Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (969549)
Текст из файла
УДК 519.21 (075.8) ББК 22.171 Максимов ЮД. Математика. Выпуск 9. Теория вероятностей. Детализированный конспект. Справочник по одномерным непрерывным распределениям. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002. 93 с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам дисциплины «Математика» бакалаврской подготовки всех общетехнических и экономических направлений. Представляет собой детализированный конспект лекций по теории вероятностей, в основном соответствующий опорному конспекту (выпуск 7 серии опорных конспектов по математике, выпущенных издательством СПбГТУ). В отличие от опорного конспекта здесь приведены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в опорном конспекте, и дан справочник по одномерным непрерывным распределениям.
Пособие предназначено для студентов второго курса общетехнических факультетов и экономических специальностей. Может быть использовано также для направления «Техническая физика». Табл. 1, Ил. 33. Библиогр.: 16 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. О Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2002 Предисловие Издательство СПбГПУ выпустило серию учебных пособий по вероятностным разделам математики: Выпуск 6. Математика. Теория вероятностей.
Контрольные задания с образцами решений. Тесты. Конспект-справочник. 2000. 96 с. Авторы— Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А, Хватов. Выпуск 7. Математика. Теория вероятностей. Опорный конспект. 2000. 76 с. Автор — Ю.Д. Максимов. Выпуск 8. Математика. Математическая статистика. Опорный конспект. 2000. 96 с. Автор — Ю.Д. Максимов. Настоящее учебное пособие, составляющее выпуск 9, продолжает и дополняет эту серию. В нем представлены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в опорном конспекте (выпуск 7) и дано более полное и детальное изложение ряда тем, лишь слегка там затронутых.
Это, в первую очередь, темы об л-мерной случайной величине и о предельных теоремах. Учебное пособие состоит из 8 глав, дополнения и двух приложений. В дополнении дано доказательство центральной предельной теоремы для случая одинаково распределенных слагаемых, а в приложениях содержится таблица значений нормированной функции Лапласа и справочные сведения по одномерным непрерывным распределениям, Все теоретические положения проиллюстрированы примерами, в основном, практического содержания. В списке литературы указаны учебники ~4, 6, 8, 91 для углубленного изучения теории. Нумерация теорем, определений, формул, примеров, рисунков — в каждой главе своя„двухпозиционная, отражающая номер параграфа и порядковый номер внутри параграфа.
Она соответствует нумерации, принятой в опорном конспекте ~выпуск 7). Благодаря этому, пользователь опорного конспекта может легко расширить свои знания с помощью детализированного конспекта. Ссылки на другие главы — крайне редки и тогда дополнительно сопровождаются указаниями номера главы. Знаками ~ и 4 отмечены начало и конец доказательства или решения примера, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей является базовым разделом, обеспечивающим приложения в естественных и гуманитарных науках, технике, математической статистике.
В разделе вводятся и изучаются фундаментальные понятия — случайное событие, вероятность, случайная величина, а также функциональные, графические, числовые характеристики случайных величин. ГЛАВА 1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ $1. Предмет теории вероятностей Задача науки — выявление закономерностей, описывающих явления природы и общества. Эги закономерности могут быть выражены с помощью моделей в виде описаний, классификаций, алгоритмов, уравнений, функций детерминистским или вероятностным способом, Детерминистская математическая модель, применяемая для выражения закономерностей, дает однозначный вывод при задании всех переменных, входящих в модель.
Таков, например, закон Ома для участка цепи ~ = и/А, связывающий ток ~, напряжение и и сопротивление Я. Вероятностная, иначе — стохастическая модель — это модель, которая не дает достоверного прогноза о развитии изучаемого явления. Ее выводы носят лишь оценочный„вероятностный характер. Например, невозможно точно указать, сколько будет наводнений в Санкт-Петербурге в текущем году.
Однако с помощью теории вероятностей, на основе имеющихся статистических данных можно сделать предсказание о количестве и величине наводнений с определенной вероятностью. Наводнения относятся к разряду случайных явлений, поведение которых достоверно предсказать невозможно. Определение. Теорией вероятностей называется наука, изучающая математические мадли случайных явлений. Создание теории вероятностей относится к началу ХУ11 в., когда стали возникать задачи, требующие статистических исследований в области страхового дела, демографии, производства. Большое влияние на теорию вероятностей оказали азартные игры, которые дают наиболее простые модели случайных явлений.
Поэтому и в настоящем курсе иногда приводятся примеры из азартных игр. Среди ученых, развивавших теорию вероятностей, встречаются такие имена, как П. Ферма (фр., 1601 — 1665), Я. Бернулли (швейц., 1654 — 1705), П. Лаплас (фр., 1749 — 1827), С.Д. Пуассон (фр., 1781 — 1840), К.Ф. Гаусс (нем., 1777 — 1855), известные из общих курсов математики и физики. Большую роль в теории вероятностей сыграла российская математическая школа в лице П.Л. Чебышева (1821 — 1894), А.А. Маркова (1856 — 1922), А.М. Ляпунова (1857 — 1918), С.Н. Бернштейна (1880 — 1968), А.Н.
Колмогорова (1903 — 1987) и других. ~2. Классификация событий Для изучения и описания реальных событий, характеризующих различные случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и классифицируем эти события. Рассматривается эксперимент (опыт, испытание, наблюдение). Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события„составляющие некоторое множество Р. Сам эксперимент обозначают буквой Е .
Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е . Его будем обозначать буквой 1 (или й). Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента Е. Оно обозначается символом пустого множества Я. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента Е. Случайные события обозначаются первыми большими буквами латинского алфавита: А, В, С, ....
Пример 2.1. Š— эксперимент, означающий бросание игральной кости. Пусть Х вЂ” число выпавших очков. Тогда Х ~ 7 — невозможное событие, Х < 6 — достоверное событие, Х вЂ” число четное — случайное событие. Доиолнительным, иначе — иротивололожным собьгппо А называется событие, обозначаемое А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.
Пример 2.2. Š— выстрел из орудия. Событие А — попадание в цель. Тогда А — промах. Элементарным событием а называется непосредственный исход эксперимента Е. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается й. Пример 2.3. Б — бросание игральной кости. Здесь 6 элементарных событий а1, ..., в6. Событие в~б означает, что в результате бросания выпало Й очков, ~'1 (о~! ". ®61. Событи~ множно нагл~д~~ иллюстри- А ровать с помощью диаграмм Венка (англ., 1832 — 1923).
Достоверное событие А изображается квадратом; случайное событие А — областью внутри квадрата„ дополнительное событие А — областью внутри квадрата вне области, изобраРис. 2.1. ДиагРаммы Вениа жающей событие А ~рис. 2 1) для событий А и А Для того, чтобы диаграммы Бенка не представлялись слишком абстрактными, можно представить себе эксперимент Е как стрельбу по мишени, являющейся квадратом, с условием, что выпущенный снаряд обязательно попадет в мишень.
Тогда А есть событие, означающее попадание в заданную область. $3. Действия над событиями Над событиями можно производить действия, подобные алгебраическим— складывать и перемножать. Определение 3.1. Суммой (или объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Сумма событий обозначается несколькими способами. Алгебраические обозначения. А + В, А+ В+С, ~ Аа. Теоретико-мномеотееннме обозначения: А 0 В, А Ы В 0 С, Д Аа .
й Логические обозначения: А или В, А или В или С. Пример З.Х. Š— бросание игральной кости. Событие А означает выпадение 1 или 2, а событие  — выпадение 2 или 3. Тогда событие А+ В означает выпадение 1 или 2 или 3. На диаграмме Венна сумма событий А+ В изображается областью, которая накрывается областями, изображающими события А и В (рис. 3.1). Определение 3.2. Произведением (или совмещением, пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и толью тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно). Произведение событий также обозначается несколькими способами. Рис. 3.2. Изображение произведения событий АВ Рнс.
3.1. Изображение суммы событий А+ В Алгебраические обозначения: АВ, АВС, П А» . Теоретико-множественные обозначения: А й В, А П В П С, ПА» . Логические обозначения: А и В, А и В и С. На диаграмме Венна произведение событий АВ изображается общей частью областей, изображающих события А и В (рис. 3.2). Пример 3.2. Š— стрельба по мишени — квадрату, изображающему событие 1 (рис. 3.2). Событие АВ состоит в попадании в пересечение областей, изображающих соответственно события А и В. Свойства операций сложения, умножения, дополнения событий выражают правила действий над событиями. Приведем их.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
