Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделированне) называют «разыгрываннем случайной величины». Изложим лишь некоторые способы разыгрывания случайных величин и укажем, как оценить допускаемую при этом ошибку. $2. Оценка погрешности метода Монте — Карло Пусть для получения оценки а» математического ожидания а случайной величины Х было произведено и независимых испытаний (разыграно п возможных зна.ений Х) и по ним была найдена выборочная средняя х, которая принята в качестве искомой оценки: а' =х.
Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка а'. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно, возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы 6 допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надежностью) у: Р ( ~ Х вЂ” а ~ -.
6) = у. Интересующая нас верхняя граница ошибки 6 есть ие что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов, о которой уже шла речь в гл. ХЧ1. Поэтому воспользуемся результатами, полученными ранее, и рассмотрим следующие три случая. 1. Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратическое 364 отклонение о известно. В этом случае с надежностью у верхняя граница ошибки (см.
гл. ХЧ1, 9 16) 6 =(о/)/ и, (и) где л — число испытаний (разыграниых значений Х); 1— значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф (() =- у/2, о — известное среднее квадратическое отклонение Х. Пример !. С надежностью т = 0,95 найти верхнюю границу ошибки 8, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х с известным средним квадратическим отклонением, равным 0.5, было разыграно 100 возможных значений Х. Решен не, По условию, я=100, а=0.5, Ф(1) =0,95/2=0,475.
По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим 1=1,96. Искомая верхняя граница сшибки 8=1,96 05/3~100=0098. 2. Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение о неизвестно. В этом случае с надежностью у верхняя граница ошибки (см. гл. ХЧ1, 9 16) 6=8 з/у и, (еи) где ~ — число испытаний; в — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, г находят по таблице приложения 3. Пример 2. С надежностью у = 0,95 найти верхнюю границу ошибки 8, если для оценки математического ожидания нормальной величины Х было разыграно 100 ее возможных значений н па ним найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение з=0,5.
Ре ш е я не По условию, я=100, з=0,5 Используя таблицу прилпжеиия 3, по у=0,95, и=-1ОО наделим ге=1,984. Искомая верхняя граница ошибки 5=1,984 0,5/)'!00=0 099. 3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (и >30) с надежностью, п р и б л и ж е н н о равной у, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (я), если среднее квадратическое отклонение о случайной величины Х известно; если же а неизвестно, то можно подставить в формулу («) его оценку з — «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (»в).
Заметим, что чем больше и, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при н — оп распределение Стьюдента стремится к нормальному (см. гл. ХЧ1, 9 16, замечание). В частности (примеры 1 и 2), при л= 100, у = 0,95 верхняя граница ошибки равна 0,098 по формуле (») и 0,099 по формуле (»»). Как видим, результаты различаются незначительно.
3 а меча вне. Дла того чтобы найтн наименьшее чнсло нспытаннй, которые обеспечат наперед заданную верхнюю граннпу ошибки б, надо выраанть л нз формул (е) н (аа): и = гана/б', и = г~таа/ба. Например, если б = 0,098, г =!,90, а= О,б, то мнннмальное число аспытаннй, прн которых ошибка не превысит 0,098, равно и= ),90«.о,б«/0.098«=!00. 9 3. Случайные числа Ранее было указано, что метод Монте — Карло основан на применении случайных чисел; дадим определение этих чисел.
Обозначим через тт непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (О, 1). Случайными числами называют возможные значения г непрерывной случайной величины Й, распределенной равномерно в интервале (О, 1). В действнгельности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной )с, возможные значения которой, вообще говоря, имеют б е с к о н е ч н о е число десятичных знаков, а квазираеномерной случайной величиной )с', возможные значения которой имеют к он е ч н о е число знаков.
В результате замены Я на Я разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенноо заданное распределение. В приложении 9 приведена таблица случайных чисел, заимствованная из книги: Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 428. ф 4. Разыгрывание дискретной случайной величины Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т. е. получить последовательность ее возможных значений х; ((=1, 2, ..., и), зная закон распределения Х: Х х, х,...х„- Р Р«ра ° Ра Обозначим через Я непрерывную случайную величину, распределенную равномерно а интервале (О, 1), а через г Ц= 1, 2, ...) — ее возможные значения, т. е. случайные числа.
Разобьем интервал О<1г < 1 на оси Ог точками с координатами р„р,+р„р,+р,+р„..., р +Р,+... ...+р„, иа и частичных интервалов Ь„1„..„Ь„: Дл. Ь, Р,— О=Р„ Дл Ье (Р1+ Ре) Р1= Рм Дл Ьч = 1 — (Р$+ Ре+ ° ° ° + Рч-1) =Рф Видим, что длина частичного интервала с индексом 1 равна вероятности с тем же индексом: Дл.
Ье' Рс (ь) Теорема. Если каждому случайному числу г (О ~г <1), которое полило е интереол Ь„стазить е соотеетстзие зозмозсное значение хо то РазыеРьмаемал ееличила бУдет иметь заданный закон Распределения: Х х, х, ... х„ Р Р ° ° ° Р Доказательство. Так как прн попадании случайного числа г~ в частичный интервал Ьг разыгрываемая величина принимает возможное значение х„а таких интервалов всего л, то разыгрываемая величина имеет те же возможные значения, что и Х, а именно х„х„..., х„. Вероятность попадания случайной величйны Я в ийтервал Ь, равна его длине (см. гл.
Х1, $ 6, замечание), а в силу (ч) Дл. Ь,=Р,. Такнмобразом, вероятность попадания й в интервал Ь~ равна ро Следовательно, вероятность того, что разыгрываемая величина примет возможное значение хо также равна р, (поскольку мы условились в случае попадания случайного числа ге в интервал Ь| считать, что разыгрываемая величина приняла возможное значение х,).
Итак, разыгрываемая величина имеет заданный закон распределения, Правило. Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину, заданную законом распределения Х х, х,...х„ Р Р1 Ре ° ° ° Рч надо: 1) разбить интервал (О, 1) оси Ог на а частичных интервалов: Л,— (О; Р,), Л,— (Рг) Р +Рз) Ль (Р + +Р,+...+Р„';, 1); ' 2) выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число г~. Если г~ попало в частичный интервал Л!, то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение х;. Пример. Разыграть 8 значений дискретной случайной величины Х, закон распределения которой задан в виде таблицы Х 3 1! 24 р 0,25 0,16 0,59 Р е ш е н н е. 1. Разобьем интервал (0,1) осн Ог точками с коардинатамн 0,25; 0,25-! 0,16=0,41 на 3 частичных интервала: Лг— (О: 0.25) Лз — (0,251 0.41) Лз (О 41' !). 2.
Выпншем нз таблицы приложения 9 восемь случайных чисел, например: 0,10; 0,37; 0,08; 0„99; 0,12; 0,66; 0,31; 0,85, Случайное число г, =0,10 принадлежит частичному интервалу Л,, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение хг =3. Случайное число гз = — 0,37 принадлежит частичному интервалу Лз, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение хз= 11. Аналогично получим остальные возможные значения. Итак, разыгранные возможные значения Х таковы 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24. 3 а меча н не. Лалее будет показано, что разыгрывание со 6 ытн й можно свести к разыгрыванию диск рет ной с луч айной не л и ч и н ы.
Сначала рассмотрим полную группу, состоящую нз двух событий (см. 6 5). а затем из л событий (см. 6 6). Разумеется, полная группа из двух событий является частным случаем полной группы и событий. Однако исходя из методических соображений этот частный случай намерено выделен в самостоятельный параграф — 65. $ б. Разыгрывание противоположных событий Пусть требуется разыграть испытания, в каждом из которых событие А появляется с известной вероятностью р и, следовательно, не появляется с вероятностью д=1 — р.
Введем в рассмотрение дискретную случайную величину Х с двумя возможными значениями (для определенности примем х,=1, х,=О) и соответствующими,им вероятностями р, = Р, Р, = д. Условимся считать, что если в испытании величина Х приняла возможное значение х, =-1, то событие А наступило; если Х =-х,= О, то собы- 368 тие А не наступило, т. е. появилось противоположное событие А. Таким образом, разыгрывание противоположных событий А и А сведено к разыгрыванию дискретной случайной величины Х с заданным законом распределения: Х 1 О Р Р Ч Для разыгрывания Х надо (по правилу 9 4) интервал (О, 1) разбить точкой р на два частичных интервала: Ь,— (О, р) и Ла — (р, 1). Затем выбирают случайное число г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
