I Морозова В.Д. Введение в анализ (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 9

Множество всех действительных чисел, а также множество точек числовой прямой обычно обозначают В. Наполненным (или расширенным) множестпеом дейсизеитпельныа чисел называют множество, образованное из всех действительных чисел х б В с добавлением двух элементов, обозначаемых +со („плюс бесконечность" ) и † („минус бесконечность" ). При этом полагают, что -оо <+со и для всех чисел ю б В справедливо -оо < а < +оо, а пополненное множество обозначают В. Ему соответствует расширенная (или пополненная) числоеая прямая.

Элементы -оо и +оо называют 6есконечными тпочками такой прямой. Условие ж < р означает, что на числовой прямой число я лежит левее числа р. Поэтому -оо можно себе представить как точку, лежащую левее каждой точки прямой, а +оо— как точку, лежащую правее каждой точки прямой. Однако та / ким представлением можно пользоваться только как наглядной геометрическоЙ иллюстрацией. Мы не будем считать -оо и +со числами, так как не производим никаких операций между действительными числами и элементами -оо и +оо.

Чтобы подчеркнуть отличие этих элементов от действительных чисел, последние иногда называют конечными числами (им соответствуют конечные тпочки числовой прямой). Объединение элементов -оо и +оо обозначают просто оо. Рассмотрим некоторые подмножества множества В действительных чисел, которыми будем широко пользоваться в дальнейшем, и познакомимся с их обозначениями. 1. Мноасестпео иелых чисел Е= (..., -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, ...~ есть собстпеенное подмножестпво множества В (ЕСВ).

2. Мноасестпео натпуральных чисел Я=(1, 2, 3,;..~ 2.3. Множество дейстзителыиых чисел. Чисаоваи драмаа 51 является собственным подмножеством как множества Е, так и множества Е (Я С Х С В). 3. Множество всех действительных чисел, которые представимы в виде частного от деления целого числа т Е Е на натуральное и б И, называют множеством раииональные ° висел и обозначают Я, т.е.

Я=( —: тЕХ,пЕИ). Отношения т/и и т'/п' считают равными (представляющими одно и то же рациональное число г 6 (~), если тп' = пт'. Таким образом, у каждого рационального числа г = т/и может быть бесконечно много изображений г = рт/(рп), р Е И. Это, в частности, позволяет два разных рациональных числа г = т/и и г' = т'/и' изображать в виде дробей с одинаковым знаменателем пп', т.е. т = тп'/(пп') и г'= пт'/(пп').

Элементу г б Я на числовой прямой Ох отвечает точка М, такая, что отрезок ОМ соизмерим с отрезком, длина которого принята за единицу. Очевидно, что Ю С Е С Я С Е. На пополненной числовой прямой различают Бесяоне вмые юпиервалы (6, +со) = (ю: ю > 6), (-оо, а) = (ж: м < а) и Бесяомечные нолуимтервалы [6,+со)=(ю: ю>6), (-оо, а~=(х: а<а). По аналогии с бесконечными интервалами множество всех точек на числовой прямой Е обозначают часто (-оо, +со) или просто (-оо, оо).

Заметим, что вместо круглой скобки в обозначении интервалов и полуинтервалов иногда используют перевернутую квадратную скобку: например, вместо (а, 6) пишут ]а, 6[. Любой интервал (а, 6), содержащий некоторую точку жо, называют оярестпноспьью этой про вяи и обозначают 0(жо), фЭ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ т.е. 0(хв) =(а, Ь),если хоЕ(а, Ь).

Точку хв,расположеннуюв середине своей окрестности (а, Ь), в этом случае именуют таемтпром омрестпностпи, а расстоиние е = (Ь - а)/2 — радиусом омрестпмоств. Тогда множество (х: ~х — хв~ < е) называют е-омрестпмостпъто тпочяи хо и обозначают 0(хв, е). На расширенной числовой прлмой вводлт понлтие окрестности и для бесконечных точек +оо и — оо, тем самым уравнивал эти точки с конечными при рассмотрении многих вопросов.. Пусть М вЂ” некоторое положительное число.

Тогда Щ+оо) = (х Е Й: х > М~ и Щ-оо) = (х Е Й: х ( -М~, а длл обьединенил бесконечных точек Щоо) = (х Е Й: ~х~ > М~. Ясно, что длн любой из бесконечных точек окрестность с меньшим значением М включает окрестность с большим значением М. На числовой прямой могут быть заданы подмножества из дискретно расположенных точек (от латинского слова ЙасгеФпв — разделенный, прерывистый). Множества л натуральных и Е целых чисел лвллютсл примерами дискретных подмножеств множества Я рациональных (разумеетсл, и множества Й действительных) чисел. 1.4.

Операции над множествами В каждой конкретной задаче множества, имеющие к ней отношение, лежат обычно в некотором так называемом универса,пъном множестпве (иногда его именуют универсумом). Так, если разговор идет только о собаках и кому-то захотелось высказатьсн о многих породах собак, то не следует упоминать о верблюдах, и разумно считать таким универсальным множеством множество всех собак. Если же разговор идет о собаках, кошках и птицах, то универсальным множеством удобнее считать множество всех животных. Множество действительных чисел, деллщихсл на 3, лвляетсн подмножеством множества Е иелых чисел. В этом конкретном случае 1А.

Операции над мжцкесязами множество Е может выполнить роль универсального. Итак, универсальному множеству должны принадлежать все те элементы, которые допустимо рассматривать при решении данной задачи. Для выбора такого множества нет какого-то раэ и навсегда установленного способа. Но если выбор сделан, этим универсальным множеством можно пользоваться в качестве всеобъемлющего при решении этой задачи. Будем рассматривать множества, являющиеся подмножествами некоторого универсального множества й. Эти множества можно комбинировать между собой, получая другие множества.

Среди бесчисленного количества мыслимых способов комбинирования очень мало полезных, и самые полезные из них — объединение и пересечение. Определение 1.1. Обьединением некоторой совокупности иодмножестив универсального множества Й называют его подмножество, состоящее из элементов, принадлежащих по крайней мере одному из подмножеств этой совокупности. Объединение подмножеств А и В обозначают АОВ, а объединение подмножеств А, В, С вЂ” А0ВОС. Для объединения подмножеств А1, Ар, ..., А„, ..., Ау используют обозначение А„. еж1 Объединение подмножеств А;, занумерованных с помощью некоторого множества индексов,7, обозначают А;. Определеиие 1.2.

Пересечением некоторой совокупности подмножеств универсального множества й называют его подмножество, состоящее иэ элементов, принадлежащих одновременно всем подмножествам этой совокупности. 54 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Операцию пересечения подмножеств обозначают соответственно АПВ, АОВОС, ПА„н ПА. Пример 1.2. Если А=(1, 2, 3, 9) и В=(1, 2, 5, 7), то АОВ = (1, 2, 3, 5, 7, 9~ и АПВ = (1, 2~. Определепие 1.3. Размостиъю множестие В и А на зывают множество всех элементов из В, не лвляющихсл элементами А.

Разность множеств В и А обозначают В~А. Если А лвллется подмножеством В, то В ~ А называют также дополнением множества А до множества В и обозначают СВА. Ясно, что С,~А= А~А=О. В дальиейшем, как правило, будем рассматривать дополнению множеств до универсального множества й и называть их просто доло,лкемалми. Дополнение А до й будем обозначать А. Тогда А=Й~А и А=Й~А=Й~(Й~А) =А, А0А=А0(Й~А) =й, О=а, АПА=Ай(Й~А) =9, АПВ= Ай(Й~В) = А~В, а=й. ( .6) Через операции объединении, пересечеиил и разиости множеств А и В можно с учетом (1.6) определить операцию Подмножества А и В называют меиересекатощимисл, если их пересечение пусто (лвллется пустим множеством), т.е АйВ=З.

1А. Опервцш над кножсствамв симметиричесмой раэностии А Ь В = (А ~ В) 0 (В ~ А) = (А 0 В) ~ (А ) ) В) = = (Ал В) и(Вп А) = (Аи В) й(~АЙВ, т.е. А (.'ъ  — это множество элементов, принадлежащих или только А, или только В, но не обоим множествам А и В одновременно (например, (1, 2, 3) Ь (2, 3, 4) = (1, 4)). Ясно, что АЬА=З, АЛО=А=ИЛА и АЬА=Й. Иногда симметрическую разность называют дизътоиктиивиой суммойи вместо АЬВ пишут А®В, Операции 0 и ( ) (подобно сложению и умножению чисел) обладают некоторыми общими свойствами: 1) тммутативностью — А 0 В = В 0 А и А) ) В = В ) ) А; 2) ассоциативностью — (АОВ) ОС = АО(ВОС) и (АОВ) ПС= Ай(ВОС)", 3) идемиотиеитиностиьто — АОА=А и АОА=А; 4) дистриоутивностью — АО(ВОС) = (АОВ)()(АОС) и АП(ВОС) = (АПВ) О(АоС). Для любых двух множеств А и В справедливы следующие два тождества: АОВ=АГ)В и АПВ=АОВ, (1.7) называемые замоиами де Моргана по имени шотландского математика О.