XII Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Математика в техническом университете Выпуск Х11 Комплекс учебников из 20 выпусков Под редакнней В. С. Зарубнна и А. П. Кривенко 1. Введение в анализ П, Дифференциальное исчислсние функций одного переменного П1. Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра 1'. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ъ'1. Интегральное исчисление функций одного переменного Л1.

Кратные и криволинейньп интегралы. Элементы теории поля 1'П1. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление ХП. Дифференциальные уравнения математической физики ХП1, Приближенные методы математической физики Х17. Методы оптимизации Ю'. Вариационнос исчисление и оптимальное управление ХЪ'1.

Теория вероятностей ХЧП. Математическая статистика ХЪ'П1. Случайные процсссы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций УДК 517.946(075.8) ББК 22.311 М29 Рецензентпбс: Ю.А. Дубинский, ЭМ. Карташов М29 Мартинсон Л.К., Малов 1О.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб.

для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — Мх Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 368 с, (Сер. Математика в техническом университете; Вып. ХП), 18ВХ 5-7038-1911-3 (Вып. ХП) 18ВХ 5-7038-1270-4 Рассмотрены различные постановки задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных и основные аналитические методы нх решения, проанализированы свойства полученных решений. Изложено большое число линейных и нелинейных задач, к решению которых приводит исследование математических моделей различных процессов в физике, химии, биологии, зкологии н др. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им.

Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам. Ил.57, Табл.!. Библиогр. 29 назв. Выпуск кнкгк финансировал 7носкояский государсшеенный шсхинчсскнй уккеерсншсш км. Н.Э. Баумана УДК 517.946(075.6) ББК 99.311 © Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов, 1996 © Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, 1996 18Вг1 5-7038-1911-3 (Вып. ХП) 18В Н 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 1996 ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый учебник — один из выпусков серии "Математика в техническом университете", ориентированной на студентов технических университетов.

Введение, раздел 1 и приложения книги написаны авторами совместно, разделы П и П1 — Л.К. Мартинсоном. Объем знаний, необходимый для понимания содержания книги, не выходит за рамки стандартов по математической подготовке в технических вузах и университетах и предполагает уверенное владение материалом таких разделов математики, как векторный анализ и элементы теории поля, ряды Фурье, теория функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения, интегральные преобразования. Для проверки готовности читателя к изучению данного выпуска рекомендуется выполнить задания, приведенные в начале книги.

Расположение материала в трех разделах учебника соответствует трем уровням сложности. Изучение каждого последующего раздела предполагает проработку предыдущего. В полном объеме материал может быть использован для подготовки студентов высшего уровня инженерной квалификации и студентов по специальности "Прикладная математика". Каждая глава учебнике заканчивается вопросами и задачами, которые рекомендуется решить самостоятельно для закрепления теоретического материала. В полном объеме работу на семинарах по курсу можно проводить с использованием пособия Б.М. Будака, А.А. Самарского, А.Н.

Тихонова "Сборник задач по математической физике" (М., 1972). Ссылки на другие выпуски серии "Математика в техническом университетек ' в книге даны римскими цифрами. Список рекомендуемой литературы не претендует на полноту и может быть полезен для дальнейшего изучения проблем, затронутых в настоящей книге. Авторы выражают свою благодарность проф.

В.С. Зарубину за редакторскую работу и цепные замечания по структуре книги, которые были учтены в окончательной редакции. Предисловие Задания для самопроверки 1. Найдите производную функции у(х) = 1 в1п — *~ Щ. [Ч1Ц о 2. д фу ц- = 1/...д. ° = „72 +~у ~7, .йд. вектор 8гас$ и в точке Мо(ха, уо, хо). ['ч'1Ц 3. Для заданных скалярной функции у(х, у, х) и векторного поля а~(х, у, г) запишите следующие операции векторной алгебры: г(1ч(~р о~), гоГ(~р а~), йчйгаг1~р, гоггоГ о~. [ч1Ц 4. Применяя формулу Остроградского, найдите поток век—.Ф -+ -+ тора г~ = х 1 +у 7 +х Й через поверхность сферы х2+у2+г2 = Н2 [уП] 5.

Найдите решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка у'+ у =- 1(х), удовлетворяющее начальному условию у(0) = уб. [''ч'11Ц 6. Найдите решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка у" + у = 1(х), удовлетворяющее начальным условиям у(0) = у0 и у'(0) = у2~. [ ч'ПЦ 7. Найдите решение дифференциального уравнения у"— 2 — а у = О, удовлетворяющее граничным условиям у(0) = 0 и у(1) =1.

[ИП] 8. Найдите коэффициенты разложения функции и(х) = х на отрезке [О, 1] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам. [1Х] 9. Найдите коэффициенты разложения функции и(х) = 1 на отрезке [О, Ц в тригонометрический ряд Фурье по синусам. [1Х] 10. Является ли функция комплексного переменного 1 (х) = = г*, где символом * обозначено комплексное сопряжение, аналитической функцией? [Х] 11. Восстановите функцию и(г), если ее иэображение по ,— е Лапласу имеет вид й(р) = —, т = сопвг. [ХЦ ,г+ ~' ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАхзЕНИЯ Геометрические обьекты и функциональные пространства Я" Я";2(й) — евклидово пространство размерности Ф 1.1 пространство функций, квадратично интегрируемых с некоторым весом П2 — точка пространства Я В1 Ж вЂ” расстояние между точками М и Мо 3.2 — области в пространстве Я (в большинстве случаев 3 ограниченные) 1.3 — границы областей в пространстве Я 2.1 3 — области в пространстве Я 3.3 2 — границы областей в Я З.З вЂ” искомая функция, решение уравнения (задачи) математической физики В1 — норма функции и В1 — декартовы координаты В1 — радиальная координата 3.2 — временная переменная В1 гмно У,й Е, дй В,Я С,Г и(М, ~) М Символы обозначения производных р ! Й/ д ди оя дх Ци) А — — диФференциальный оператор П2 — оператор физической величины в квантовой механике 7.4 — оператор Лапласа В1 — двумерный оператор Лапласа 6.1 и ~~'У у" = — о — производные функции у(х) 1.6 ди , и = —,, и1 = — — частные производные функции х21 Д и(х, ~) В1 Основные обозначения — угловая часть оператора Лапласа в сферических ко- Ф ординатах 7.3 П вЂ” оператор Даламбера 6.4 Обозначения спеииальнььх узункиий Г(х) — гамма-функция Эйлера 8.3 В(х, у) — — бета-функция 8.4 Д,(х) -- функция Бесселя п-го порядка 5.2 зчн(х) — функция Неймана и-го порядка 5.2 Рн(х) — - полипом Лежандра 4.3 Рн'(х) -- присоединенные функции Лежандра 7.3 Нн(х) — полином Чебышева — Эрмита 7.2 Ла(х) -- обобщенный полипом Чебышева — Лагерра 7.3 1з Убв(0, у) — сФерическая функция 7.3 б(х) — обобщенная дельта-функция 1.4 й~;(М, Мй) — двумерная или трехмерная дельта-функция 3.2 Физические константы е = 1,6 10 19 Кл — элементарный электрический заряд с = 2,99 10 м/с — скорость света в вакууме В 5 = 1,05 10 ~~Дж с — рационализированная постоянная Планка й = 1,38 10 ~~Дж/К вЂ” постоянная Больцмана ср = 8,85 .

10 Ф/м — электрическая постоянная -12 рб = 1,26 10 б Гн/м — магнитная постоянная ВВЕДЕНИЕ В1. Задачи математической физики Исторически большинство математических моделей, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных, были разработаны для решения задач, описывающих физические процессы прежде всего в гидродинамике, азромеханике и электродинамике. Как удачно пошутил по этому поводу Дж, Литлвуд, объектами прикладной математики являютгя "вода, газ и электричество". Именно поэтому в приложениях дифференциальные уравнения в частных производных получили название уравнений математической физики. В настоящее время с помощью таких уравнений моделируют процессы различной природы: физические, химические, биологические, экологические, экономические и др.

Широкое применение методы математической физики находят и при решении инженерных задач. Такая информационная емкость, или, как говорил А.Д. Сахаров, "всесилие", уравнений математической физики обусловлена тем, что в их основе лежат фундаментальные законы природы, такие, например, как законы сохранения, связанные с симметрией пространства и времени. Именно благодаря этому такие, на первый взгляд, различные процессы, как распространение теплоты в сплошной среде, диффузия химических компонентов, проникновение магнитного поля в хорошо проводящую среду и распространение волн эпидемий, можно описать одинаковыми по форме уравнениями. Трудно даже сначала представить, что, например, уравнение Лапласа Ьи = О, занимая>щее в типографской строчке меньше места, чем знаменитое 2 х 2 = 4, позволяет теоретически описать практически все многообразие электростатических полей в природе и исследованию методов решения только этого уравнения математической физики посвящены многие монографии.

Введение Дифференциальные уравнения отражают внутренние механизмы процессов, которые могут протекать в бесчисленном разнообразии окружающих нас тел,имеющих различные форму, размеры и свойства. Поэтому любое уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Особенности же конкретного процесса устанавливают заданием (описанием) дополнительных условий, выделяющих конкретный процесс из всех остальных. Прежде всего в задаче математической физики, или математического моделирования, выделяют область, в которой следует решить уравнение. Эта область отражает геометрические размеры и форму тела, в котором протекает исследуемый процесс.