лекция-3 (Ю.Л. Словохотов - Кристаллохимия и структурная химия (презентации лекций))

ФНМ, весна 2013Кристаллохимия и структурная химиялекция № 3Симметрия молекул и фигур.Точечные группы (продолжение)СЕМЕЙСТВА КОНЕЧНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП ПО ШЁНФЛИСУ1. Одна поворотная ось Cn: группы Cnабелевы группы2. Одна «четная» зеркально-поворотная ось Sn: группы Sn3. Ось Cn + плоскость sh (+ «порожденная» Sn): группы Cnh4. Ось Cn + n «вертикальных» плоскостей sv : группы Cnv5. Ось Cn + n «горизонтальных» осей С2: группы Dn6. Ось Cn + n С2┴ + пл-сть sh (+ n пл-стей sv): группы Dnh7.

Ось Cn + n С2┴ + n «диагональных» sd: группы Dndнеабелевы группы при n>2И еще 7 точечных групп высшей категории (неабелевых)Категории симметрии1. Низшая категория: нет осей порядка выше 2.Возможные элементы: C2, s=S1, i=S2 (e=C1)7 групп: (C1) C2, Cs, Ci, C2h, C2v, D2, D2h2. Средняя категория: ОДНА (и только одна)ось Cn или Sn порядка n > 27 семейств: Cn, Sn (n=2k), Cnh, Cnv, Dn, Dnd, Dnh3. Высшая категория: БОЛЬШЕ ОДНОЙ осиCn или Sn порядка n > 2.7 групп: T, Th, Td, O, Oh, I, Ih7+7+7Пример определения точечной группы молекулыChernichenko, et al., Angew. Chem. Int.

Ed., 2006, 45, 7367:«октамерный карбосульфид» (C2S)8: октатио-[8]-циркуленC16S8D8hГруппы высшей категории: 3 семействаСемейство тетраэдра: T, Th, TdСемейство октаэдра: O, OhСемейство икосаэдра: I, IhПравильные полиэдры (платоновы тела)тетраэдрTdоктаэдрOhкубIhпентагон-додекаэдрикосаэдрДуальные полиэдрыI. куб (гексаэдр) и октаэдр,точечная группа OhII. Пентагондодекаэдр и икосаэдр,точечная группа IhIII. Тетраэдр дуален сам себе,точечная группа TdСемейство тетраэдраTd (симметрия тетраэдра): четыре оси С3, три оси S4,шесть плоскостей sd; НЕТ ЦЕНТРА i, порядок = 24T (все повороты тетраэдра): четыре оси С3, три оси C2,порядок = 12, хиральные фигурыTh: операции группы T + центр инверсии iпорядок = 24группы T, Th, TdT  Td и T  ThСемейство октаэдраOh: симметрия куба и октаэдратри оси С4, четыре оси С3 (S6),шесть осей С2, девять плоскостей s,центр инверсии i; порядок = 48O: повороты куба и октаэдрапорядок = 24, хиральные фигуры,Oh  O, O ~ Td (изоморфны)Семейство икосаэдраOh  TdIh: симметрия икосаэдра и пентагондодекаэдрашесть осей С5 (S10), 10 осей C3 (S6), 15 осей С2,15 плоскостей s, центр инверсии i; порядок = 120I: повороты икосаэдра и пентагондодекаэдрапорядок = 60, хиральные фигуры, Ih  IЭлементы симметрии группы IhC5,S10C2C3,S6координатные оси C2(x,y,z)Теорема ЭйлераВ – Р + Г = 2,гдеВ – число вершин полиэдраР – число ребер полиэдраГ – число его граней,Кубооктаэдр:В = 24 / 2 = 12,Г = 6 + 8 = 14Р = 12 + 14 – 2 = 24Молекула C60: усеченный икосаэдр (Ih)В = 60Г = 20+12 = 32В – Р + Г = 2,т.е.

Р = 60 + 32 – 2 = 901.39 Å1.45 Å30 связей 6/6 (1.389 Ǻ)60 связей 6/5 (1.450 Ǻ)Вписанные полиэдры: подгруппытетраэдр,вписанный в кубOh  Tdикосаэдр,вписанный в кубTh = Ih ∩ OhВажные полиэдры симметрии Ohусеченныйоктаэдркубооктаэдркуб с 6 «шапками»ромбододекаэдрСтереографическая проекцияПроекция пересечений плоскостей и осей с «северной»полусферой на «экваториальный» большой кругПрямая проекцияNНаклонные элементыПроекция плоскости:дуга на большомкругеN0Проекция оси:точка, отмеченнаясимволом осиSSСемейство тетраэдрагруппа Tгруппа ThГруппа Td«Пределы» в рядах полиэдровn→∞Cnv →C∞vDnh →Dnd →D∞hK∞hТочечные группы бесконечного порядкаC, S(=Ch), Cv, D, Dh, K, KhВ этих СЕМИ группах имеется бесконечное множествоповоротов на любой угол f вокруг единственной оси C(семейство цилиндра) или бесконечного множестваосей С , проходящих через одну точку (семейство сферы)Сфера – конечная трехмерная фигура высшей симметрии(группа Kh); все точечные группы – подгруппы Kh.Точечные группы бесконечного порядка также называютсяпредельными группами, или группами Кюри.Аксиальная Cv-симметрия: гетероатомные линейныемолекулы CO, HCl, HCN, электрич.

диполь, плоская волнаЦилиндрическая Dh–симметрия: молекулы O2, C2H2 и т.д.Сферическая Kh-симметрия:изолированный атом, поле ядра.Предельные точечные группы (группы Кюри):цилиндрическая симметрияС – «вращающийся конус» (= конус без плоскостей sv)т.е. группа всех поворотов вокруг единственной оси (конуса)S = Ch – «вращающийся цилиндр» (= без пл-стей sv и осей C2)D – «скрученный цилиндр» (нет sh и sv, есть оси C2),т.е. группа всех поворотов цилиндраCv – неподвижный конусDh – неподвижный цилиндрПредельные точечные группы (группы Кюри):сферическая симметрияKгруппа всех поворотов сферы(бесконечное число осей С)«сфера с вращающимися точками»(= без плоскостей m)Kh=KCiнеподвижная сфераПьер Кюри (1859 – 1906 г.г.)Французский физик и кристаллограф,автор фундаментальных работ по физикекристаллов (пьезоэлектрические имагнитные свойства, рост, термодинамикакристаллов).

С 1897 совместно с МариейСклодовской-Кюри исследовалрадиоактивность: ими были открытыполоний и радий, предложены теориярадиоактивного распада и понятие периодаполураспада (Нобелевская премия 1903 г.)Все точечные группы (по Шёнфлису)1. Низшая категория: нет осей порядка выше 2.Возможные элементы: C2, s=S1, i=S2 (e=C1)7 групп: (C1) C2, Cs, Ci, C2h, C2v, D2, D2h2. Средняя категория: ОДНА (и только одна)ось Cn или Sn порядка n > 27 семейств: Cn, Sn (n=2k), Cnh, Cnv, Dn, Dnd, Dnh3. Высшая категория: БОЛЬШЕ ОДНОЙ осиCn или Sn порядка n > 2.7 групп: T, Th, Td, O, Oh, I, Ih4. Предельные точечные группы бесконечного порядка7 групп: C, S(=Ch), Cv, D, Dh (=Dd), K, Kh7+7+7+7Основная литература по симметриив кристаллографии:П.М.Зоркий, «Симметрия молекули кристаллических структур», МГУ, 1986илиП.М.Зоркий, Н.Н.Афонина,«Симметрия молекул и кристаллов», МГУ, 1979;П.М.Зоркий, «Задачник по кристаллохимиии кристаллографии», МГУ, 1981Вводная литература:Ф.Коттон, Дж.Уилкинсон,«Современная неорганическая химия» (Мир, 1969),т.1, гл.

4, разд. 4.7 («Молекулярная симметрия»): стр. 139-146(pdf на сайте лаб. кристаллохимии).