Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Функцию Х(г) называют случайным процессом Пуассона. Очевидно, каждая реализация Х (Г) есть неубывающая ступенчатая функция. Процесс Пуассона широко используется при решении многих задач практики н особенно в теории массового обслуживания. Замечание. Длительность времени между появлениями двух последовательных событий простейшего потока (случайная величина Т) распределена по показательному закону. Действительно, убедимся, что функция распределения случайной величины Т имеет внд Р (г) =- 1 — е-ы. События Т ( г и Т=:.
г' противоположны, поэтому Р(Т<()+Р(Т-. 1)=1, или Отсюда. Р (Т~) !) есть вероятность того, что за время длительности г ие появится ни одного события потока; эта вероятность, как показано выше, равна е-ы. Итак, Е(г) =1 — е-м, что и требовалось доказать. 2.
Винероеский процесс. Известно, что если в жидкость погрузить маленькую частицу, то она под влиянием ударов молекул жидкости будет двигаться по ломаной линии со случайными направлениями звеньев. Это явление называют броуновским движением по имени английского ботаника Р. Броуна, который в 1827 г. открыл явление, но не объяснил его.
Лишь в 1905 г. А. Эйнштейн описал броуновское движение математически. В 1918 г. и в последующие годы американский ученый Н. Винер построил 458 математическую модель, более точно описывающую броуновское движение. По втой причине процесс броуновского движения называют винеровским процессом. Прежде чем определить винеровский процесс, введем предварительно понятия нормального процесса и процесса с независимыми приращениями.
Случайный процесс Х (1) называют нормальным (еаУссовым), если совместное распределение Х (1,), Х (1,), ° ° ., Х((ь) является нормальным для каждого й и всех (ю'= 1, 2, ..., й). Нормальный процесс полностью определяется его характеристиками: математическим ожиданием и корреляционной функцией.
Случайный процесс Х (1) называют процессом с независимыми нрираи(ениями, если его приращения на неперекрывающихся интервалах взаимно независимы, т. е. случайные величины Х (1,) — Х (1,), Х (1,) — Х (1,), ..., Х(1е) — Х(ге,) для 1, <У,(...
(г„взаимно независимы, Процесс с независимыми приращениями определяется распределением приращений Х (1) — Х (в) для произвольных 1 н з. Если приращение Х(1) — Х(в) зависит только от разности г' — в, то процесс называют процессом со сгяационарными нриращенияии. Винеровским процессом (процессом броуновского двизсения) называют нормальный случайный процесс Х(8) с независимыми стационарными приращениями, для которого Х(О) = О, М 1Х (1)1=0, М 1Х (г)*] =оЧ для всех 1) О.
Важное значение винеровского процесса состоит в том, что ои используется прн изучении многих других случайных процессов. 3. Марковский случайный процесс. Используем терминологию, введенную в гл. ХХП, 9 1. Пусть в каждый момент времени некоторая система может находиться в одном из состояний Е„Е„... (число состояний ко« печно или счетно). Если система случайно переходит нз одного состояния, например Е;, в другое, например Е~, то говорят, что в системе происходит случайный процесс. Если при этом вероятность перехода из состояния Ег в состояние Е~ зависит только от состояния Е; и не зависит от того, Когда и как система пришла в зто состояние, то случайный процесс Х(1) называют марковским. другими словами, если для каждого момента времени Г, протекание случайного процесса Х (1) в будущем (прн 1 > ~,) определяется его настоящим (значением Х(Г,)) и 459 не зависит от прошлого (от значений Х(1) при г «.
(«), то Х (1) — марковский случайный процесс. Различают марковские процессы с дискретным мно- яееством состояний (число состояний конечно или счетно, переходы из состояния в состояние происходят скачком) и с непрерывным множеством состояний, а также разли- чают процессы с дискретным временем (моменты переходов фиксираваниы) и с не~рерывным временем (моменты пе- реходов случаины). В качестве примера рассмотрим процесс обслуживания простейшего потока заявок системой массового обслужи- вания с ожиданием (в такай системе заявка «становится в очередь», если все каналы заняты) и показательным временем обслуживания; покажем, что этот процесс является марковским.
Допустим, что в момент времени 1» система находи- лась в некотором определенном состоянии (обслуживается некоторое число заявок, причем обслуживание каждой из них уже длилось определенное время). Назовем условно «будущим обслуживанием» обслуживание для моментов времени ! > 1„которое определяется: а) длительностью оставшегося времени обслуживания заявок, поступивших до момента г»; б) числом заявок, которые поступят после момента г»'„ в) длительностью обслуживания этих заявок. Убедимся, чта будущее обслуживание не зависит от того, как происходило обслуживание до момента Действительно: а) длительность оставшегося времени обслуживания заявок, которые уже обслуживались в момент ~„не за« висит от времени обслуживания в силу характеристи- ческого свойства показательного распределения; б) число заявок, которые поступят после момента !„ ие зависит от числа заявок, которые поступили до мо- мента 1„ в силу свойства отсутствия последействия про-' стейшего потока; в) длительность обслуживания заявок, поступивших после момента („ очевидна, не зависит ни от числа заявок, которые поступили до момента 1„ни от длительности обслуживания каждой из них, Итак, будущий процесс обслуживания (прн ( ) (») за- висит только от состояния системы в момент ( и ие зависит от того, как протекала рабата системы до момента (».
Дру- гими словами„процесс обслуживания простейшего потока заявок системой с ожиданием и показательным законом времени обслуживания является марковским процессом. П р в л о ис о в в о Критичаскиа точки рксирекаааиви 7а Уаанань анааннассн а Числа ссанааай санвадм и о.о! о,ото о,оо о,оо о.оо О О7$ 0,00016 ЗО . 2710 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О !1 12 !з 14 15 !б !7 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 6,6 9,2 11,3 !3,3 !5,1 !6,8 18,5 20,1 21.7 23,2 24,7 27,7 29,! 34,8 36,2 38.9 40,3 41,6 43.0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50.9 !1,'1 12,8 14,4 16,0 17,5 !9,'О 21.9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 31.5 32,9 35,5 36,'8 38,! 39,4 41,9 43,2 44,5 45.7 47,0 3,8 6,0 7.8 9,5 11,1 12,6 14,! !5,5 16.9 !8,3 19,7 21,О 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 З!.4 32.7 33.9 35,2 38,9 40,1 4!',3 42,6 43,8 0,0039 О, 103 0,352 0,711 1,15 1,64 2.!7 2,73 3',33 5,23 5,89 6,57 7,26 8.67 9.39 !О,! !0.*9 11',б 12,3 !3,1 !З,б !4,6 15,4 16.2 16„9 17,7 18.5 0,00098 0,051 О 2!б 0,484 0,831 1,24 1,69 2,'!8 2,70 3,25 3,82 4,40 5,0! 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9.59 10,3 11,0 П,7 12,4 !з.! 13,8 14„6 !5,3 16,0 16,8 О, 020 0,1!5 0,297 0.554 0,872 1,24 1,65 2,56 3,05 3,57 4,11 5,23 5,8! 6,4! 7,01 7,63 8,Ж 8.90 9,54 10,2 !О'.9 11,5 12.2 12.9 !З,б !4,3 15,0 Прнложенне !4рнтячееяне точян раенределеянн Сть(одеята Уровень о (двусторонняя критическая область! значимости Ч вело стеленва свободм а О.
1О 0,00 0,00! 0,02 0.002 О,О! о,о! О.ОО ! 0.00 0,02$ о.ооб о,оооо «рити ~ее«аи об- Уровень са [односторонняя лесть! яиечвиости 1 2 3 7 8 9 1О 1! !2 !3 !4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 6,3! 2,92 2,35 2,!3 2,0! 1,94 1,89 1,86 1,83 1.8! 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,7! 1,71 1,7! 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64 12,7 4,30 3,!8 2,78 2,57 2,45 2,36 2,3! 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,!1 2,10 2,09 2,09 2.08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 1,98 1,96 31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,!4 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,5! 2,50 2,49 2,49 2„48 2,47 2,46 2,46 2,46 2,42 2,36 2,33 63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,7! 3,50 3,36 3,26 3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,8! 2,80 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 3!8,3 22,33 10,22 7,17 5,89 5,21 4,79 4,50 4,30 4,14 4,03 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,40 3,40 3,39 3,31 3,23 3,!7 3,09 637,0 31,6 !2,9 8,6! 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,!4 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3.74 3,72 3,7! 3,69 З,бб 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29 11рклолФенле 5 вьркткчееале тачал распределение 1$очрека (й — чксло степеней свободы, 1 — колачестао выборок) УРовень внвч!ноетн о Ю,ОФ е $ ' ' $ ! $ ' 1 1 $ $; 1 Ф $ ° ' \$$ ° ° $' 1 1 1 1 $ 1 ! 1 1 ! $ 1 1 ° $ $ $1$ $ ! 1 $1 у $' 1.
$! 1 1 1 ! 1, 1 1$11 $1 $$ 1$$1 $$1$ 1 '.' ! 1 1 1 1 111 1 1 1$ $11 ! 1 1 ! $ .!' $ 1 ! ! $1 1 Ф $ ! $ 1 $ ° Ф ! $ $ 1 $ $ 1 ° ! Фе' 1 $ ° $1 1 1 $1 1 1 $ $11 Ф$1 1 $11 11111 1 . ! Ф 1 1 1 ° ' $ 1$1Ф $ 1 $!$! ! ! $ ! 1 Продолжение нрилох. 9 32 1790 0597 87 37 92 52 41 692346!4 06 20 11 7452 04 !95654!430 О! 75875379 45155! 4938 1947607246 94 86 43! 9 94 36 16 8! 08 51 05 56 70 70 07 86 74 31 71 57 !595660000 1874392423 4041921585 6667436806 4366794543 5904790033 34 88 88 1553 01 54 035456 98 08 62 48 26 45 24 02 84 04 44 99 90 88 96 3318516232 4194150949 8943548581 8095!00406 9638270774 20!5123387 79 15249! 40 71 96 128296 6986 102591 !863332537 9814506571 310! 024614 39 09 47 34 07 88 6954!994 25 01 62 52 98 74 85220539 05 45 56 ! 4 27 74 0294 39 02 77 5573 2270 977901 71 19 5252758021 54 17 84 56 !! 80 99 33 71 43 05 33 51 29 69 56! 2 71 92 55 11 66449883 52 07984827 59 381715 39 0997 33 3440 4832477928 31249647!О 0229536870 3230757546 6907494! 38 8763 79 19 16 3558 4044 01 105! 82 1615 Приложеи не 10 Критические точки ори~ерик Вилкоксоиа Объемы вмбаоав Объемы выбарав 0.046 0.006 о,о! О,аь 0.006 0.0! о,ооь о,оь и, 471 б б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 !б 17 !8 19 20 21 22 23 24 25 23 24 25 26 27 28 ЗО 31 32 ЗЗ 34 36 37 38 39 40 42 43 44 45 24 25 27 28 29 30 32 ЗЗ 34 Зб 37 39 40 41 43 44 45 47 48 50 26 27 29 31 32 34 35 37 38 40 42 43 45 46 48 50 5! 53 54 56 28 30 31 ЗЗ 35 37 38 40 42 44 46 47 49 51 53 55 57 56 60 62 7 В 9 10 11 12 13 !4 15 16 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
