Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Случайные функции аргумента ( обозначают прописными буквами Х ((), г (() и т. д. Например, если У вЂ” случайная величина, то функция Х (г) = г»У — случайная. Действительно, при каждом фик- 386 сированном значении аргумента зта функция является случайной величиной: при г, = 2 получим случайную величину Х, = 4У, при 1, = 1,5 — случайную величину Х,=2,250 и т. д. Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения. Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.
Например, для случайной функции Х (Г) = РУ, приведенной выше, при значениях аргумента Г, =2 и (,= 1,5 были получены соответственно случайные величиий Х, =4У н Х,=2,250, которые и являются сечениями заданной случайной функции. Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин 1Х(Г)), зависящих от параметра г. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации. Реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайной функции Х(1) называют неслучайную функцию аргумента г, равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания. Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из воз. можных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация. Реализации функции Х (Г) обозначают строчными бук.
вами х,((), х,(Г) и т. д., где индекс указывает номер испытайия. Например, если Х (1) = У з1п г, где У вЂ” непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение и,=З, а во втором испытании и,=4,6, то реализациями Х(1) являются соответ« ственно неслучайные функции х,(г)=Зз(п( и х,(() = = 4,6ейп г. Итак, случайную функцию можно р ассматривать как совокупность ее возможных реализаций. Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию аргумента 1, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется.
В атом примере скорость самолета — случайная функция от неп р е р ы в н о изменяющегося аргумента (времени), т. е. скорость есть случайный процесс. Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность. Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если иамеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В атом примере диаметр †случайн функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити). Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно, В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры — случайные величины, задать ее аналитически можно.
Например, случайными являются функции: Х (г) = з!п И, где И вЂ” случайная величина, Х(г)=У з1п 1, где У вЂ” случайная величина, Х(г)=Узкий(, где Й и У вЂ” случайные величины. ф 3. Корреляционная теория случайных функций Как известно, при фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной.
Для задания втой величины достаточно задать закон ее распределения, в частности одномерную плотность вероятности. Например, случайную величину Х, = Х ((,) можно задать плотностью вероятности )(х,); в теории случайных функций ее обозначают через ~,(х,; 1,); здесь индекс 1 при ( указывает, что плотность вероятности одномерная, 1,— фиксированное значение аргумента х,— воаможное значение случайной величины Х, = Х ((,). Аналогично, через ~, (х„(,), ~, (х,; Г,) н т.
д. обозначают одномерные плотности вероятйости сечений Х, = Х ((,), Х, = Х (1,) и т. д. Одномерную плотность вероятности любого сечения обозначают через (, (х; (), подразумевая, что аргумент ( принимает все допустимые значения. Например, если случайная функция Х(() распределена нормально с параметрами га„(~)=4, о„(()=3, то <к- И>' (,(х; 1)= е '<'па', З~~~ 3~2и Хотя функция г,(х; 1) полностью характеризует каждое отдельно взятое сечение, нельзя сказать, что она полностью описывает и саму случайную функцию. (Исключением является случай, когда любой набор сечений образует систему независимых случайных величии.) Например, зная лишь одномерную функцию распределения сечения, невозможно выполнять над случайной функцией операции, требующие совместного рассмотрения совокупности сечений.
В простейшем случае совместно рассматривают два сечения: Х,=. Х ((,) и Х, = Х (1,), т. е. изучают систему двух случайных величин (Х„ Х,). Известно, что зту систему можно задать двумерным законом распределения, в частности двумерной плотностью вероятности ~(х„ х,). В теории случайных функций ее обозначают через ~,(х„х,; 1„Г,); здесь индекс 2 при 1 указывает, что плотность вероятности двумерная; 1, и 1,— значения аргумента 1; х„х,— возможные значейия случайных величин, соответственно Х,=Х(1,) и Х,=Х((,). Хотя двумерный закон распределения описывает случайную функцию более полно, чем одномерный (по известному двумерному можно найти одномерный закон), он не характеризует случайную функцию исчерпывающим образом (исключением являются случаи, когда случайная функция распределена нормально нли представляет собой марковский случайный процесс).
Аналогично обстоит дело и при переходе и трехмерным, четырехмерным распределениям н т. д. Поскольку такой способ изучения случайных функций является, вообще говоря, громоздким, часто идут по другому пути, не требующему знания многомерных законов распределения, а именно изучают моменты, причем ограничиваются моментами первых двух порядков. Корреляционной теорией случайных функций называют теорию, основанную на изучении моментов первого и второго порядка.
Эта теория оказывается достаточной для решения многих задач практики. В отличие от случайных велнчкн, для которых моменты являются числами и позтому их называют числовыми харпктеристиками, моменты случайной функции являются неслучайными функциями (их называют характеристиками случайной функции). Ниже рассматриваются следующие характеристики случайной функции: математическое ожидание (начальный 389 момент первого порядка), дисперсия (центральный момент второго порядка), корреляционная функция (корреляционный момент).
$4. Математическое ожидание случайной функции Рассмотрим случайную функцию Х (г). При фиксированном значении аргумента, например при «=1„ получим сечение — случайную величину Х(г,) с математическим ожиданием М (Х (1,)). (Полагаем, что математическое ожидание любого сечения существует.) Таким образом, каждое фиксированное значение аргумента определяет сечение — случайную величину, а каждой случайной величине соответствует ее математическое ожидание.
Отсюда следует, что каждому фиксированному значению аргумента 1 соответствует определенное математическое ожидание; это означает, что математическое ожидание случайной функции есть функция (неслучайная) от аргумента г'; ее обозначают через т„(1). В частном случае функция т„(1) может сохранять постоянное значение при всех дойустимых значениях аргумента. Дадим теперь определение математического ожидания. Мал«елиипическии ожиданием случайной функции Х («) называют неслучайную функцию т„(1), значение которой прн каждом фиксированном значении аргумента 1 равно математическому ожиданию сечения, соответствукицего атому же фиксированному значению аргумента: а«„(К) = М (Х.
(1)). Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые — реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты). й 5. Свойства математического ожидания случайной функции Используя свойства математического ожидания случайной величины, легко получить свойства математическогп ожидания случайной функции. 390 Свойство 1.
Математическое ожидание неслучайной функции й) (Ф) равно самой неслучайной функции: М [<р (()1 = гр (1). Свойство 2. Неслучайный множитель ~р(1) можно вьиюсить ва знак математического ожидания: М [~р (() Х (1)1 = гр (г) М [Х (1)] = гр (г) т„(г). Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слаеаемых: М[Х(1)+У(()1= „(()+т„(().
С л е д с тв и е. Для того чтобы найти математическое ожидание суммы случайной и неслучайной функций, достаточно к математическому ожиданию случайной функции прибавить неслучайную функцию: м[х ®+р(г))=т„(()+ р(1). Рекомендуем самостоятельно доказать приведенные свойства, учитывая, что при любом фиксированном значении аргумента случайная функция является случайной величиной, а неслучайная функция — постоянной величиной. Например, свойство 3 доказывается так: при фиксированном значении аргумента случайные функции Х (() и У (1) являются случайными величинами, для которых математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример. Найти математическое ожидание случайной функции Х(Г)=1/ соя т, где У вЂ” случайная аелнчииа, причем М (У) 2. Р е гп е н и е. Найдем математическое ожидание, учитыаая, что неслучайный множитель соз г' можно аынести эа знак математического ожидания: М (х (г)1= м 10 соз Г)=соя гМ (()) =2 соа и Итак, искомое математическое ожидание Юа(т)=3СОа К й 6. Дисперсия случайной функции Рассмотрим случайную функцию Х (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
