Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 68
Текст из файла (страница 68)
При фиксированном значении аргумента, например при г = гы получим сечение †случайн величину Х (г,) с дисперсией 1:) [Х ((,)] ~ О (предполагается, что дисперсия любого сечения существует), Таким образом, каждое фиксироваи- 391 нос значение аргумента определяет сечение — случайную величину, а каждой случайной величине соответствует ее дисперсия.
Отсюда следует, что каждому фиксированному значению аргумента 1 соответствует определенная дисперсия; это означает, что дисперсия случайной функции есть функция (неслучайная, причем неотрицательная) от аргумента 1; ее обозначают через Р„(1). В частном случае Р„(1) может сохранять постоянное значение при всех допустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение дисперсии, Дисперсией случайной функции Х (1) называют неслучайную неотрицательную функцию Р„(1), значение которой при каждом фиксированном значенйи аргумента 1 равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента: Р„(1) = Р [Х (1)1. Дисперсия характеризует степень рассеяния возможных реализаций (кривых) вокруг математического ожидания случайной функции («средней кривой»).
При фиксированном значении аргумента дисперсия характеризует степень рассеяния возможных значений (ординат) сечения вокруг математического ожидания сечения («средней ординаты»). Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квадратическое отклонение случайной функции, которое определяют по аналогии со средним квадратическим отклонением случайной величины. Средним квадратическим отклонением случайной функции называют квадратный корень из дисперсии: о„(1) = $~ Р„(1). й 7.
Свойства дисперсии случайной функции Используя свойства дисперсии случайной величины, легко получить свойства дисперсии случайной функции. Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции <р(1) равна нулю: Р ~~р (1) ) = О. Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функции Х(1) и неслучайной функции ~р(1) равна дисперсии слу- 392 чайной функции: И«Х(()+ р)()1 =О.((). Свойство 3.
Дисперсия произведения случайной функции Х(() на неслучайную функцию <р(() равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции: [) «х (() р (()1 = р (() [:)„ ([). Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной, а неслучайная функция — постоянной величиной. Пример. Найти дисперсию случайной функции Х (() = У а|п Ц где У вЂ” случайная величина. причем Р(У) =6.
Решен н е. Найдем дисперсию, приняв во внимание, что неслучайный множитель а|п | можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат: Р [Х (Г)) = Р [У а|и Ф[ = в| па тР (У) = 6 а! пе К Итак, искомая дисперсия Р (|)=6 в|па Д $ В. Целесообразность введения корреляционной функции Математическое ожидание и дисперсия характеризуют случайную функцию далеко не полно. Можно привести примеры двух случайных функций, которые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, но поведение которых различно. Зная лишь эти две характеристики, в частности, ничего нельзя сказать о степени зависимости двух сечений.
Для оценки этой зависимости вводят новую характеристику — корреляционную функцию. Далее покажем, что, зная корреляционную функцию, можно найти и дисперсию; поэтому знать закон распределения для отыскания дисперсии нет необходимости. Уже это обстоятельство указывает на целесообразность введения корреляционной функции. Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, введем понятие центрированной случайной функции по аналогии с понятием цеитрированной случайной величины (цеитрированной случайной величиной называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х=Х вЂ” тп„). 393 Центрироесиеной случайной функцией называют разность между случайной функцией и ее математическим ожиданием: х ()) = х ()) — т„(().
$9. Корреляционная функция случайной функции Рассмотрим случайную функцию Х (с). При двух фиксированных значениях аргумента, например при г = г, и г = г„получим два сечения — систему двух случайных величий Х (1,) и Х (са) с корреляционным моментом М(Х(с,) Х (с,)1, где Х (),) = Х ((,) — т„ ((,) и Х (се) = Х (Га) — т„ ((е).
Таким образом, каждая пара чисел г', и га определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент. Отсюда следует, что каждой паре фиксированных значений с, и Га соответствует определенный корреляционный момент; это означает, что корреляционный момент случайной функции есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов г, н (,; ее обозначают через К„(г„са). В частном случае значения обоих аргументов могут быть равны между собой. Приведем теперь определение корреляционной функции.
Корреляционной функцией случайной функции Х (с) называют неслучайную функцию К„(гы 1е) двух независимых аргументов ), и с„значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: К„(г„г,) =М (х И,) Х (),)1. 3 а меч а н и е. При равных между собой значениях аргументов корреляционная функция случайной функции равна дисперсии етой функции: дк(). Е)=)у.().
действительно, учитывая, что В (с) =М [Х (с) — юп. (с))а = М [1((с)[а, получим Дя (Е, () = М [Х ()) Х ())) = М [У( (())е = В„ [г). 394 Таким образом, достаточно знать корреляционную функцию, чтобы найти дисперсию случайной функции, Нример. Задана случайная функция Х(С)=УС, где У вЂ” случай- ная величина, причем М (У)=4, В(У)=10. Найти: а) корреляцион- ную функцию; 6) дисперсию заданной случайной функции.
Регае н к е. а) Найдем математическое ожидание: ад (1) = М ! Х (1) ! = М (УГ) = СМ (У) = 4Ф. Найдем центрированную функциюд ~( (1) = Х (С) — 'и» (С) =УС вЂ” Ф = (У вЂ” 4) С, ~С (Сд) (У 4) Сд, )д (С ) (У 4) С Найдем корреляционную функцию: К„((ь С~)=М (Х (1~) Х (С~))=М ((У вЂ” 4) Сд (У вЂ” 4) Се! =Г,С,МНУ вЂ” 4)Д)=-Г,С,С)(У)-10СС,. Итак, искомая корреляционная функция К» (Гм Св) !0(дге. б) Найдем дисперсию, для чего положим Сд=гд Н СУ»(О=К»(1, 1)=10(1. Итак, искомая дисперсии С)„(Г) =10(а.
$ 10. Свойства корреляционной функции С в о й с т во 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство сим метрам)1 К» (С Са) = К (С Сд). Доказательство. По определениюкорреляционной функции, К„(С„С,)=М Ф(С,) Х(С,)1, К„ (С , С,) = СИ [Х (С,) Х (С )1. Правые части этих равенств равны (математическое ожи- дание произведения ие зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак, К„(С, С ) =К„(С„С ).
За меча нне 1. Прибавление к случайной функции Х(С) не- случайного слагаемого ф(1) ие изменяет ее центрировзнной функции: 395 Г(Р)-Х(0+в У), 1р) =)(р). Действительно, математическое ожидание функции У(т) ж„(г) =и«„(г)+«Р у). Скедоввтельно, )Р(~)=)" (г)- „(П (х(г)+фриц-(~,(г)+ф(~))= -х (с) — т„(г) =Я(г), Итак, У' ()) = М (Р). Сво(«ство 2. Прибаелениекслучайной функции Х(() неслучайного слагаемого «р (г) не изменяет ее кооргляционной функции: если ) (() = х (() + ф ((), о«о Хз ((з (з) = К» ((з (з) Доказательство. В силу замечания 1 Х'(() = Х (().
Отсюда гз'(Ф«) = Л ((«) н У ((,) = Х ((з). Следовательно )и Ф((,))Р(Р,)1=М[х(г,)х(р,ц. Итак, Хг ((з« Рз) К» (!«« Рз)' 3 л мече нне 2, При умножении случейиой функции Х(«) нв неслучайный множитель «Р («) ее центрирове инея функция умножается на этот же множитель: если )' (Р) = Х (Р) «р (Р), У ()) х (Р) ф (г). Действительно, математическое ожндвнне функции )' ()) и«г Я =«Лй (Х (Р) «р (Е)1 = «Р (г) лз» И Скедоввтельно, )' (О = )' (О- ж„ (~) = (Х (С) ф (г)! — (и«„ (Р) р (Р)! = «Р (з) (Х (Π— ж, Щ ! = «р (Ф) Х (ц. Итак гу)=Х(с) р(с). Свойство 3. При умножении случайной функции Х (1) на неслучайный множитель ф(1) ее корреляционная функция умножается на произведение ф(1,) ф(1,); если У' (1) = Х (1) ф (1), то Ку(1в 1в) =Ка(1в ° 1в) ф (1в) ф(1а) Доказательство.
В силу замечания 2 У (1) = Х (1). Следовательно, Ку (1в~ 1в) = М Ф (1в) ) (1вЯ = М (ЕХ (1в) ф (1в)1 Р~ (1а) ф (1вЮ' Вынесем неслучайные множители за знак математического ожидания: Ку (1 1 ) = ф (1в) ф (1а) М Ф (1в) Х (1а)1=ф (1в) ф (1а) Кк(1в 1а)' Итак, К„(1,. 1,) =К. (1„1.) ф(1,) ф(1,) Доказательство. Известно, что для модуля корреляционного момента двух случайных величин справедливо неравенство (см. гл.
Х1У, $ 17, теорема 2) ! )а„у! < Ф~б„~)у. (т г у Прн фиксированных значениях аргументов 1, н 1, значение корреляционной функции равно корреляционному моменту соответствукяцих сечений — случайных величин Х (1,) и Х (1,). Поэтому неравенство(вв) можно записатьтак: 1 в. О„~,н ( угЛтг; у3. С в о й с т в о 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений: ~ к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
