Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Олгв. а) ги» (Г)гесопз1; б) лз. (!) =соне!, Х» (гы 1,) = 6 сов (гз — (з). 6. Известна корреляционная функция я»(т)=ае зт стационарной случайной функции Х(!). Найти корреляционную функцию случайной функции У(!) 6Х(!). Оте, й„(т)=тбе ™. б. Задана корреляционная функция й» (т) =2е зт стационарной случайной функции Х(1).
Найти нормированную корреляционную функцию. Отв. р» (т)=е т. 7. Заданы две стационарные случайные функции Х (!)=сов (2!+Р) и г' (1) = з!п (2! +Ф), где Ф вЂ” случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2п). Доказать, что заданные функции стационарно связаны. Оюв. Л»н(1п !е)=0 бв!п 2(1з — 1г). й. Задана корреляционная функция й»(т)=бе е" стацноиаркой случайной функции Х (!). Найти: а) корреляцнонную функцию; б) дксперсию производной Х' (!) =». Оюе.
а) й. (с)=0,24е е'зт (1 — 04ъз); б) О =024 » » О. Задана корреляционная функция»»(т)= е т 'стационарной случайной функции Х(1). Найти взаимные йорреляционные функции случайной функции Х(1) н ее производной. Отв. г . (т) — 2ге т; г. (т)=2те т . »» »» 10. Задана корреляционная функция й» (т)=е 1т ! стационарной Ф случайной функции Х (1). Найти дисперсию интеграла У (1)= Х (з) бз, Оае. Ов (() = 2 ( ! + е - ! — 1). Глава двадцать пятая ЗЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ СТАЦ ИОН АРН Ы Х СЛУЧАЙ Н Ы Х ФУНКЦИ Й й 1. Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами В втой главе вводится новая характеристика стационарной случайной функции — спагстральная алогиность, которая упрощает теоретические и практические 431 расчеты.
В частности, используя ее, можно найти характеристики выходной функции стационарной линейной динамической системы по известным характеристикам входной функции (см. $ 8). Далее будет показано, что стационарную случайную функцию, вообще говоря, можно представить в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами. 1. Рассмотрим случайную функцию вида Х (1) = У соз е1+ У з|п е1, () где ы — постоянное действительное число; (1 и У вЂ” некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями: гл„=от„=О, 1)„= В„= В.
Преобразуем правую часть соотношения (»): Я (1) = У ~ — соз е1 + з|п а1) . ~и Положив (11У= 1н ~Г и выполнив элементарные выкладки, получим Л (1) =- У'й+У' э|п (м1+ р), где «р = агс1ц ((11У). Отсюда следует, что случайную функцию 2 (1) = = У соз М + У з|п «М можно истолковать как гармоническое колебание со сл у чайной амплитудой У(1'+У', слу ча й ной фазой Ы+агс1ц ((1/У) и частотой ы. Заметим, что, по допущению, гл„=т,=-О, поэтому (1 и У вЂ” цеитрированные случайные величины: 0= У и У=У. Легко убедиться, что т,(1) = О. Следовательно, Я (1)— центрированная случайная функция: 2(1)=~(1). Покажем, что У (1) = (1 соз Ы + У з|п Ы вЂ” стационарная случайная функция.
Действительно, математическое ожидание т,(1) =О, т.е. постоянно при всех значениях аргумента. Найдем корреляционную функцию, приняв во внимание, что 2(1) =2(1): й.. (1„1,) = М)г'(1,) 2(1,)) = М Гг(1,) Л(1.Н = = М | (У сов ы1, + У з|п Ы,) ((1 соз ы1, + У з|п со1,)). Выполнив элементарные выкладки*', получим К, (Е„Е,) .= В соз (Е, — Е ).
Итак, корреляционная функция случайной функции 2(Е) зависит только от разности аргументов, а ее математическое ожидание постоянно. Следовательно, 2(Е)— стационарная случайная функция, что и требовалось доказать. 2. Рассмотрим теперь случайную функцию Х(Е), которая является суммой конечного числа слагаемых вида («): Х (Е) = .'~~ ~(Е, совет,Е+Утз)пот,(1, (««) )'= 1 где случайные величины (Ет и 1', не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: П(и,) =П(Уе) =Е).
Заметим, что Х(Е) — центрированная функция, т. е. Х (Е) = Х (Е). Действительно, математическое ожидание каждого слагаемого суммы (««) равно нулю; следовательно, математическое ожидание лт„(Е) этой суммы также равно нулю и, значит, Х (Е) = Х (Е) — т„(Е) = Х (Е). Докажем, что функция Х (Е) вида (««) — стационарная. Действительно, математическое ожидание ги„(Е) =- О при всех значениях аргумента, т.
е. постоянно. Кроме того„слагаемые суммы (ч«) попарно не коррелированы (см. далее пояснение), поэтому корреляционная функция этой суммы равна сумме корреляционных функций слагаемых (см. гл. ХХ111, 5 15, следствие 1 из теоремы 2), В п. 1 доказано, что корреляционная функция каждого слагаемого (»«) зависит только от разности аргументов — Следовательно, корреляционная функция суммы (««) также зависит только от разности аргументов: Кл(Еы Ее) = ..".,В,совет; (Е,— Е)„ С=1 и Прн выкладках следует учесть, что, по условию, М (Уа) = = М (те е) = Е), а так как У = У, т' = У, то М (Уа) = М (У') = В.
Случайные величины У и Г не коррелнрованы, поэтому их корреляционный момент р««==М(УР)=М(УУ) =О. или й, (т) = ~~„', 'О, соз в,т, 1=1 (»»») где т $,— $,. Таким образом, случайная функция Х(!) вида (»») есть стационарная функция (разумеется, должны выполняться условия, указанные в и. 2). Принимая во внимание, что (см, п. 1) (»=фрог~~, »( й-~-р~, где «р;=агс1я(У;/У,), заключаем, что сумму (»») можно записать в виде » х д) - х ~'й +T, » [ ,~ .> ч;).
С=1 Убедимся, что их взаимная корреляционная функция равна нулю и, следовательно, они не коррелированы (см. гл. ХХ111, 5 12): Я,, (1„г,) = М ГХ, (1,) Х, (г,Ц вЂ” М ЕХ, (1,) Х, (1,Н = М ~(У, соз в,1, + У, з!и в,1,) (У, сов в,1, + ~; з!и в,1,)1. Выполнив умножение и вынеся неслучайные множители за знак математического ожидания, найдем Я„„,(1„1,) =созв,1,соз в,1,М (У,У,)+ + з! п в,г1 соз в,!»М (У,У,) + з!и в,1, соз в11,М (У,~',) + + ып в,1, з!и в,1,М (У,$',). 434 Итак, если случайная функция Х (г) может быта представлена в виде суммы гармоник различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами, то Х (!)— стационарная функция.
Спектральным разложением стационарной случайной функции называют представление втой функции в виде суммы гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и случайными фазами. Пояснение. Покажем, что слагаемые суммы (»») попарно не коррелированы. Для простоты, не теряя обгцности доказательства, ограничимся двумя слагаемыми: Х,(!) =У,созв,!+У, з!ив,! и Х,(!) = У,созв,!+У, з!ив,г, Случайные величины У„У„У„У, попарно не коррелированы, поэтому нх корреляционные моменты равны нулю; отсюда следует, что все математические ожидания парных произведений этих величин равны нулю.
Например, корреляционный момент величин В, и О, равен нулю: р„,„, = М (У,0,) = О; так как эти величины центрированные (см. и. 1), то М (У,Р,) =О. Итак, взаимная корреляционная функция К„„((„(,) = = О, что н требовалось доказать. й 2. Дискретный спектр стационарной случайной функции А. Частоты — произвольные числа, количество нх конечно. Пусть стационарная случайная функция Х (1) может быть представлена в виде спектрального разложения Х (!) =- ~~~~ Х; (() = ~ [У; совы;(+У; 5!пы;(1, (э) С~ ' 11 причем сохраняются допушеиия, указанные в начале п.
2 (см. $ 1). Найдем дисперсию одной гармоники Х, (!), учитывая, что случайные величины У, н У, не коррели- рованы н дисперсии величин с одинаковыми индексами равны между собой: Р (У,.) = В (У,) = В,: Р [Х; (!)1 = В [В; соэ ы!! + У; з!и ы; (1 = Р [Р; соз оь;(1+ + В [У, з!и ы;!1 = сов* а/В (Р;) + з!и' ы;! В (У,) =- = (сов* я;! + з!и' ы,!) Р, = В;, Итак, В [Х~ (Г)1 = Рь (ээ) Таким образом, дисперсия (-й гармоники спектрального разложения (э) равна дисперсии случайной величины У;, илн, что то же, дисперсии случайной величины У;, Найдем теперь дисперсию стационарной случайной функции Х(1), приняв во внимание, что слагаемые Х,(1) не коррелированы (см. $ 1) и поэтому дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых (см.
гл. ХХ111, $15, замечание 2): Г а В [х (!)) = В ~;Е х, (!) ~ = .')'" В [х, (г)1, Используя (««), окончательно получим л ЩХ([Ц = ~',Вг с Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы конеч- ного числа гармоник с произвольными частотами, равна сумме дисперсий составляющих ее гармоник. Дискретным спектром стационарной случайной функ- ции Х ([) вида («) называют совокупность дисперсий всех составляющих ее гармоник. Заметим, что поскольку каждой частоте «д; можно поставить в соответствие дисперсию Оь то спектр можно изобразить графически: на горизонтальной оси отклады- вают частоты од„а в качестве соответствующих ординат (их называют спектральными линиями) строят диспер- сии [уг. Этот дискретный спектр называют линейчатым.
Пример. Построить дискретный спектр ствннонврпой случвйиой функпнн Х (г) = [[гд соз 2г+ Уд з|п 2г)+[Бесов зг+ Уе ып зг)+ +[Уз соз 4г+ Уз в|о 4е), если случзйные величины Уы Уд, [Гз; Уд, Уе, Уз не коррелироввны, нк мвтемвтнческне одкидвннк равны нулю н звдзиы дисверсни: Р([Уд)=Р(Уд)=3, Р[ие)=Р[Уе)=а, Р[из)=Р(Уз)=4. Р е щ е н н е. Отложив нз горизонтальной осн частоты ыд — — 2, ы =3, ыз — — 4, в на вертнквльной оси — соответствующие им ордннвты Рд=5, Рз=б, Рз=4, получим грвфнк искомого спектра. Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
