Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 70
Текст из файла (страница 70)
((„(,)+К„((„1.). .1)оказательство. Так как функции Х(г) и УЯ не коррелированы, то нх взаимные корреляционные функ; цни равны нулю. Следовательно, соотношение (е) примет вид Кг(~»»»е) Кк(»» ° ~з)+Кк(~г» ~а). Методом математической индукции следствие можно обобщить на п попарно некоррелированных функций. Замечанне 2. В частностн, прн равных значениях аргументов Гт=Г»=г получнм К (Ц г)=К (», »)+Кв(Ц Г), нлн )уе у) — ))х (г)+(~в (г). Итак, дисперсия суммы днух некоррелнрованных случайных функцна равна сумме днсперсна слагаемых. Следствие 2.
Корреляционная функция случайной функции Х(1) и некоррелированной с ней случайной величины 1' равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины: если Е (() = Х (г) + У', К.(11. Фа) =Кк(1 ° Га)+Пе Пояснение. Случайную величину У' можно считать случайной функцией, не измеиякнцейся прн изменении 404 аргумеита (:У (() =У при всех значениях 1. Тогда У (Ф)=У и, следовательно, К„((„(,)=МФУ1=М ГУ*1=в„. Прпмер, Заданы случайные функцнн Х (1) =1У, У (1) =1эУ, где У н У вЂ” некоррелнрованные случайные велнчнны, причем М (У) =3, М(У)=Б, )У(У)=0,2, Р(У)=Б.
Найти; а) математнческое омнданне; б) корреляционную функцню; в) днсперсню суммы Е(1)=Х(1)+ +У(1) Решен не. а) Найдем математнческое оягндвняе суммы заданных функций. По теореме ) яэа(1)= яэ (1)+пгв(1) М(1У)+М (РУ)=1М (У)+НМ(У)=51+Бгэ. б) Найдем корреляционную функцию суммы Е (1).
Так как случайные велнчнны У н У не коррелнрованы, то нх корреляцнонный момент равен нулю: М ((У вЂ” 3) (У вЂ” Б)] = О. Следовательно, взанмная корреляцнонная функция г„„(1,, 1 ) =м (х (1,) )1 (1,)1 =1АМ ((У вЂ” з) (У вЂ” Бн =0, а значит, функцнн Х ОО я )' (1) не коррелнрованы. Поэтому искомая корреляционная функцня в силу следствия ! Кэ(гь 1э)=КлИг 1э)+Кв(гь 1э). Выполннв выкладкн, окончательно получнм Ка (1м 1э) = 0,2 1ггэ + 5!г 1э в) Найдем нскомую дисперсию; 0~ (1) = К (1, 1) = 0,21э+ 514, и 1В. Производная случайной функции и ее характеристики При изучении случайных величин встречалось понятие сходимости по вероятиости.
Для изучения случайных функций необходимо ввести среднеквадратичную сходимость. Говорят, что последовательность случайных величии Х„Х„..., Х„,... сходится в среднеквадратичном к случайной величине Х, если математическое ожидание квадрата разности Մ— Х стремится к нулю при л — оо: М 1(Մ— Х)'1 = О. Случайную величину Х называют пределом в среднеквадратичном последовательности случайных величин Х„ Х„..., Х„, ... и пишут Х = 1.).ш.Х„. Заметим, что из среднеквадратичной сходимости следует сходимость по вероятности; обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Случайную функцию Х(~) называют дифференцируемой, если существует такая функция Х' (г) (ее называю производной), что )(ш М1х(г+а') — ху) Х ())1'=О.
ы,а (. й Итак, производной случайной функции Х (г) называют среднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Ы прн М рл Х, (О 1 . х у+аг) — х (г) = .1.ш. еи в~ о Пусть известны характеристики случайной функции. Как найти характеристики ее производнойР Ответ на зтот вопрос дают теоремы, приведенные ниже, причем рассматриваются только среднеквадратично дифференцируемые случайные функции. Теорема 1. Математическое овкидание производной Х'(Г) =х от случайной функции Х(1) равно производной от ее математического ожидания: т. (г) =т',(М). Доказательство.
По определеяию производной, х (с+ ай — х (г) ы- в И Приравняем математические ожидания обеих частей равенства, а затем изменим порядок нахождения математического ожидания и предела (законность изменения порядка зтих операций примем без доказательства): МгХ (,)1 )) М1 х(г+и) — д(~)1 ы- о Используя свойства математического ожидания, получим М[Х'(Ф)1= )1щт'(~+~~) ~."(~)=т,'.(1).
дю о Ы Итак, т. ()) =т„'(~). Замечание 1. По существу доказано, что дш среднекеадратичеоги дифференцируемыл случайных функций операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно менять местами. Действительно, запишем доказанную теорему так: м (х (1)1=(м (х(1)1)'. Мы видим, что в левой части равенства сначала находят производную, а затем математическое ожидание; в правой части — наоборот. Пример 1. Зная математическое ожидание т (1)=гд+1 случайной фуикпнн Х(1), найти математическое ожидайне ее производной.
Реш ен не. Искомое математическое ожидание т. (1)=тг(1)=11д+11'=21+1. 3 а м е ч а н и е 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй производной и обозначают через Х'(1). гдналогвчно определяют производные более высоких порядков. 3 а м е ч а н н е 3.
Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка и равно производной этого же по- ртдка от математического ожидания случайной функции. Теорема 2. Корреляционная функция производной огп случайной функции Х (1) равна второй смешанной произ- водной огп ее корреляционной функции: ( ) дзК (1д, 1д) дгд д1д Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению корреляцион- ной функции, К..
(1„1,) = И ~Х'(1,) Х'(1,)1. Представим произведение производных как вторую смешанную частную производную: Х (1 ) Х (1 ) дд А (1 ) ~(1д)) д1д д1д Следовательно, К (1, 1)=)И.1д 1~(1)~(1*)1~. д1д д1д Изменив порядок операций нахождения математического ожидания и дифференцирования (на основании замечания 1), окончательно получим д М (Х (1д) Х (гд)1 ддК. (1„ 1д) д1д д1д дгд д1д Итак, д Кх(гд гд) Кй (1д1 12) = д1 д1 ° Пример 2. Зная корреляционную функцию х(х(ть Сз) 2(зтд+хххх случайной функции Х(х), найти корреляционную функцию ее производной. Р е ш е н н е.
Найдем частную производную от заданной корреляционной функция по ха дК„((ь т,) д(И,~,+~х(з) 2, + ... дсх и Найдем частную производную от полученного результата по (з: д К«(Н 1з) д (2сз+2йхз) 2 4у ( даат дхх д!з Искомая корреляционная функция К ((ь хх) =2+ 4хххз. Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случай- ной функции Х (() и ее производной Х' (() =х равна част- ной производной от корреляционной функции по соот- ветствующему аргументу (если индекс х при хт записан на первом (втором) месте, то дифференцируют по пер- вому (второму) аргументу1: (( ( ) д'(«(~х ~з) б) р (( ( ) д)(«(хх, Мз) «х з з — д( Доказательство. а) По определению взаимной корреляционной функ- ции двух функций Х(() и Х' (() =х, хсх >=и[хе)х ч >]=м [хнз ~ Ь~~= М )д(Х (тх) Х(тх))~ д~, Изменим порядок операций дифференцирования и нахождения математического ожидания: дм (х (с,) х ((„)) дк„(т,.
т,) Итак, искомая взаимная корреляционная функция Жх (~з (з) х 1« д( б) Доказывается аналогично. 408 Пример 3. Задана корреляционная функция Кл(1м ~з)=тдтзет +та случайной функции Х (1). Найти взаимную корреляционную функцию я ° (уо тз). р е ш е н н е. Воспользуемся формулой дК Уь тз) зй джаз Выполнив дифференцирование заданной корреляционной функции по 1з, получим оКз(~т 1з) 1 т,+ц(т а~, Итак, искомая взаимная корреляционная функция й . (1м 1з)=1тез +~ (1з+!). В 17. Интеграл от случайной функции и его характеристики Интегралом от случайной функции Х (1) по отрезку (О, 11 называют предел в среднеквадратическом интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интервала Ьгт максимальной длины (переменная интегрирования обозначена через г, чтобы отличить ее от предела интегрированна 1): У (1) = 1.! лп.,'У, 'Х (гз) Ь г; = ~ Х (и) сЬ.
аз; о о Пусть известны характеристики случайной функции. Как найти характеристики интеграла от случайной функции? Ответ на этот вопрос дают теоремы, приведенные ниже. Теорема 1. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания: если У(1) =) Х(г) йз, о 1 то(1) = ) т„(г)аг.
о Доказательство. По определению интеграла, У(1) =1Ллп.',5',Х(гт) Ьг,. ьз ° о з Г1риравняем математические ожидания обеих частей ра- венства; М ~)' (Е)1 = М ~1.(лп. ~ч~', Х (з,) аз!1 . 1 а*,- о Изменим порядок нахождения математического ожидания и предела (законность изменения порядка зтих операций примем без доказательства): М1У(Е)1= 1(т ~М~Х(вс)Лв;~. ьзс-~.о Воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий: М1)с(Е)1= 1(т ~~~',т„(зс) йсвс. Ьз -~0 учитывая, что ~з, т„(вс) сзвс — интегральная функции т„(в), окончательно получим сумма те (Е) = ) т„(в) сЬ, о 3 а ие ч а и ие.
По существу доказано, что операции назоъсдения математического оясидания и среднеквадратичного интегрирования можно менять местами. Действительио, запишем доказанную теорему так: М ) Х(з)дз ='1 М[Х(зЦдз. ~о .1 о Видим, что в левой части равенства сначала находят интеграл, а затем математическое ожидаиие; в правой части — наоборот. Пример !. Зная математическое ожидание т . (Е)=2!+ ! случай- иой функции Х (с), найти иатеиатическое ожидание иитеграла с ! (Е)= ') Х(з)дз.
о Р е ш е и и е. Искомое математическое ожидаияе с ис„(Е)= ~ т (з) дз= ) (2з+!) дз= Ез+Е. о е Теорема 2. Корреляционная функция интеграла от случайной функции Х (Е) равна двойному интегралу от ее корреляционной функции: 4)о если У(1)=) Х(з)сЬ, о с» с» Кр (~с| (в) з о К» (зсв зс) сЬд сЬа о о Доказательство. По определению корреляцион- ной функции, К„(1„1,) = М [У (1с) с'' (1,)1. Центрированная случайная функция с с ~'(Ю) =У(8) — т„(1) = $ Х( )Нз — $ т„(~)гЬ = о о ') (Х (з) — т„(з)1 сЬ, о или У(с)= $ Х(з)сЬ, о Поскольку под знаком определенного интеграла перемен- ную интегрирования можно обозначать любой буквой, обозначим переменную интегрирования в одном интеграле через з„ а в другом †чер з, (чтобы отличить перемен- ные интегрирования и пределй интегрирования); с, И,) = $ Х (з,) (з„К ((,) = $ Х (з,) Ь,.
о о Следовательно, св с,с У'(Юс) Ъ~ (Ф,) = ) Х (з,) Нзс $ Х(зс) сЬ, $ ~ Х(з,) Х (ес) Нзс сЬ,. Приравияем математические ожидания обеих частей ра- венства: Г' с~ ир'оссод-и~1сссо1х<ссг а~. бе 4!с Изменив порядок операций нахождения математичес- кого ожидания и интегрирования, окончательно получим с, с, Кз ((„(,) = ) ~ К„(в„в,) с(в, йв,. (»») о о Пример 2. Зная корреляционную функцию Кз(СС Сз)=4(сзз+ + 9сссе случайной функции х (с), найти корреляционную функцию ннтетрвлв У (С) ~ Х (з) с(з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
