Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (969549), страница 2
Текст из файла (страница 2)
А+ А=А; А+1=1; А+Я= А; АА= А; А1=А; АЗ=И; А+ В = В+ А — переместительный закон; (А+ В) + С = А+ (В+ С) — сочетательный закон; (3.1) АВ = ВА — переместительный закон; (АВ)С = А(ВС) — сочетательный закон; (3 2) А+В=А.В; А В=А+В (правила ДеМоргана); А =А; (3.3) (А+ В) С = АС+ ВС вЂ” распределительный закон.
(3.4) Эти правила во многом похожи на правила действий с числами. Роль достоверного события 1 во многом похожа на роль единицы, а роль невозможного события И вЂ” на роль нуля. Приведенные правила и другие, более сложные, составляют алгебру событий. Все приведенные формулы, кроме (3.3) и (3,4), следуют непосредственно из определений суммы и произведения событий. Докажем первую формулу Де Моргана (З.З) (шотл., 180б — 1871). В Событие А+ В означает„что произойдет хотя бы одно из слагаемых событий А или В.
Ему противоположное А+В означает, что не произойдет ни А, ни В,.т. е. произойдут оба противоположных события А и В вместе, следовательно, произойдет их произведение А В . 4 Доказательство формулы (3.4) приведено ниже после определения (З.б). Продолжим классификацию событий на основе понятий суммы и произведения.
Определение 3.3. События называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие: А1А2...А„= Я. Несовместными будут все элементарные события, события А и А . Таким образом, в частности, АА =И. (3.5) На диаграмме Венна два несовместных события изображаются непересекающимися множествами. Заметим, что если события попарно несовместны, то они несовместны и в совокупности.
Обратное неверно. Пример 3.3. Пусть Š— бросание игральной кости. Рассмотрим события: А = (выпадение 1 или 2), В =(выпадение 2 или 3), С =(выпадение 3 или 1). Очевидно, что АВС = И, т, е. все три события несовместны в совокупности, но попарно совместны. Определение 3.4. Полной группой событий называется множество событий, сумма которых есть достоверное событие: А~+ А~+...+ А„=1. Примерами полной группы событий являются все элементарные события ю пространства й.
В силу этого обстоятельства часто достоверное событие обозначается символом й, тем же, что и пространство элементарных событий. На диаграмме Венна полная группа событий заполняет весь квадрат. События А и А также образуют полную группу. Таким образом, А+А=1.
(3.6) Определение 3.5. Событие В называется частным случаем события А, если с появлением события В появляется и событие А. Говорят также, что событие В влечет событие А, что записывается в виде В ~: А. На диаграмме Венна событие В, влекущее событие А, изображается подобластью области, изображающей А (рис. 3.3). Если квадрат есть мишень, то попадание в область, изображающую событие В, означает попадание в область, изображающую событие А .
Рис.3.3. В с: А Заметим, что элементарное событие о эксперимента Е обладает характеристическим свойством, которое может служить определением элементарного события: каким бы ни было событие А, порожденное экспериментом Е, всегда либо ос А,либо вс А. Определение 3.6. Сооытия А и В называются эквивалентными, если они нроисходят или не нроисходят совместно при нроведении экснеримента Е. Запись эквивалентных событий: А = В. Очевидно, что А = В, если А с В и В с А. АВ Доказательство формулы (3.4). ~ Пусть произошло событие (А+ В) С, записанное слева в формуле (3,4). Эго означает, что вместе произошли события А+В и С. Бсли произошло событие А+В, то произошло хотя бы одно из событий А или В.
Пусть, например, про- Рис. 3.4. изошло событие А. Но оно произошло, как было отмечено ранее, вместе с С. Тогда произошло событие АС. По определению суммы событий произошло и собьггие АС+ ВС. Мы доказали, что (А+ В)С с: А С+ ВС. Аналогично доказывается, что АС+ ВСс(А+В)С. Тогда события (А+В)С и АС+ВС являются эквивалентными, т, е. (А+ В)С = АС+ ВС . 4 Пример 3.4. Доказать формулу А+ В= А+ АВ.
(3.7) Эта формула представляет сумму двух любых собьггий как сумму двух несовместных событий. Ь Применим формулы (3.1), (3.2), (3 4), (З.б): А+В = А+В1 = А+ В(А+А) =(А1+АВ)+ АВ= А(1+В)+АВ= =А1+АВ=А+АВ. 4 На диаграмме Венна (рис. 3.4) формула (3.7) означает, что множество, изображающее А+В, представлено как объединение непересекающихся множеств, изображающих А и АВ. ГЛАВА 2.
ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ Вероятность — второе фундаментальное понятие в теории вероятностей после случайного события. С помощью него строятся все вероятностные схемы случайных явлений. Вероятность реального события есть мера его объективной возможности, Это определение вероятности скорее философское, чем математическое. Для того, чтобы понятие вероятности стало математическим, нужно ввести его как количественную характеристику событий. Математических определений вероятности существует несколько. Все они прошли длительный пуп развития, дополняют и обобщают друг друга. Формирование понятия вероятности не закончено до сих пор.
Исторически несомненно, чго вероятность появилась как идеальное понятие, отражающее свойства относительной частоты при массовых статистических исследованиях. ~1. Относительная частота события н ее свойства Рассмотрим опыт Е, который можно повторять неоднократно (теоретически — неограниченное число раз). В результате опыта может появиться событие А .
Определение 1.2. Относительной частотой события А называется отношение числа р онитов, в которых ноявилось событие А, к общему числу и ироведенних оиытов. Относительная частота события А обозначается символом Р (А). Таким образом, Р (А) = —. (1.1) Практика указывает на то, что для широкого круга явлений при неограниченном увеличении числа опытов п относительная частота события стабилизируется, приближаясь к некоторому постоянному числу, в том смысле, что болыпие отклонения ее от этого числа наблюдаются тем реже, чем больше и. Так, при бросании монеты относительная частота выпадений орла колеблется около числа 1/2. Практику интересует поведение относительной частоты брака изделия, поломки прибора за определенный промежуток времени, заболеваемости во время эпидемии, ответов определенного содержания при социологических опросах ит, д.
Относительная частота имеет следующие свойства: 10 1) Р (У) =1, так как р = и. 2) Р (Я) = О, так как р = О . 3) 0<Р*(А)<1,таккак О<;р<и, 0<~ < —. 4) Р (А+ В) = Р (А)+Р (В), если А и В несовместны, так как Р'(А В) Р1 + Р~ й Н~ Р*(А) + Р'(В) и и п Здесь р1 — число опытов, в которых появилось событие А1, р~ — то же для события В. Так как события А и В несовместны, то число опытов, в которых появилась сумма А+ В, равно р1 + р~. ~2. Статистическое определение вероятности В логике считается, что всякое описание понятия, помогающее уяснить его смысл, является его определением. Математику, конечно, удовлетворяют не любые определения, а в основном такие, которые полностью определяют понятие, что не всегда удается по разным причинам.
Пусть опыт Е проводится многократно в стабильных условиях„в результате чего наблюдается событие А и вычисляется его относительная частота. Определение 2.2. Вероятностью события называется число, около которого колеблется относительная частота этого события, ириближаясь к нему ири увеличении числа оиытов. Вероятность события А обозначается символом Р(А). Это идеальная характеристика события, отражающая свойства относительной частоты, поэтому вероятности приписываются те же свойства 1-4, что имеются у относительной частоты: 1) Р(1) =1.
2) Р(О) =О. 3) 0<Р(А) <1. 4) Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместны. Замечание. Статистическое определение вероятности не дает однозначного способа вычисления вероятности события (в этом его несовершенство), но дает возможность найти оценку этой вероятности: Р(А) жР (А) = ~ .
(2.1) Чем больше и, тем точнее приближенное равенство (2.1). На практике за вероятность события принимается относительная частота этого события при достаточно большом числе и проведенных опытов. Так, например, на основе публикуемых демографических данных можно утверждать, что относительная частота рождения детей мужского пола колеблется 11 около числа 0.51, что и дает основание принять это число за приближенное значение вероятности рождения ребенка мужского пола. ~3.
Аксиоматическое определение вероятности Статистическое определение вероятности конструктивно указывает, как приближенно найти вероятность отдельного массового случайного события на основе относительной частоты. Оно же ориентирует, какими должны быть свойства вероятности, исходя из свойств той же относительной частоты. Однако логический порядок в вопросах теории вероятностей призвано навести аксиоматическое определение. Понятия этой теории должны не противоречить друг другу и соотноситься друг с другом по определенным законам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
