Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 62
Текст из файла (страница 62)
гл. Х!Х, $8). 1. Пусть нулевая гипотеза о равенстве нескольких средних (далее будем называть нх групповыми) правильна. В этом случае факторная н остаточная дисперсии являются несмещеннымн оценками неизвестной генеральной дисперсии (см. $ 4) н, следовательно, различаются незначимо. Если сравнить этн оценки по критерию Р, то очевидно, критерий укажет, что нулевую гипотезу о равенстве факторной н остаточной дисперсий следует прннять. Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних правильна, то верна н гипотеза о равенстве факторной н остаточной дисперсий. 2.
Пусть нулевая гипотеза о равенстве групповых средних ложна. В этом случае с возрастанием расхождения между групповымн средними увеличивается фактор- наЯ диспеРсиЯ, а вместе с ней н отношение Р„,е„—— зфз,„,/з',. В итоге Р„,е, окажется больше Ркв и, следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута. Таким образом, если гипотеза о равенстве групповых средних ложна, то ложна н гипотеза о равенстве факторной н остаточной дисперсий. Легко доказать от противного справедливость обратных утверждений: нз правильности (ложностн) гипотезы о дисперсиях следует правильность (ложность) гипотезы о средних. Итак, для того ииобы проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, достаточно проверить по критерию Р нулевую гипотезу о равенстве факторной и оспиипочной дисперсий.
В этом н состоит метод днсперснонного анализа. Заме ч а ние К Если факториая дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда следует справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и, значит, нет надобности прибегать к критерию Р. За меч анне 2. Если нет уверенности в справедливости предположения о равенстве дисперсий рассматриваемых р совокупностей, то зто предположение следует проверить предварительно, например по критерию Кочрена.
Пример. Произведено по 4 испытания иа каждом нз трех уровней. Результаты испытаний приведены в табл. 32. Методом дисперсиониого анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую и (ееее)) Р Г/ р я,„, ( т пч) — [( т. ц(чю~ а08м) — О |52. 1 л 1 Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: 5ост = бобщ 5еаат = 266 — 152= ! 14. Найдем факторную и остаточную дисперсии: з~е, —— Зв,„,/(р — 1) = 162/(3 — 1) = 76; з' = Б„т((р(г( — 1)) = 11473 (4 — 1) = 114)9 = 12,67, Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию Р (см. гл.
Х1Х, 53), для чего найдем наблюдаемое значение критерия: гаабь зфакт/бюст=76/12~67 = 6 Учитывая, что число степеней свободы числителя й,=2, а знаменателя аз=9 н уровень значимости а=0,05, по таблице приложения 7 находим критическую точку: Р„р(0,05; 2; 9) =4,26. Так как Ра,б > Р„р — нУлевУю гипотезУ о Равенстве гРУпповых средних отвергаем. Брускин словами, групповые средние чв целомэ различаются 'значимо. Если требуется сравнить средине попарно, то следует воспользоваться критерием Стьюдента, 3 а не ч а н не 3.
Если наблюдаемые значения хг7 — десятичные дроби с одним знаком после запятой, то целесообразно перейти к числам угу= !Ох!7 — С, где С вЂ” примерно среднее значение чисел ! Ох;7. В итоге получим сравнительно небольшие целые числа. Хотя при этом факторная и остаточная дисперсия увеличиваются в 1О' раз, нх отношение не изменится. Например, если хм =!2,1, хзг = 12,2, хзг=!2,6, то, приняв уй — — 10 х!7 — !23, получим: ды= !21 — !23= — 2, ры — — 122 — 123= — 1, аз!= !26 — 123=3.
Аналогично поступают, если после запятой имеется й знаков: 917 = 10ахо — С. й 6. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях Выше число испытаний на различных уровнях предполагалось одинаковым. Пусть число испытаний на различных уровнях, вообще говоря, различно, а именно: произведено г), испытаний на уровне Ры дз испытаний— на уровне Р„..., д испытаний — на уровне !о . В атом 358 случае общую сумму квадратов отклонений находят по формуле З.б~=[Р!+Р.+ "+Рр1 — [(Н!+В.+" +)тр)*!лЪ Рв где Р,= ~~~!х,',— сумма квадратов наблюдавшихся значе! ! ний признака на уровне Р;, Р, ~ х!, †сум квадратов наблюдавшихся значе1=! ний признака на уровне Р„ Рр= ~~."! х!„ †сум квадратов наблюдавшихся значек.! ний признака на уровне Рр, Ра Ув 'Р Я! = ~ х(!э Яд = д~~ хне ° ° ' э Йр ~хгр суммы 1=! с=! С=! наблюдавшихся значений признака соответственно на уров- Р Р Рр л=д!+д,+...
+др — общее число испытаний (объем выборки). Если для упрощения вычислений из каждого наблю- давшегося значения хы вычитали одно и то же число С и приняли у; =х, — С, то З., =Д,+и+... +О,Д вЂ” [(Т,+Т,+... +Т,)*~п1, Фв Фа е. где ()!= ~~у~! Я =.с~у!~.. Ор= с~у!р' Т ~уп.
1=1 с=! ! ! с=! Фа р Т,=,'~'уоо ..., Т,=',)',у„. !-1 г=! Факториую сумму квадратов отклонений находят по формуле 5„„,= [М;~М+(й4М+... +(Рр~ур)1— — [)г!+)г.+ ° . +йр)*(пЪ если значения признака были уменьшены (уу — — х!р — С), то З . = [(Т~Ч,)+ (ТЧЧ.)+ ° .. +(ТУ у,)) — [(Т„+ Т,+... +т,)Ул1, Остальные вычисления производят, как и в случае одинакового числа испытаний: ~оса ~общ ~факт~ бф,„, — — Яф,„,/(р — 1), б~, = 3„,/(П вЂ” р). Пример. Произведено !О испытаний, из них 4 на первом уровне фактора, 4 — на втором и 2 — на третьем. Результаты испытаний приведены в табл. 34.
Йетодом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,0! проверить нулевую гипотезу о равенстве групповык средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одииаковымн дисперсиями. Таблица 34 Решение. Для упрощения расчета вычтем С=64 из каждого наблюдаемого значения: уг/=х// — 64. Составим расчетную табл.
35. Используя табл. 35, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений: 8 б = ~~ Цу — ~(„~~ Т/)~/л) = 3253 — [( — 27)*/10) = = 3253 — 72,9 = 3180, 1; 8ф,„,=((7'а/с/а)+(т /ба)+(та/ба)) — 1(ла!', т>) /и)=- = (7744/4) + (441/4) + (1600/2) ) — 72,90 = 2846,25 — 72,90 = 2773,35. Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: част = Зобщ Зфаас — 3180,10 2773,35 = 406,75. Найдем факториую н остаточную дисперсии: афаот ааааа/(р — 1) = 2773,35/(3 — ! ) = 2773,35/2 = 1387; аост =. 8ост/(и — р) = 406. 75/(1Π— 3) = 406 75/7 = 58. Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию Р (см. гл.
Х!Х, б 8), для чего найдем наблюдаемое значение критерия: Раааа'= афакт!/ а ст Таблица 35 Учитывая, что число степеней свободы числителя Аз=2, а знаменателя я =7 н уровень значимости о=0,01, по таблице приложения 7 находим критическую точку: Р„р(0,01; 2; 7) =9,55. Так как Гя,а > Р„р — нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние различаются значимо.
Задачи В задачах 1 — 3 требуется прн уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних, Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одииаковыми генеральными дисперсиями. 1. Олга Раааа б 1 3 Р~р (О ~ 05; 4; 1 5) = 3, 06. Нулевая гипотеза отвергается.
Оим. Реева=2,4; Р„р (0,05; 3; 12) 3,49. Нет оснований отвергнуть нулевую гннотеау. 3. Ото. Риаеи=9 92' Рир (0.051 2; !0)=4,10. Нулевая гипотеза отвергаетсн. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ МЕТОД МОНТŠ— КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА Глава двадцать первая МОДЕЛИРОВАНИЕ (РАЗЫГРЫВАНИЕ)СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТŠ— КАРЛО 5 1. Предмет метода Монте — Карло Датой рождения метода Монте — Карло принято считать )949 г., когда американские ученые Н. Метрополис и С. Улам опубликовали статью «Метод Монте— Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте — Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку — одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании которых основан этот метод.
ЗВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте — Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматнческого управления, экономических, биологических и т.
д.). Сущность метода Монте — К а рло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М (Х) = а. Практически же поступают так: производят л испытаний, в результате которых получают л возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое х = (~; х,)(л и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа сп а а*=х.
Поскольку метод Монте †Кар требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
