Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (969549), страница 7
Текст из файла (страница 7)
~ Свойство 1. Постоянная величина С рассматривается как случайная вели- чина, принимающая единственное значение с вероятностью 1. Тогда по опреде- лению математического ожидания МС = С.1 = С. Свойство 2. М(СХ) =~(Сх»)Р(СХ=Сх») =С~~' х»Р(Х=х») =СМХ, твк как Р(СХ=Сх~) =Р(Х=х~) при С~О.
При С=О свойство 2, очевидно, также верно, Свойства 3, 4 будут доказаны позднее в гл. б. 4 (3.5) Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением случайной величины, точнее — средневзвешенным значением с весами, равными вероятностям р). значений случайной величины.
Действительно, 36 Эта случайная величина Х называется также центрированной случайной величиной Заметим, что МХ =МХ вЂ” Мтх — — т~ — т~ —— О, (3,7) о поэтому М Х не может служить мерой среднего отклонения. Определение 3.4. Диснерсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания. Обозначения дисперсии: В ~, 0 Х, ЦХ1.
Таким образом, (~х ™[(А -~х) ]™[А']. Заметим, что (Х вЂ” т~(-) — простейший пример функции случайной величины Х . Доказано 1б1, что, если ~р(х) — функция, определенная для всех значений дискретной случайной величины Х, то м<р(х)1= ~р(х~) р~ .
(Если (3.9) — ряд, то предполагается, что он абсолютно сходится). Здесь Р(Х = х~) = р~ — закон распределения Х . Основываясь на формуле (3.9), находим формулу для дисперсии дискретной случайной величины: (3.9) Пример 3.1. Испытываются независимо 3 прибора на надежносп. Вероятность выхода из строя каждого равна р = 0.8. Найти математическое ожидание числа Х вышедших из строя приборов. 1 Имеем схему испытаний Бернулли, поэтому случайная величина Х распределена по закону, для которого вероятности р~ — — Р„~ являются биномиальными.
Тогда получаем следующий ряд распределения: Р(Х = О) = Рз,о = 0 2 = 0.008; Р(Х = 1) = Рз,1 = 3 0 8 ' О 2 = 0.09б Р(Х=2)=Р32=3 0.8 0.2=0.384; Р(Х=З)=рзз=0.8 =0.512. Имея ряд распределения, вычисляем тл. т ~ —— О. 0008+ 1. О 09б+ 2 - 0384 + 3- 0512 = 2 4. 4 3 . Дисперсия. Исследователей интересует, насколько сильно может отклоняться случайная величина от своего среднего значения. Определение 3.3. Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания тх называется разность между Х и т~.
о Х=Х вЂ” т)(. (З.б) ох =~~' (х2 — тх) Р2. (3.10) Заметим также, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины Х, что в сравнительных целях неудобно, поэтому вводится числовая характеристика отклонений с той же размерностью, что и Х. Определение 3.5. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень из ее дисперсии. Его обозначения: ол., оХ, а~Х~. Таким образом, а ° = ~~~ ° (3,11) Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами рассеяния, разброса случайной величины относительно математического ожидания. Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю: ОС=О. (3.12) 2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его предварительно в квадрат: О~СХ1= С П~Х). 3. Формула для вычисления дисперсии Вх=м1х'1- 2- При этом М~Х 1 вычисляется по формуле М(Х ) =~х2Р2, (3.14) (3.15) являющейся частным случаем (3.9). 4. Дисперсия суммы п попарно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий; (3.16) ь1. ()с=и[(с-мс)2]=м[(с-с)']=мо=о.
2. ОЕСХ) =и[(СХ-М(СА!)2] =М[С2(Х вЂ” тх)2] = С М[(Х-тх)'] = С2()Х. 2. ()Х=М[(Х вЂ” тх)2]=М[Х2 — 2тхХ+т~Х]=М(Х2)-2тхМХ+М(тх)= ЩХ2~ — 2 п2 + п~х2 =ЩХ21 — ~пх2 Во всех трех доказательствах использованы свойства математического ожидания. Свойство 4 будет доказано в гл. 6, ~7. 4 Р(х=а)=р,, а=о,1,2,... (4.1) называется сумма степенного ряда, коэффициентами которого являются вероятности закона распределения: р(х) =. т~' рях (4.2) А=О Так как р(1) = т~~ рг = 1, то ряд (4.1) сходится в области 1х~ <! ~=а Диффереицируем ряд (4.2) иочлеиио дважды р'(х) = т ~/грях тогда 1 =-1 р'(1)=)' 4ря = х =и!; /с =1 р"(х) = т ~)г(4 — !)рях"; р"(1) = гМ(!г — 1)ря = У)г ря — ~~~~lгря =сст — о, /(=2 !((=2 А =2 !((=2 (4.3) Далее, Ох = О2 О1 = (02 — с(1) + О1 — ~1 = Р (1) + Р (1) — ~Р (1)1 .
Таким образом, .О. =Р"(1)+ (1)-Г (1)1'. (4.4) Формулы (4.3) и (4.4) мотут быть использованы далее для нахождения кх и В ~ рассматриваемых распределений. ~5. Биномиальное, Пуассона, !(еометрическое распределения Указанные три распределения наиболее употребительны для описания реальных дискретных распределений. 1'. Биномиальное распределение.
Биномиальный закон распределения определяется формулой Р(Х ~) Р„, фРа (5.1) 1=0,1,...,л; О<Р<1; а=1-Р; С„= и(п — 1)(п — 2)...(п — й+ 1) п1 число сочетаний из и по ~с. Случайная величина Х, распределенная по биномиальному закону, является числом появлений события А (успехов) с вероятностью р в схеме Бернулли проведения п независимых испытаний. Например, Определение 4Л. Производящей функцией вероятностей 1или просто производящей функцией) для дискретного распределения, определяемого формулой Для нее р'(х) =ае'~" 1 р'(1) =а; р"(х) =а~е"~" ~.
р"(1) =а . Подставляя р'(1) и р"(1) в формулы (4.3) и (4.4), получаем ~лх =~х =с' (5.7) Пример 5.2. Число Х пожаров в городе за сутки — случайная величина, распределенная по закону Пуассона и имеющая среднее значение т~- = 2 . Най- ти вероятность, что число пожаров в сутки будет меньше двух. 1 По формулам (5.5) и (5.7) находим закон распределения Х: 2 Р(Х=й)= ~, е . Отсюда Р(Х<;2)=Р(Х=О)+Р(Х=-1)+Р(Х=2)=-е +2е ~+2е ~ =5е ~ ж0.68.
1 3'. Геометрическое распределение. Геометрическое распределение определяется формулой Р(х= 1) = рд'-', 1=1,2,...; 0<р<1; д=1 — р. Случайная величина Х, распределенная по геометрическому закону, является числом независимых испытаний до первого появления события А (успеха), которое в каждом испытании появляется с вероятностью р. Такая схема испытаний и сам закон распределения называются геометрическими, так как вероятности (5.8) являются членами геометрической прогрессии.
Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометрическому закону, могут быть: число испытаний прибора до первого отказа, число бросаний монеты до первого выпадения орла, число произведенных деталей до первого брака и т. д. Производящей функцией геометрического закона является ОО СО р(х)=~~~ ро х =рх~ (дх) 1=-1 Зг=1 р р 1 „2рд Для нее: Р'(х) = Р— ~ РУ(1) Р г ~~ ' Р"(х) (1 — ух) (1- д) р Р (1- ух) 2ру Ъу р"(1) = ~ ~ = ~ .
Подставляя р'(1) и р"(1) в формулы (4.3), (4.4), находим: )3 2 их = 1/Р (5 10) ~х =ч!Р (5.11) Пример 5.3. Вероятность брака партии изделий равна р = 0.1. 1) Сколько нужно проверить деталей в среднем до первого обнаружения браками 2) Чему равна вероятность Р(Х < т~ + а А-)? ~ 1) По формуле (5.10) получаем тл — — 1/0.1 = 10. Для нее р'(х) =ае~~» 11; р'(1) =а; р"(х) =а~е~~» ~~; р"(1) =а~. Подставляя р'(1) и р"(1) в формулы (4.3) и (4.4), получаем балх = Ох = а. (5.7) Пример 5.2. Число Х пожаров в городе за сутки — случайная величина, распределенная по закону Пуассона и имеющая среднее значение тх = 2 . Найти вероятность, что число пожаров в сутки будет меньше двух. 1 По формулам (5.5) и (5.7) находим закон распределения Х: Р(Х = Й) = —,е .
Отсюда 2 И Р(Х < 2) = Р(Х = О) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) =- е + 2е ~ + 2е ~ = 5е ~ и 0.68. 4 3'. Геометрическое распределение. Геометрическое распределение определяется формулой Р(х= 1) = рЧ'-', (5 8) 1=1,2,...; О< р<1; гав=1 — р. Случайная величина Х, распределенная по геометрическому закону, является числом независимых испытаний до первого появления события А (успеха), которое в каждом испытании появляется с вероятностью р. Такая схема испытаний и сам закон распределения называются геометрическими, так как вероятности (5.8) являются членами геометрической прогрессии. Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометрическому закону, могут быть: число испытаний прибора до первого отказа, число бросаний монеты до первого выпадения орла, число произведенных деталей до первого брака и т. д.
Производящей функцией геометрического закона является 00 00 р(х) = ~' ру х = рх1 ~(дх) 1=-1 Уг=1 Для нее: р'(х) = — ~; р'(1) = ~ = — ~ = —, р" (х) = 1 „ 2ра (1- ах) (1- а) р Р (1- ах) 2ра 2а р" (1) = = —. Подставляя р'(1) и р"(1) в формулы (4.3), (4.4), находим:. (1-Ч)' иу = 1/р, (5.10) Ох =ч/Р (5.11) Пример 5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
