Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (969549), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Напомним, что элементарным событием о называется непосредственный исход эксперимента Е. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий й. Под событием в аксиоматической схеме понимается сумма (объединение) какого-либо множества элементарных событий а;: (3.1) Например, если Š— бросание игральной кости, А — событие, означающее выпадение четного числа очков, то А = о2+в4+об, где в; — элементарное событие, означающее выпадение ~' очков.
Все рассматриваемые в схеме события образуют множество событий Р, называемое иолем (Бе!д), иначе — алееброй, к которому предъявляются следующие требования, обеспечивающие применение понятия вероятности: 1. Е содержит достоверное и невозможное события. 2, Если события А~, А2, ... (конечное или счетное множество) принадлежат Р, то Р принадлежат сумма, произведение и дополнение этих событий. Понятие вероятности строится для всех событий алгебры Е. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностью называется числовая функция Р(А) события А, определенная на алгебре Р, имеющая свойства 1-4: 1) Р()) =1; 2) Р(Я) =О; 3) О(Р~А) <1; 4) Р ~ А4 =~~~~Р(А~), если события А~, А2, ...
(конечное или счетное множество) попарно несовме- стны. Приведенное определение является адаптированным аксиоматическим определением вероятности А.Н. Колмогорова. Свойства вероятности 1 — 4 являются аксиомами. Последняя аксиома носит название «Аксиома сложения». В науке существуют и другие аксиоматические определения вероятности, первое из них дано российским математиком С.Н. Бернштейном в 1917 г. В качестве упражнения выведем формулу Р(А) = 1 — Р(А) . (3.2) Ф А+ А =1. По аксиоме сложения Р(А+ А) =Р(А)+Р(А) =Р(1) =1. Отсюда Р(А) = 1 — Р(А).
Использована также аксиома 1. 4 ~4. Классическое определение вероятности Классическое и статистическое определения вероятности впервые четко сформулированы в работе швейцарского математика Якоба Бернулли (1654— 1705), которая опубликована в 1713 г. Предварительно продолжим классификацию событий. События называются равиовозможными, если по условиям эксперимента ни одно из этих событий не является предпочтительным по отношению к другим с точки зрения возможности их появления, Эксперимент Е в этом случае обладает «симметрией» исходов по отношению к этим событиям.
Таковы исходы бросания монеты, игральной кости, выигрыш каждого из купленных билетов лотереи, выход из строя каждого испытуемого прибора серии одинаковых приборов ит. д. Определение 4.1. Эксперимент Е назовем классическим, если он приводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям: 1) они попарно несовместны; 2) образуют полную группу; 3) равновозможны Эти события называются случаями или шансаии и обозначаются в. Они могут быть элементарными событиями. Определение 4.2. Огучай а называется благоприятным (иначе — благоприятствующим) событию А, если а влечет А: а ~ А.
Определение 4.3. Если эксперимент Е является классическим, то вероятностью события А называется отношение числа и случаев, благоприятствующихсобытию А, к общему числу и случаев. Классическое определение, в отличие от аксиоматического, является конструктивным и дает следующую меру возможности события: Р(А) = —. и Легко проверяется (так же, как для относительной частоты), что вероятность события, определенная по формуле (4.1), удовлетворяет свойствам 1-4, которые в общем случае объявлены аксиомами, а здесь следуют из формулы (4 1). Недостатком классического определения является его малая применимость, так как классические эксперименты встречаются редко — в искусственно созданных ситуациях. Примеры.
т 1 1. Š— бросание монеты. А — выпадение орла. Р(А) = — = —, так как и = 1; и 2' и =2. 2. Š— бросание игральной кости. А — выпадение числа очков, меньшего 2 1 или равного двум. Р(А) = — = —, так как т = 2, л = б. 3. Š— бросание монеты 2 раза. Событие А — оба раза выпадает орел. Здесь равновозможных исходов 4: 00 (орел, орел), ОР (орел, решка), РО, РР. Таким образом, и=1; п=4; Р(А)= —.
1 Классическое определение вероятности может быть реализовано на так называемой урновой схеме. Под урной понимается емкость, в которой находятся не различимые на ощупь, одинаковые по размерам шары. Шары могут быть занумерованы и окрашены в различные цвета. После перемешивания шары вынимаются из урны «не глядя». Очевидно, что вероятность выну1Ъ какой-либо 1 определенный шар из и шаров, находящихся в урне, равна —.
Пример. В урне 3 шара: 2 белых, 1 черный. Подряд вынимаются два шара. Найти вероятность, что оба шара — белые (событие А ). ~ Занумеруем шары: белые — номерами 1, 2; черный — номером 3. Тогда при вынимании двух шаров возможны исходы: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3, 2) .
Отсюда т = 2, л = б, Р(А) = — = —. 1 2 1 ~5. Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности основную идею классического определения — равновозможности событий — распространяет на случай бесконечного несчетного множества элементарных событий. Рассмотрим на оси абсцисс отрезок Д и внутри него отрезок д: дс:Д (рис. 5.1). Рис. 5.1. Иллюстрация геометрического определения вероятности 14 На отрезке Д случайно выбирается точка Х. Этот выбор можно интерпретировать как бросание случайной точки Х на отрезок Д.
При этом попадание Х на О считается достоверным событием, а попадание на отрезок Π— случайным, Далее предполагается, что равновозможно попадание Х на о, где бы «<малый» отрезок д ни находился внутри основного отрезка Д при условии, что длина «у — фиксирована. Пусть событие А = (Х ~«у) . Тогда по определению Р(А) = (5.1) Здесь под мерой отрезка понимается его длина. Формула (5.1) распространяется на плоский и пространственный случаи, но тогда под мерой понимается соответственно площадь или объем рассматриваемых областей. Вероятность события, введенная по формуле (5.1), обладает всеми четырьмя свойствами, присущими аксиоматическому и другим определениям.
Проверим, например, выполнение аксиомы сложения для случая двух несовместных событий А и В. Для этого возьмем два непересекающихся отрезка д и ~ (рис. 5.1). Пусть А = (Х ед), В = (Х «- =~) . Тогда длина(д 0 ~) длинад+ длина~ длинад длина~ Р(А+ В)— + — Р(А) + Р(В) . длинами длинами длина Д длинами Пример 5.1. На линии связи длиной 10 километров произошел обрыв. Какова вероятность, что обрыв произошел не далее, чем в двух километрах от начала (событие А)? В условиях неопределенности, когда никаких дополнительных сведений о свойствах линии связи нет, считается правомерным допустить равновозможность положения точки разрыва в любой области линии связи и применить геометрическое определение, По формуле (5.1) получаем Р(А) = — = 02. 2 Г0 Геометрическое определение так же, как классическое и статистическое, конструктивно и применяется в так называемом методе статистических испытаний.
$б. Субъективное определение вероятности Аксиоматическое определение вероятности создает логический порядок в вероятностной теории, но не указывает, как найти эти вероятности на практике. Этот вопрос решают другие конструктивные определения — статистическое, классическое, геометрическое. Но и они не охватывают всех практически важных случаев. Если мы попытаемся оценить возможность появления уникального события или очень редкого, то предыдущие определения здесь не помогут. Приходится прибегать к экспертному оцениванию вероятности на основе личного опыта экспертов.
Определение б.1. Субъективными вероятностями событий называются вероятности, удовлетворяющие аксиомам 1-4 аксиоматического определения, приписанные событиям на основе личного опыта экспертов. С помощью мнений экспертов оцениваются тенденции развития экономики, науки, техники, исходы той или иной политической ситуации, результаты спортивных состязаний, военных действий и т. д.
Не следует думать, что субъективная вероятность вносит какой-то произвол в наше познание, Она также объективна, как и вероятности, полученные на основе статистического и классического определений, так как основывается на объективном опыте экспертов, учитывающих аналогичные ситуации, исторический опыт, влияние различных факторов и т. д. 16 ГЛАВА 3. КОМБИНАТОРИКА Применение классического определения вероятности предполагает знание комбинаторики. Комбинаторика также применяется и во многих других разделах математики, в естественных науках и технике. $1. Комбинаторный принцип <<умножения» Комбинаторикой называется раздел математики, посвященный решению задач выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам.
Полученные группы элементов называются соединениями. Они могут отличаться друг от друга как составом элементов и их общим числом, так и порядком следования элементов. В теории вероятностей, как и в самой комбинаторике„обычно интересуются нс самими соединениями, а их числом. Для подсчета количества соединений часто применяется основной комбинаторный принцип ~иравило) «умножения». Пусть требуется выиолнить одну за другой й операций, ири этом иервую оиераиию можно вииолнить п1 способами, вторую — п2 способами, и т. д., М-ю — п~ способами. Тогда все ~ операций вместе могут бить выполнены числом способов, равным произведению чисел п1, ..., п~, П(п1,...,П~) = п1п2...п~. (1.1) 1 Этот принцип доказывается методом математической индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
