Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Доказательство. Известно, что корреляционная функция производной любой дифференцируемой случайной функции равна второй смешанной производной отсе корреляционной функции (см. гл. ХХ111, й 16, теорема 2): ( ) дел л ((здт) Е ы а д! ду По условию, Х (1) — стационарная функция, поэтому ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов: Из соотношения т= — 1,— 1, следует, что дт дух Учитывая равенства (в), получим дтт д( =й*(т)'( 1) = йк(т) ° 46%„(т) дт Видим, что искомая корреляционная функция зависит только от т, поэтому К;(8„(з)=я„. (с). Итак, йя (т) = — ях(т). Пример.
Задана корреляционная функция д (т) =2е е ат' стационарной случайной функции х (е). найти: а) корреляццонную функцию; б) дисперсию производной Х'()) =к. Ре ш е н и е. а) Продифференцнровав дважды заданную корреляционную функцию и изменив знак результата на противоположный, найдем искомую корреляционную функцию: (т) 2е- е лт~ () тз) Ф б) Положив т=0, получим искомую дисперсию: Р ° = Д. (О) =2. й й $6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной Теорема.
Взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции Х(1) и ее производной Х' (1) = х равна первой производной от корреляционной функции й„(т), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс х стоит на втором (первом) по порядку месте: а) г„. (т) = я'„(т); б) г;, (т) =- — й; (т), Предполагается, чгпо т = га — Г,.
До каза тел ьст в о. а) По определению взаимной корреляционной функции, Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить (см. гл. ХХ111,2 16, замечание !), поэтому вм()1 В,) х (г,)) ак,(гы ~,) Так как Х (() — стационарная функция, то ее корреляционная функция зависит только от'разности аргументов: К„(у„йя) =-н„(т), где т = $а — (, н, следовательно, — = 1. Таким образом, )~д (Го ~а) — й» (т)' 1 = К(т).
дд„(т) Лйл (с) дт Правая часть равенства зависит только от т; следовательно, и левая часть есть функция от т. Обозначив ее через г „ (т), окончательно получим г„(т) = й; (т). б) Доказывается аналогично. Заметим, что поскольку взаимная корреляционная функция г„;(т) зависит только от т, то стационарная случайная функция и ее производная стационарно связаны (см. 5 4) 1)ример. издана корреляционная функция ".«( )= ( +( стационарной случайной функции Х (!).
Найти азанмйую корреляционную функцию. с ° (т) заданной случайной функции и ее производной. Р е ш е н н е, Воспользуемся формулой г (т)* й„'(т). а) Пусть т~б. Тогда (т(=т, А (т)=е т(!+т), А„(т)=е тХ Х1-(1+т) е т= — те т. Таким образом, при т~о г (г) = — те зй б) Пусть т < О. Тогда ( т ! = — 'г, йз(т) = ет (1 — т), яз ( т) — ет + +(1 — т) ет = — тет .
Таким образом, прн т < О г (т) = — те' . Итак, искомая азанмная корреляционная функция те т прн т2а О г . (т) = ( —;тет при т < О. $7. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции Теорезза. Корреляционная функция интеграла У (з) ~ Х (а) дз от стационарной случайной функции )равна с, 1 ° -Ц Ка(ую Сз) = $ (Сз — т) й„(т)с(т — $ (1,— (,— т)й„(т) йт+ о о и + ) (г, — т) й„(т) йт. (а) о Доказательство. Известно, что корреляционная функция интеграла )'(г) = ~ Х (з) йз от случайной функции Х(г) равна двойному интегралу от ее корреляционной функции (см. гл.
ХХ111, 2 17, теорема 2): Ко(1„1,) = ~ ~ К„(з„з,) сЬ,йз,. о о Принимая во внимание, что корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от разности аргументов, т, е. К„(з„ з,) =й (з, — з,), получим К„(12, 1,) = 1 ) й (з, — з,) йз, Нз,. о о (о«) Вычисление этого интег- г рала весьма громоздко, поэтому ограничимся указани- ~ф ями: перейти к новым переменным т=з,— з„$=з,+з,; начертить новую область ин- ~, Ф 4 ~л тегрирования, ограниченную прямыми т = $, т = — ь.
с «=~ — 21„т= — $+21„и о г г гб Ф выполнить интегрирование по а. Двойной интеграл по 'области ОАВО можно вычис- -ги лить как разность двойных интегралов по областям ОАС Рнс. 28 и ВОС. При интегрировании по области ОБЕ переставить пределы интегрирования по т и перейти к новой переменной т'= — т (рис. 28).
Следствие. Дисперсия интеграла У(1) = ) Х (з) йз о от стационарной случайной функции равна Ф П„(1)=2 ~(à — т)й,(т)йт. о Действительно, положив (с Фа ! в формуле (о), получим Ка ((, !) = (! — т) й (т) да†(! — ! — т) с(т + с + (Ф вЂ” т) й„(т) с(т. После приведения подобных члеяов окончательяо имесм Оа(!) 2 (! — т)й (т)с(т. !)ример. Задана коррелицноннав функции Фа(т) !/()+те) стационарной слуеайной функции Х(с).
Найти дисперсвсо интеграла ! ! (с)-~Х(а) и. Р е гл е в н е. Всспоааауемси Формулой (ее): с с Р (Ф вЂ” т! с)г !)н(с)-й (с-т)й„()й -й",+' с !.(.т — т+Ъ. Вмполниа интегрирование, полунин испомусо двсперсввк Оа(с) иагс(кс-)и()+!а). Заметим, по функции г (с) ие стационарно, тан вак ее дисперсии ие настенина. а аааисвг ог аргуииига Г. и й.
Определение характеристик пргодячаскнх стационарных слуеайиых функций из опыта Среди стационарных случайных функций мшкио выдавнто класс функций, оценка характеристик которых путем усреднения множества реализаций равносильна уереднению по времени только одной реализации достаточяо большой длительности. Стационарную случайную функцию л(!) называют прподмеаской, если ее характеристики, найденные усреднением множества реализаций, совиадают с соответствуквцнми харалтеристнками, полученными усреднением по времени одной реалязацнн х(!), которая ейв — (() й.
Известно, что корреляционная функция стационарной случайной функции Й. (т) =М [А'(Г) 1 (и+т)), Таким образом, оценить Й„(т) означает оценить мате- м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е функции 3( (1) 1 ((+ т), поэтому можно воспользоваться соотношением (а)„учи- тывая, что функция Х (т+т) определена при г+т(Т и, следовательно, ((Т вЂ” т.
Итак, в качестве оценки корреляционной функции эргодической стационарной случайной функции принимают г-т Й'(т)= — ) х(С)х(Е+т)й (аа) о либо, что равносильно, т-$ Й;(т) = — ) х(г) х(г+т)й — (т,']*. (ааа) наблюдалась на интервале (О, Т) достаточно большой длительности. Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции Х(Ц относительно математического ожидания состоит в том, что ее корреляционная функция Й„(т) при т — оо стремится к нулю: 11ш Й,(т)=О. Достаточное условие эргодичности стационарной случайной функции Х(1) относительно корреляцио и н о й ф у н к ц и и состоит в том, что корреляционная функция Й„(т) при т оо стремится к нулю: Вт Й„(т) = О, где У' ((, т) Х (() Х ((+ т).
В качестве оценки математического ожидания эргодической стационарной случайной функции Х (Г) по наблюдавшейся на интервале (О, Т) реализации х(1) принимают среднее по времени ее значение: т Практически интегралы вычисляют приближенно, на- пример по формуле прямоугольников, С этой целью делят интервал (О, Т) на и частичных интервалов длиной !ьг =Т~п; в каждом частичном 1-м интервале выбирают одну точку, например его середину (;. В итоге оценка (») принимает вид л ?па = — (х(г!) Ы+х((,) А(+...
+х((„) Лг)= — ~ х((!), г=! Учитывая, что гьг = Т1п, окончательно получим !=[а*!з!)!'.. Аналогично приближенно вычисляют интеграл (»а), полагая, что т принимает значения Л(, 2Ы,..., (и — 1) А(, или, что то же, Т(п, 2Т!п, ЗТ)п, „, (и — 1) Т)п. В итоге оценки корреляционной функции (»») и (»»») принимают соответственно внд; ":Ю=.-' ~")'(") а-! й'„[ ( — ) = — ~, х (( !) х ((г+ !) — (т„)а, г=! где 1 = 1, 2, ..., и†1. 3 а м е ч а н и е.
Можно показать, что оценка (е) — несмещенная, ~т т.е. М ~!па~=я!„; оценка (ьч) — аснмптотически несмещенная, т. е. 1пп М (яа(т))=дал(т). т- Задачи 1. Является ли стационарной случайная функция Х(!)=- =гьО, где Π— случайная величина. причем! а) т„ФО, б) ю„=о? Оп!а. а) Нет: л! . (!) Ф сонь!: б) Нет: корреляционная фуйкцня зависит не от разности аргументов, а от каждого нз ннх. 2. Стациоиарна ли случайная функция Х (!) =ь!п (!+!р), где !р — случайная величина, распределенная равномерно в ннтервале (О, 2п)? Оим.
Да: ю. (Г)=о=сонь!, К (1„?ь)=0,5 сов(?ь — гй. 3. Известно, что если !р — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2л), то случайная функция Х (!) = а!п (!+!р) — стационарная. Можно лн отсюда непосредственно заключить, что случайная функция Ъ'(!)=сов(!+!р) также стационарна? Опм. Можно: изменив начало отсчета аргумента, например на и/2, стационарной функции Х(!), получим функцию г' (!). 430 4. Задана случайная функция Х(1)=1+ Уе!и!+!Г сов С где У н У вЂ” случайные величины, причем М (У) = М (У)=0, О (У)=О (1')=6 М (УУ) =О. Доказать, что: а) Х (1) — нестацнонарная функция; б) Х (1) — стационарная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
