Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (969549), страница 6
Текст из файла (страница 6)
4 з з $7. Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности Приближенная формула Пуассона имеет вид 1'„~(р) = —,е '; а=ир; Й =0,1,2,... (7.1) Эта формула применяется при больших и и малых р. Погрешность формулы (7.1) имеет порядок 1/и, а сама формула (7.1) является следствием предельной теоремы Пуассона, Теорема Пуассона. Если р„= —, где а — положительная постояинця, то при любом 4иксированном Й У',~(р,) — + —,е ', (7.2) и-1 ~Р.к(р.) =С р.(1-р )" =С. — 1-— Найдем предел каждого множителя при и — ~ оо и фиксированном ~.
с„п(п — 1)(п — 2)... и — (й-1)1 1 1 д ц 1 д 2 д у „й И и и " „р 1 — и -+ 1. и-+ю и Обозначим 1пп 1 — — =С. Тогда 1пС= 1нп и1п 1 — а = 11гп и а = а так и-+аз л-+ас и-+со а а как 1и 1 — — — — —. Таким образом, 1пС = — а, следовательно, С = е . Итак, и и Ф И 1! 1ип Р„~(р„) = — а -1 е ~ = — е . 4 Пример 7.1.
Брак продукции р =0.02. Произведено и =100 изделий. Найти вероятность, что в произведенной партии не более одного бракованного изде- 1 Искомая вероятность есть Р, о + Р„1. Применяем приближенную формулу Пуассона (7.1). При эхом и = 100; р = 0.02; а = ир = 2 . о о+ Р" 1 О~ е + 1 е =(1+а)е =Зе =3 0.1353=0.4059=0.4. 4 ГЛАВА 5. ОДНОМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайная величина — третье фундаментальное понятие теории вероятностей после понятий «случайное событие» и «вероятность».
Случайные величины могут быть одномерными и многомерными. В настоящей главе рассматриваются одномерные случайные величины, которые в пределах главы будут называться просто случайными величинами. ~1. Определение случайной величины Определение 1.1. Елучайной величиной Х называется числовая функция олределенная иа нростраистве элементарных событий й, которая каждому элементарному событию в ставит в соответствие некоторое число. При этом предполагаются определенными вероятности событий Х с х для любых вещественных чисел х. Таким образом, случайная величина — это вещественная переменная Х, значения которой определяются исходами эксперимента Е.
Значения случайной величины — случайные числа. Случайные величины обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита Х, У', 2. Примеры реальных случайных величин: 1. Число выпавших очков при бросании игральной кости. 2. Число бракованных изделий партии. 3. Время работы прибора до первого отказа.
4. Результат измерения. В отличие от детерминированного подхода, устанавливающего жесткую функциональную связь между аргументом и функцией, для случайной величины можно априорно указать лишь вероятности попадания значения случайной величины в некоторое числовое множество, например, Х с х, а < Х < Ь, Х = а ит. д. Определение 1.2. Законом расиределенил случайной величины называетсл любое правило, указывающее вероятности отдеиьных значений случайной величины или множества этих значений. Таким исчерпывающим законом (как говорят„полной вероятностной характеристикой) случайной величины является ее функция распределения, обозначаемая Е(х) или Гх(х).
Замечание 1.1. Вместо термина «закон распределения» часто употребляют более простой термин «распределение». 32 (1.1) ~2. Дискретная случайная величина Определение 2.1. Случайная величина называется дискретной, иначе дискретного тина, если множество ее значений может бить занумеро вано натуральными числами ~т. е. оно конечное или счетное).
Первые два примера предыдущего 51 являются примерами реальных дискретных случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины удобно задать с по мощью формулы 33 Определение 1.3. Функцией расиределения случайной величины називается функция Г, (х), которая для любого вещественного числа х равна вероятности события Х < х.
Таким образом, по определению Р'у(х) = Р(Л < х) . Справедливы следующие свойства функции распределения: 1. Р( — о) = О, так как Р(-со) = Р(Х < — со) = Р(И) = О. 2. Е(+ о) =1, так как Г(+со) =Р(Хс+ э) =Р(1) =1. 3. Г(х) — неубывающая функция. 4. Е(х) непрерывна слева в любой точке х; Г(х — 0) = Е(х) 16, 71. 5.
Р(а < Х < Ь) = Г(Ь) — Г(а) . Докажем свойства 3 и 5. )' 3. Рассмотрим ~х и пусть Лх>О. Рассмотрим событие Х<х+Лх. Оно является суммой двух несовместных событий Х < х и х < Х < х+ Лх . Тогда Р(Х<х+Лх)=Р(Х<х)+Р(х<Х<х+Лх). Так как Р(х<Х<х+Лх)~0 то Р(Х < х+ Лх) > Р(Х с х), т. е.
Е(х+ Лх) > Е(х) . 5. Событие Х < Ь есть сумма двух несовместных событий Х с а и а < Х < Ь . Тогда по аксиоме сложения получаем Р(Х < Ь) = Р(Х < а) + Р(а < Х < Ь) или Г(Ь) = Е(а) + Р(а < Х < Ь) . Отсюда Р(а < Х < Ь) = Р(Ь) — Г(а) . 1 Замечание 1.2. Первые 4 свойства функции распределения являются хара„ теристическими. Это означает, что всякая функция Е(х), обладающая первыми четырьмя свойствами, может быть функцией распределения некоторой случай ной величины Х 161.
Пример 1.1. 1 Функция Р~(х) = е " не может быть функцией распределе ния, так как Е1(+оо)=0, а не 1. Функция ~~(х)=0.5+ — агах может быть 1 функцией распределения, так как условия 1 — 4 выполнены. 4 Будем различать дискретные и непрерывные случайные величины. Таблицу распределения наглядно можно представить в виде полигона ~многоугольника) расиределения. Для этого точки (х~,р~) плоскости хОу соединяются отрезками (рис. 2. 1). Рис. 2.1. Полигон распределения Заметим, что (2.2) Кр =1.
1=1 так как события (Х = х~), й = 1,..., и попарно несовместны и образуют полную группу. Функция распределения дискретной Р(х) = случайной величины имеет вид Хр» (2.З) х» <х для которых х~ < х. Дискретное распределение вероятностей имеет механическую аналогию дискретного распределения масс р~ в точках х~ вещественной оси (рис. 2.2); общая сумма масс равна единице. Здесь суммирование ведется по всем Й, Р1 Рг Р» Х 1 2 Х» Рис. 2.2. Дискретное распределение масс на оси рк =Р(Х=.М), ~=1,2,..., (21) которая определяет вероятности принятия случайной величиной ее отдельных значений х~ . Последовательность пар (х~, р1), (х2,р2), ...
образует так называемый ряд распределения. В случае конечного числа значений ряд распределения удобно оформить в виде таблицы распределении: Функция распределения Е(х) есть сумма тех масс, которые расположены левее точки х. Графиком функции распределе- У ния является ступенчатая линия со и=1 скачками р~ в точках х~ (рис. 2.3).
1 — т~ Г~Ф» ю Йример 3.1. Х вЂ” индикатор со- р ! бьипия А, равный 1, если событие 1 А произошло, и равный о, если А не произошло; Р(А) = р. Его ряд О Рис. 2.3. График функции распределения из двух пар. Функция распределе- дискретной случайной величины ния: 0 при х<0, Е(х)= д при 0<х<1, 1 при х>1. ~3. Числовые характеристики дискретной случайной величины 1 . Понятие числовой характеристики случайной величины.
Определение 3.1. Числовыми характеристиками случайной величины называются специальные числа, характеризующие отдельные свойства закона распределения. Наиболее употребительными числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода.
Их последовательно и рассмотрим. 2 . Математическое ожидание. Определение 3.2. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называетсн сумма произведений значений данной величины на вероятности зтих значений Обозначения: т~, М Х, М1Х). Таким образом, по определению МХ=~х~р~ . (3.1) й Если число возможных значений случайной величины Х равно и, то сумма в формуле (3,1) содержит п слагаемых.
Если же это число возможных значений Х бесконечно (счетно), то сумма (3.1) есть числовой ряд, причем этот ряд будем предполагать абсолютно сходящимся. В противном случае говорят, что случай.ная величина Х не имеет математического ожидания. Абсолютная сходимость ряда обеспечивает однозначное определение математического ожидания, так как порядок суммирования в данном случае безразличен. 35 х '1Р1'х2Р2+ "'"~~~ ~~ х р таккак '~"р =1 среднее + + + ~ Й й- 2 1г 1=1 С точки зрения механической аналогии математическое ожидание является абсциссой центра масс р~, расположенных на оси в точках х~, при этом общая сумма масс равна 1. Свойства математического ожидания. Свойство 1. Математическое ожидание постоянной, т. е. неслучайной величины С равно этой постоянной: МС=С. (3.2) Свойство 2.
Постоянный, т. е. неслучайный множитель можно вынести за знак математического ожидания: М[СХ] = СМ~Х1. (3.3) Свойство 3. Математическое ожидание суммы и случайных величин равно сумме их математических ожиданий: и и М ) Х» =2 МХ». (3.4) 1(=1 1=1 Свойство 4. Математическое ожидание произведения и взаимно независи- мых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: и и м Пх» =Пмх». 1=1 1=1 При этом по определению случайные величины Х1,..., Х„называются взаимно независимыми, если взаимно независимыми являются события Х1 сх1, ..., Х„< х„для любых вещественных х1,..., х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
