XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Математика в техническом университете Выпуск Хьс Серил удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год ... Мне казалось, что лучше пересказать удовлетоорившие меня изложения различных вопросов механика, чем в погоне за ложной оригинальностью ставить себя в странное положение не повторять умных формулировок лишь на том основании, что они были кем-то до тебя сказаны. Н.Г. 'Четаев. Теоретическая механика Комплекс учебников из 21 выпуска Под редикиией В.С. Зарубина и А.П.

Крии~енко 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного П1. Аналитическая геометрия 1у'. Линейная алгебра У. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 'у"1. Интегральное исчисление функций одного переменного Л1. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля ЛП. Дифференциальные уравнения 1Х. Р.яды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление ХП. Дифференпиальные уравнения математической физики ХП1. Приближенные методы математической физики Х1У. Методы оптимизации ХУ.

Вариационное исчисление и оптимальное управление ХЛ. Теория вероятностей Ху'П. Математическая статистика ХЛП. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций ХХ1. Математическое моделирование в технике УДК 517.1107ог.8) ББК 22.151.5 В17 Рецензенты: проф. Бобылев Н.А., проф.

Васин Р.А. 1ЯВУ( 5-7038-2627-6 (Вып. ХУ) 1ЯВУ( 5-7038-2484-2 Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления рассмотрЕны прямые методы вариациоввого исчисления и методы преобразования вариационных задач, приводящие, в частности,к двойсзвенным вариационным принципам. Учебник завершают примеры из физики, механики и техники, в которых показана эффективность методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения прикладных задач. Содержание учебника соответствует курсу лекций,который авторы читают в МГ ьУ им.

Н.В. Баумана. Для студен гов и аспирантов технических университетов, а также для инженеров и научных работников, специализирующихся в области прикладной математики и математического медвлиревания. Ил. 62. 1(иблиогр. 77 назв. УДК 517.11075.8) ББК 22.151.5 © В.И. Ванько, СсВ. Врмошина, Г.Н. Кувыркив, 19991 2006, с изменениями © Московский государственный технический университет им. Н29. Баумана, 1999; 2006, с измененилми 18В1хз 5-7038-2627-6 (Вып. ХУ) 18ВХ 5-7038-2484-2 © Издательство М1"('У им. Н.В.

Баумана, 1999; 2006, с изменениями Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. В17 Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е издо исправл. — Мл Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 488 с. 1Сер. Математика в техническом университете; Вып. ХУ). ш едисловие В истории развития естественных наук четко прослеживается стремление свести количество исходных положений данной науки к минимуму, и лучше всего к одному основополагвлощему принципу, который, как в зерне, заключал бы в себе все содержание рассматриваемой области знаний.

Например, из принципа возможных перемещений Лагранжа вытекают уравнения равновесия системы материальных точек и абсолютно твердых тел. Соединив принцип Лагранжа с принципом Даламбера, получим более общий принцип механики, следствиями из которого являются уравнения движения. Упомянутые принципы естественным образом обобщаются на сплошные среды - - деформируемые твердые тела, жидкости и газы. Одна из трудностей вычислительного характера, возникающих при реализации решения задачи, например, о нахождении напряженно-деформированного состояния сплошной среды либо некоторой конструкции, высокий порядок производных искомых величин в уравнении движения (равновесия).

Кроме того, вывод самих уравнений движения и постановка краевых условий зачастую являются самостоятельной проблемой. В настоящее время достаточно распространена следующая схема постановки задач о состоянии деформируемых тел. На основе подходящего (в части 1Ъ' мы обсуждаем этот вопрос) вариационного принципа выписывают функционал (чаще всего некоторос интегральное соотношение). С помощью правил и приемов вариационного исчисления получают уравнения движения и естественные краевые условия.

Последнее обстоятельство является замечательным фактом: „хороший" вариационный принцип содержит всю информацию о природе изучаемого явления. Однако, если получен функционал и известны его экстремальные свойства, до уравнений движения (равновесия) ПРЕДИСЛОВИЕ дело не доводят, а строят последовательность функций, предел которой доставляет функционалу стационарное или экстремальное значение, например, минимизирует значение функционала.

Этот способ получения приближенного решения является наиболее простым и экономичным. Авторы выпуска ХЧ серии „Математика в техническом университете" ставят перед собой следующие задачи; — изложить основы классического вариационного исчисления, подчеркнув при этом особенности и специфику вариационных задач как задач, обобщающих проблему поиска экстремумов функций многих переменных без ограничений и с таковыми, — обсудить основные идеи и методологию теории оптимального управления Понтрягина и метода динамического программирования Беллмана; изложить основную идею преобразования вариационных задач (выявление двойственных вариационных задач) и построения на их основе аппроксимаций искомого решения.

В части 1У приведены некоторые примеры применения вариационных принципов при постановке и решении различных научно-технических проблем. Известные уравнения математической физики, уравнения движения идеальной жидкости получены на основе принципа Гамильтона. Обсуждены знаменитая аэродинамическая задача Ньютона, вариационные аспекты проблемы собственных чисел и в этой связи проблема устойчивости конструкций. Рассмотрены динамические и нестационарные задачи термомеханики.

Основные источники, использованные при написании этого выпуска серии, включены также в список рекомендуемой литературы в конце книги. Мы считаем своим долгом выразить признательность доцентам А.Н. Канатникову, чья критика во многом способствовала совершенствованию изложения, и А.Д. Герман, которая любезно предоставила нам записи своих лекций по вариационному исчислению. Авторы будут благодарны каждому, кто выскажет по книге свои замечания.

Задания для самопроверки 1. Какие множества называют: а) замкнутыми; б) открытыми; в) ограниченными; г) компактными? Что называют диаметром множества? [1] 2. Дайте определение точной верхней 1нижней) грани числового множества. В чем различие между шш?(я) и ш111я) для действительной функции ?(я) одного действительного переменного, определенной на некотором промежутке числовой прямой? [1] 3. Напишите формулу Тейлора; а) для функции одного действительного переменного: б) для функции многих переменных.

[П], [Ч] 4. Как проверить, является ли функция одного действительного переменного выпуклой вверх (вниз)? [П] 5. Что такое: а) линейное пространство; б) евклидово пространство: в) нормированное пространство? Приведите пример нормы в линейном пространстве. Как вводят в К" стандартное скалярное умножение? [11?] 6. Как найти собственные значения н собственные векторы: а) линейного оператора в конечномерном линейном пространстве; б) квадратной матрицы'> Что такое характеристическое уравнение матрицы? [1У] 7.

Какую квадратичную форму называя>т положительно (отрицательно) определенной'? Сформулируйте критерий Сильвестра. [1Ч] 8. Какую функцик1 многих переменных называют: а) непрерывной по совокупности переменных: б) непрерывной по части переменных? 9. Что называют условным экстремумом функции многих переменных? Как можно найти точки условного экстремума? Что такое множители Лагранжа? [У] 10.

При каких условиях интеграл, зависящий от параметра, есть дифференцируемая функция'? [Ъ1] ВРЕДИСЛОВИЕ 11. '1то называют; а) кратным интегралом; б) криволинейным интегралом; в) поверхностным интегралом? Напишите: а) формулу Грина; б) формулу Остроградского — 1'аусса, в) формулу Стокса. В каком случае значение криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования? [ЪЧЦ 12. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) и-го порядка,. Что называют его: а) частным решением; б) общим решением? Как для этого уравнения ставится задача Коши? [УПЦ 13. '1то такое первый интеграл системы ОДУ? Как ОДУ п;го порядка можно преобразовать в систему п, ОДУ первого порядка? [Ъ'Ш] 14.