Sensitivity (972306), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Применительно к рассматриваемой задаче, функции Грина определяются уравнениями:

(13)

с граничными условиями .

Если для некоторого фиксированного значения t найдены функции Грина на отрезке , то решения уравнений чувствительности (12) могут быть записаны в виде

. (14)

Чтобы получить коэффициенты чувствительности для различных моментов времени , можно воспользоваться рекуррентным соотношением:

. (15)

Доказательство соотношений (14) и (15) можно найти в работе [5].

N² уравнений (13) разбиваются на N систем по N уравнений (каждая система соответствует одному значению первого индекса функций , причем согласно (14), решения i-й системы позволяют рассчитать все коэффициенты чувствительности для i-го вещества). Указанные N систем уравнений для функций Грина имеют один и тот же якобиан и отличаются друг от друга только граничными условиями, что значительно упрощает программирование и сокращает объем вычислений. Таким образом, метод функций Грина (МФГ) требует интегрирования N систем из N дифференциальных уравнений (включая решение прямой кинетической задачи). Поскольку затраты на вычисление определенных интегралов в (14) или (15) несоизмеримо меньше затрат на решение дифференциальных уравнений, то МФГ представляется наиболее экономичным методом.

В работе [6] приведены результаты сравнения методов ПМ и МФГ на примере задачи с N и M. Чтобы получить полный набор коэффициентов для одного момента времени, ПМ потребовал 2.8 минут счета, тогда как МФГ – всего 24 секунды (расчет проводился на ЭВМ типа IBM 360/91).

Рассмотрим некоторые аспекты организации вычислений. Во-первых, уравнения для функций Грина (13) должны интегрироваться в обратном направлении по времени (в сторону уменьшения независимой переменной t). Следовательно, их нельзя решать одновременно с прямой задачей (1). Вначале следует рассчитать кинетические кривые вплоть до требуемого момента времени t, а затем строить функции Грина, интегрируя систему (13) по  от t до 0. Концентрации реагентов, необходимые для вычисления элементов в процессе интегрирования, а также для вычисления в подынтегральных выражениях (14) или (15), получают из рассчитанных кинетических кривых с помощью интерполяции.

Во-вторых, требует дополнительного исследования процедура расчета интегралов в выражениях для коэффициентов чувствительности (14)‑(15), поскольку авторы работ [5‑7] отмечают, что предлагаемый ими подход является простейшим, но, возможно, далеко не оптимальным.

В работе [5], где впервые был предложен МФГ, использована простейшая квадратурная формула трапеций:

. (16)

В последующих работах [6, 7] предложен комбинированный алгоритм, основанный на экспоненциальной аппроксимации подынтегральной функции:

В этом случае интеграл на элементарном отрезке представляется в виде:

Коэффициенты A и B определяются из условия совпадения с точной подынтегральной функцией на концах отрезка:

,

,

откуда

С учетом этих выражений квадратурная формула приводится к окончательному виду:

. (17)

Очевидно, формулой (17) можно пользоваться лишь при выполнении следующих условий:

а) ,

б) и имеют одинаковые знаки,

в) .

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, для элементарного отрезка [t₁,t₂] используется обычная формула трапеций (16).

I.4. Глобальный анализ чувствительности

I.4.1. Постановка задачи и методы ее решения

Задача глобального анализа чувствительности в наиболее общей постановке выглядит следующим образом [15]: найти плотность вероятности решений модели (1), если известны плотности вероятности значений констант скорости k и начальных условий y₀. Эта задача сводится к исследованию зависимости плотности вероятности решений от плотности вероятности начальных условий, т. к. параметры k можно учесть, включив в исходную систему дополнительные уравнения вида:

с начальными условиями .

Итак, требуется найти плотность вероятности для , если известна плотность вероятности для y₀. Для функции можно записать систему дифференциальных уравнений в частных производных:

,

Однако, численное решение этих уравнений связано с большими трудностями из-за их жесткости. Кроме того, в реальных задачах обычно отсутствует информация о распределении P₀. Поэтому на практике задача глобального анализа чувствительности заключается в оценке диапазона изменения решений модели, если заданы средние значения параметров (констант скорости) и область возможного изменения их значений (область неопределенности).

Идея одного из наиболее известных методов глобального анализа чувствительности, получившего название FAST (Fourier Amplitude Sensitivity Test) [8‑13], заключается в одновременном варьировании всех констант скорости в пределах их интервалов неопределенности по формулам:

. (18)

В идеале частоты _j должны быть несоизмеримыми; в этом случае параметрические уравнения (18) задают кривую, плотно заполняющую область неопределенности параметров при . Это позволяет свести многомерную задачу независимого варьирования параметров к одномерной задаче исследования диапазона изменения решений y_i при движении вдоль параметрической кривой.

Так как на ЭВМ невозможно реализовать несоизмеримые частоты и бесконечные пределы изменения переменной , то авторы метода FAST предложили использовать специально подобранные целочисленные частоты. Тогда все константы скорости, согласно (18), становятся периодическими функциями  с периодом , и к задаче можно применить Фурье-анализ. В качестве меры глобальной чувствительности решения к константе k_j фигурирует фурье-амплитуда для частоты _j:

. (19)

Впоследствии предлагался аналогичный подход с использованием базиса ступенчатых ортогональных функций Уолша, принимающих значения  и , вместо непрерывных тригонометрических функций [12].

Было показано [11], что вычисление фурье-амплитуд (19) эквивалентно оценке величин

(20)

где

а интегрирование проводится в пределах интервалов неопределенности соответствующих констант скорости. Поэтому предлагались также варианты глобального анализа чувствительности, основанные на непосредственном вычислении многомерных интегралов (20) с помощью методов типа Монте-Карло [14, 15]. Наконец, в работе [5] была установлена связь между критериями глобальной чувствительности, таким, как (19) или (20), и усреднением локальных коэффициентов чувствительности по параметрам, меняющимся в пределах их области неопределенности.

Любой метод глобального анализа чувствительности требует значительно больших затрат по сравнению с локальным анализом. Так, в работе [10] приведен пример анализа чувствительности методом FAST для модели с 10 параметрами, где потребовалось решать прямую задачу 8520 раз. Применение метода FAST к уже упоминавшейся в п. I.3.3 задаче с 24 параметрами [6] требует времени счета около 1 часа (тогда как локальный анализ занимает от 24 секунд до 2.8 минут). В работе [14] указано, что предлагаемый там усовершенствованный вариант метода Монте-Карло при одинаковых результатах требует в 1.52 раза меньше времени, чем FAST (т. е. все равно остается весьма дорогостоящим по сравнению с локальным анализом).

I.4.2. Применение глобального анализа чувствительности
для построения минимального механизма реакции

Данные о глобальной чувствительности концентраций к константам скорости помогают исключить из гипотетического механизма реакции лишние (незначащие) стадии. Методика построения минимального механизма реакции, адекватно описывающего опытные данные, разработана в [14, 15]. Предполагается, что каким-либо способом (например, перебором всех возможных элементарных процессов) построен механизм, правильно передающий экспериментальную информацию. Однако, такой механизм, возможно, содержит «лишние» стадии, не оказывающие заметного влияния на кинетику реакции. Процедура поиска и исключения незначащих стадий состоит из следующих шагов:

1) Все участвующие в реакции вещества разбиваются на две группы. В первую группу включают продукты реакции, концентрации которых существенно (не менее, чем на порядок) больше остальных. Все прочие реагенты попадают во вторую группу.

2) Элементарные стадии, входящие в исходный механизм также делят на две группы: в первую включают стадии, среди продуктов которых имеются вещества первой группы, а во вторую — все остальные.

3) Вычисляют глобальные чувствительности с нормировкой внутри каждой из двух групп элементарных стадий. В каждой группе выделяют те стадии, чувствительности к которым не менее чем на порядок больше остальных. Эти стадии включают в окончательный механизм и исключают из дальнейшего анализа чувствительности (но учитывают при решении прямой задачи).

Характеристики

Список файлов учебной работы