,внутри которого соответствующая экстенсивная величина была пропорциональна этому объему, независимо от его формы и размеров.

Коэффициент пропорциональности в этом соотношении называется плотностью соответствующей экстенсивной величины.Поле плотности. Пусть в окрестности любой точки тела, заданной радиус-вектором r ,существует такой элементарный объем V , что масса вещества в нем m пропорциональнавеличине этого объема и не зависит от его формы и размеров: Δm~ΔV . Коэффициент пропорциональности  в этом выражении называется плотностью вещества этого тела в данной точке пространства в данный момент времени     r , t  :m  V .Практически пропорциональность соблюдается только в интервале объемовΔVmin < ΔV < ΔVmax «разумной» формы.

Для изучения вещества в обычных условиях ограничение снизу обусловлено, по крайней мере, молекулярной структурой. Минимальный объемдолжен содержать достаточно большое число молекул, чтобы можно было пренебречь флуктуациями. Максимальный размер элементарного объема ограничен возможностью достиженияприемлемой точности.Минимальный размер элементарного объема ограничивается также и динамическими соображениями.

Предполагается, что движение вещества в элементарном объеме может быть описано в рамках классической ньютоновской механики.Интенсивные величины. Примерами являются температура частицы, ее скорость. Для введения поля такой величины необходимо существование такого элементарного объем, внутрикоторого соответствующая интенсивная величина была бы одинакова с требуемой точностью,независимо от формы и размеров этого объема.Если положение элементарного «объема наблюдения» задается некоторой точкой пространства r , то значение соответствующей интенсивной физической величины приписывается данной точке пространства.  Поле скорости. Движение сплошной среды может быть задано полем скорости v  v  r , t  ,если в окрестности «точки наблюдения» r для каждого момента времени t существует элементарный объем V такой, что скорости всех частиц среды в этом объеме можно считатьодинаковыми с заданной точностью.Предполагаемая дифференцируемость полевых переменных по координатам и времени даетвозможность их разложения в ряд Тейлора, и оставлением только линейных членов по приращениям аргументов: x   y   z  dt  xi  dtxyztxitЗдесь  x ,  y ,  z - декартовы координаты вектора  r   xn1   yn2   zn3   xi ni .Выражение может быть записано в инвариантном виде, не зависящем от конкретного выбора базисных ортов декартовой системы ni , если ввести векторный оператор – градиент скаляр  ной функции, соотношением   nk.xkИзменение плотности в этом случае записывается в виде   r   r , t  dt     r , t    r    dt ,t    ik xi  xiгде  r    ni  nk   xi,  ik - символ Кронекера.xkxkxi  r   r , t  dt     r , t  3Модель сплошной среды имеет широкую область применения.

Ее можно использовать какдля изучения движения жидкостей или газов в лаборатории, выбирая элементарный объемединицы кубических миллиметров, либо изучая глобальные атмосферные явления или океанические течения при объемах в кубические километры. Модель сплошной среды применяется ив космологии при выборе соответствующего элементарного объема.2.3.

Поле скоростей.Поле скорости сплошной среды описывает произвольные ее движения, включая и деформации, и твердотельное движение. Рассмотрим подробнее условия, которым удовлетворяетполе скоростей, описывающих именно деформации среды, используя переменные Эйлера.В зависимости от необходимой степени детализации математических процедур, будем использовать две формы представления вектора – задание с помощью проекций в выбраннойдекартовой системе, например xk , vk , где индекс k пробегает значения от 1 до 3, либо задание его как абстрактного геометрического объекта, отмечая векторы стрелкой r, v .