Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если г попадает в интервал Л„то Х = х, (наступило событие А); если гу попадает в интервал Л„то Х=х,=б (событие А не наступило). Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна Р и, следовательно, вероятность наступления противоположного события А равна 1 — р, надо выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайное число гу(1=1, 2, ...); если г < р, то событие А наступило; если гу~» р, то появилось противоположное событие А.
Пример. Разыграть 6 нспытаннй, в каждом на которых событне А появляется с вероятностью р= 0,35. Р е ш е н н е. Выберем на таблицы прнложення 9 шесть случайных чисел, например: ОАО; 0,36,' 0,08: 0,99; ОА2: 0,06. Считая, что прн гу < 0,35 событне А появилось, а пра гу)0,35 наступило протнаоположное событнг А, получим нскомую последовательность событий; А, А, А, А, А, А, $ 6. Разыгрывание полной группы событий Разыгрывание полной группы и (и > 2) несовместных событий А„А„..., А„„вероятности которых р„р„..., р„известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения (для определенности примем х,= 1, х, =-2, ..., Ха=а): Х 1 2...а Р Р Ра ° ° ° Р» Действительно, достаточно считать, что если в испытании величина Х приняла значение х; = !(! =: !, 2, ..., и), то наступило событие А;.
Справедливость этого утверждения следует из того, что число а возможных значений Х равно числу событий полной группы н вероятности возможных значений л, н соответствукицях нм событий А, одинаковы: Р(Х=х,)=Р(А,) р,. Таким образом, появление в нспытаннн события А равноснльно событию состоящему в том, что дискретная случайная велнчнна 7( приняла возможное значенне х,. Правиле. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом нз которых наступает одно яз событий А„А„.. „А„ полной группы, вероятностн которых р„р, ..., р, нзвестны, достаточно разыграть (по правнлу 2 4) дискретную случайную величину Х со следукдцнм законом распределення: Х 1 2 ...
и Р Рх Рз Р Если в нспытаннн величина Х прнняла возможное значенне х, 1, то наступило событие А,. Пример 1. Заданы вероятностя четырех событий, образующих полиуогруппу: рх=Р (Ах)=0,19, Р,=Р (А ) =021, р, Р (Аз)=034, р *Р(~~) о,хо. Разыграть 6 нспытаннй, в каждом ка которых появляегся одно ив четырех заданных сабытиА. Р е ш е н н е. В соответствие с правилом, приведенным в кастожпем параграфе, авдо равыграть дискретную случайную всличнну-Х, закон распределенвя которой Х 1 2 3 4 р 0,19 0,21 0,34 0,26 По правилу й 4 разобьем интервал (0,1) на четыре частнчных катерввла: Ь,— (О; 0,19), Ьз-(0,19; 0,40), Ьз — (0,40; 0,74), Ье— (0,74; 1). Выберем из таблнпй прйложения 9 пать случайных чясел, например: 0,66; 0,31; 0,86; 0,63; 0,73.
Так как случаАное число гх = 0,66 принадлежит интервалу Ьз, то Х 3, следовательяо, наступило событие Ае. Аналогично найдем остальные события. Итак, искомая последовательность событнА такова: Ае, Аз, Аы Аз, Аз. Пример 2. События А н В независимы н совместны. Разыграть б кспытаннА, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2. Решеняе. Воаможны 4 исхода яспытаиня: Ах АВ, причем в силу независимости событнА Р (АВ) = Р(А).Р(В) 06.02=0,12; А, АВ, причем Р (АВ) 0,6.0,8=0,48; Аз АВ, причем Р(АВ) 0,4 0 2=0,06; А ХВ, причем Р(АВ)=0,4-0,6 0,32. Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четыРех событий: Ах с веРоатностью Р =0,12, Аз с веРоатностью Р,с~0,48, Аз с вероятяостью рз=0,06 н Аз с вероятностью ра 0,32.
370 В свою очередь, в соответствии с правялом настоюнего параграфа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины Х, закон распределения которой Х 1 2 3 4 Р 0,12 0,48 0,08 0,32 Используем правило 9 4. Выберем 6 случайных чисел, например: 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0.70, Построим частячные иятерввлы: бч — (О; 0,12), Ьа — (0.12; 0,60): Лз — (0,60; 0,68), аа — (0.68; 1). Случайное число гз= 0,45 принадлежит интервалу Ь„поэтому наступило событие А,=АВ. Аналогично найдем исходы остальяых нспытаянй.
Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испытаний такова: АВ. АВ, АВ, АВ, АВ, АВ. Пример 3. События А н В зависимы н совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(А) 0,8, Р (В) = 0,6, Р (АВ) = 0,5. Решение. Возможны 4 исхода нспытаинш Аз=АВ, причем, по условию, Р(АВ) 0,5; Аз=АВ, при(ем Р(АВ) Р(А) — Р(АВ) 06 — 05=03; Аз = АВ, причем Р (А В) = Р (В) — Р (А В) = 0,6 — О,б 0,1; Ае = АВ, причем Р (АВ) 1 — (Р (А1)+ Р (Аз)+ Р (Аз)) !в — (0,5+0,3+О,!) 0,1.
Таким образом. задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: Аз с вероятностью 0,5, Аз с вероятностью 0,3, Аз с вероятностью 0,1 и А, с вероятностью 0,1 и Аа с вероятностью О,!. Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,69; 0,3$. Для контроля приводим ответ: АВ, АВ, АВ, АВ. П о я с и е н и е, Так кзк А=АВ+АВ, то Р (А)=Р (АВ)+Р(АВ). Отсюда Р (АВ) = Р (А) — Р (АВ). Аналогично получим. что Р (А В) = Р (В) — Р (АВ).
$7. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, т. е. получить последовательность ее возможных значений хг(! = (, 2, ...), зная функцию распределения р (х). Теорема. Если г,— случайное число, то возможное значение х, разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения г" (х), соответл. 371 ствующее гн является корнем уравнения Р(х;) =гн («) Доказательство. Пусть выбрано случайное число г, (О < г, < 1).
Так как в интервале всех возможных значений Х функция распределения Р(х) монотонно возрастает от О до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х„ прн котором функция распределения примет значение г,. Другими словами, уравнение («) имеет единственное решение х,=Р '(г;), где Р ' — функция, обратная функции у=Р(х).
Докажем теперь, что корень х, уравнения («) есть возможное значение такой непрерывной случайной величины (временно обозначим ее через $, а потом убедимся, что с = Х). С этой целью докажем, что вероятность попадания $ в интервал, например (с, д), принадлежащий интервалу всех возможных значений Х, равна приращению функции распределения Р (х) на этом интервале." Р (с < $ < б) = Р (с() — Р (с). Действительно, так как Р(х) — монотонно возрастающая функция в интервале всех возможных значений Х, то в этом интервале ббльшим значениям аргумента соответствуют ббльшие значения функции, и обратно. Поэтому, если с < х, < д, то Р(с) < г;< Р(й), и обратно (учтено, что в силу (») Р(х,) =г,].
Из этих неравенств следует, что если случайная величина $ заключена в интервале с<$<й, (»») то случайная величина Я заключена в интервале Р (с) < й < Р (а), (««») и обратно. Таким образом, неравенства («») и (««») равносильны, а, значит, и равновероятны: Р(с < 5 < г1)=Р~Р(с) < Я < Р(И)]. («»««) Так как величина )с распределена равномерно в интервале (О, 1), то вероятность попадания Я в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (О, 1), равна его длине (см. гл. Х1, $6, замечание). В частности, Р[Р(с) < Я < Р(д)]=РО() — Р(с).
Следовательно„соотношение (вава) можно записать в виде Р (с ( $ С г() = Р (г() — Р (с). Итак, вероятность попадания $ в интервал (с, г() равна приращению функции распределения Р (х) на атом интервале, а зто означает, что $ =Х. Другими словами, числа х„ определяемые формулой («), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения Р (х), что и требовалось доказать. Правило !. Для того чтобы найти возможное значение хг непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения Р(х), надо выбрать случайное число г„ приравнять его функции распределения и решить относительно х, полученное уравнение Р (х,) = г;.
3 а меч ан не 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графнческнм клн численным методам. Пример Е Разыграть 3 возможных значення непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2, 10). Р е шенк е. Напншем функцию распределения велнчнны Х, распределенной равномерно в ннтервале (а, Ь) (см.
гл. Х1, $3, прнмер): Р (х) = (х — а)/(Ь вЂ” а). По условию, а=2, Ь=10, следовательно, г" (х) = (х — 2)/8. Используя правнло настоящего параграфа, напашем уравнение для отыскання нозможных значений хо для чего прнравняем функцию распределення случайному числу: (хг — 2)/8 = гв Отсюда хг=агг+2. Выберем 3 случайных чнсла, например, г,=0,11, та=0,17, г =0,66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
