Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Равенство же нулю корреляцйонной функции стационарного белого шума означает некоррелироваииость любых двух его сечений — случайных величин Х((,) и Х ((,) (з,-ьзз). Благодаря этой особенности белый шум находит широкое применение в теории случайных функций и ее приложениях. Однако эта же особенность указывает на то, что осуществить белый шум невозможно, так как в действительности при очень близких значениях г, и зз соответствующие случайные величины Х((,) и Х((,) в известной степени коррелированы.
Таким образом, стационарный белый шум — математическая абстракция, полезная для теории случайных функций и ее приложений. В частности, белый шум используют для моделирования случайных процессов, которые имеют постоянную спектральную плотность в оп ределенном диапазоне частот, причем поведение спектральной плотности вне его исследователя не интересует. Пример. Спектральная плотность стационарной случайной функ. цни Х (!) постоянна в диапазоне частот ( — юз, о>з). а вне его равна нулкк (О прн ы< юо. з„(ю) = з при — юз < ю < ве.
0 при ю) юе. Найти: а) корреляционную функцию; о) дисперсию случайной функции Х (!). Решение. а) Найден искомую корреляционную функцию: 93р нь ь) ! н 2! 2з а!п юзт ев Итак, 2з а)п юет б) Найдем искомую дисперсию: От=И!и йз(т)=)нп =2зезз !пп — иейзззе. 23 а!и еет в)п юзт те тат тенет Итак, Пт — — 2зее. $8. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой Стационарной линейной динамической системой называют устройство, которое описывается л и н е й н ы м дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида а у'ш~ (г).+а )'га ы(()+ -+а г'(/) = = Ь,Х! "] (/) + Ь, Хна '1 (/) + . ° + Ь Х (/), где Х(г) — входная стаци он а рная случайная функция (воздействие, возмущение), )'(г) — выходная случайная функция (реакция, отклик), Если динамическая система устойчива, то при достаточно больших значениях /, т. е.
по окончании переходного процесса, функцию ) (/) можно считать стационарной. Подчеркнем, что при дальнейшем изложении предполагается, что Х (/) и )' (/) — стационарные случайные функции. Поставим перед собой задачу найти характеристики выходной функции по известным характеристикам входной функции. Найдем математическое ожидание т„, зная и , для чего приравияем математические ожидания левой и правой частей уравнения (е).
Учитывая, что Х(/) и т'(г) — стационарные случайные функции, а значит, математические ожидания производных этих функций равны нулю, получим а„гн„=Ь т„. Отсюда искомое математическое ожидание т„=Ь т„/а„. (**) Пример 1. На вход линейной динамической системы, описываемой уравнением 1" (/)+2)' (/) = 5Х' (1)+ 6Х (Е), подается стационарная случайная функция Х (Г) с математическим ожиданием гп„= 10.
Найти математическое ожидание случайной функции )'(/) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса). Ре ше ни е. Используя формулу (е*), получим гл, =Ь„ш /а„=(6/2) 10=30. Введем понятия передаточной функции и частотной характеристики, которые понадобятся далее. Предвари- (ььь) тельно запишем уравнение (*) в операторной форме, обоФ зиачив оператор дифференцирования )- через р, через р* и т.
д. В итоге уравнение (*) примет вид (а,р" +а,р" '+... +а„) У(()=* =(ь,р-+ь,р-- +... +Ь„) х ((). «Решим» зто уравнение относительно г'((): . ь р +ь р — -~ л-ь Передаточной функцией линейной динамической системы называют отношение многочлена относительно р при Х(() к многочлену при )' (() в операторном уравнении (ь "ь): ьр +ьр — +...+ь аор" +а~р"- +... +а„ Из соотношения ("ь'ь) следует, что выходная и входная функции связаны равенством )' (() = Ф (р) Х (().
Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент иь (в †действительн число): Ьь (кь) +Ь| (кь)~-1+ . +Ь аь (йь)" +а~ (иь)~-1+... + а Доказано, что спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством з р(го) = е (в) ~ Ф (йо) ~'. Отсюда заключаем: для того чпюбы найти спектральную плотность выходной функции, надо умноясить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики. Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию ЩЗ, формула (**)): а следовательно, и дисперсию: О Р„=-Газ(0) =- ~ аа(в)с(ю.
Пример 2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением ЗУ ' (1) + У (1) = 4Х' (1) + Х (1), подается стационарная случайная функция Х (1) с корреляционной функцией й„(т)=бе — '!т!. Найти дисперсию случайной функции 1'(1) на выходе системы в установившемся режине. Ре ш е и н е 1. Найдем спектральную плотность выходной функции. Используя решение примера 2 (см. й 4) при В=6 н и=2, получим Оа 6-2 12 к п(вз ~ схз) п(вз+4) п(вз+4)' 2. Найдем передаточную функцию, для чего напишем заданное уравнение в операторной форме: (Зр+1) У (1) =(4р+ 1) Х(1).
Отсюда У (1) Х(1) Зр+ ! Следовательно, передаточная функция Ф(р)= —, 4р+ 1 ар+1' 3. Найдем частотную характеристику, для чего заменим в передаточной функции аргумент р на 1в: Ф (!в)= 3!в+ 1 4. Найдем спектральную плотность выходной функции, для чего умножнм спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики: 12 ) 4!в+ 1 !х 12 16вз+1 у+4) (З! +1(а и( з+4) 9 ~з+ 5. Найдем искомую дисперсию: (' 12 (' (16в'+1) !(в 24 (' (!6в'-1-1) х(в ,) " и,) (вз+4)(9вз+1) и,) (вз+4) (9вз+ !) О о Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей: Выполнив интегрирование, получим искомую дасперсню: Р 26,4. Задачи 1. Найти дисперсию стационарнаА случайной функции Х(1), 6 иная ее спектральную плотность з„(в)= Ояв Рл 6 2.
Найти спектральную плотность стационарной случайной функцин Х(Ф), иная ее корреляционную функцию 1 — — ( г( прн (т(~3, ! йя(т)= 3 О при (т! > 3. 2 е!пт (Зе72) Оии. в„(в)= 3. НаАтн спектральную плотность стационарной случайной функцян Х(1), внвя ее корреляционную функцию а (т)=ба Оюе. ел(в)=10/(п(4+в~)). 4. Задана спектральная плотность а„(в1=6!(и (1+е')) стацио- иаряой случаАноА фуикцнм Х (!). НаАти нормированную спектральную плотность. ех верн (е) = ! 7(п (! + в )). б.
Найтй йорреляционную функцию стационарной случайной функции Х (1), зная ее спектральную плотность хе в интервалах ( — 4в, — 2ве) н (2в, 4ве), х (в) О вие этих интервалов. Ото. Аа(т) — сдп вет (2 сов 2еет — ! ). 2хе 6. Спектральная плотность стационарной случайной функции Х (!) постоянна в диапазоне частот (вы ве), а вне его равна нулю: 1 О при в < в, ал(е7)= т пРн в, с в ( вв О при в >вв Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию случайной функции Х (г). а (в1п в,т — в~п егт) а!п ве'г — в!п вт'т б) Р„х(вь — вД; в) р (т)= т (ве — вД 7.
На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У' (!)+3)'(!) =Х' (!)+ 4Х(!), подается стационарная случайная функция Х(г) с математическим ожиданием 7п =6 н корреляционной функцией д (т)=бе т!т!. найти 29 — 2770 449 математическое ожидание и дисперсию случайной функции У (1) на выходе системы в установившемся режиме. Рша. ш 8; Вз — — 22/3. 8. На вход линейной стационарной динамической системы, опнсы. ваемой уравнением У' (1) + 5У' ( !) + 6У (1) = Х" (1) + Х (1), подается стационарная случайная функция Х(1) с математическим ожиданием т„=4 н корреляционной функцией й (т)=е 1 1.
Найти математическое ожидание н спектральную плотность случайной функции 1'(1) на выходе системы в установившемся режиме. 2 1 1 3 ' "~ 26 нб — ')' 9». На вход линейной стационарной динамической системы, описы- ваемой уравнением У" (1) -(-6У (1) + 11Г (1) ) бу (1) = 7Х" ' (1) + 5Х (1), подается стационарная случайная функция Х (1) с известной корреляционной функцией йа (т) = 2е 1т ! (! + ! т ( ). Найти спектральную плотность случайной функции )'(1) на выходе системы в установившемся режиме. У к а з а н и е. Разложить иа линейные множители знаменатель передаточной функции: и'+бра+ 11р+ 6 =(р+1) (и+ 2) (р+3).
Оаы. за (ы) = 4 (49оз» + 25)/(и (ы»+ 1)» (ы» + 4) (ы» 4- 9)) . !9. На вход линейной стационарной цннамической системы, описываемой уравнением У" (1)+)' (1) =Х (1), поступает случайная функция Х(1) с постоянной спектральной плотностью з» (стационарный белый шум). Найти дисперсию случайной функции У (1) на выходе системы в установившемся режиме. Оша. О=з,л. ДОПОЛНЕНИИ А. Пример расчета многоканальной системы массового обслужнвання с откааамн методом Монте — Карло Пусть в систему массового обслуживания с отказами (заявка покидает такую систему, если все каналы заняты), состояшую из Ф каналов, поступает простейший поток заявок (см. гл.
ЧЪ, т 6), причем плотность распределения промежутка времени между двумя последовательнымн заявками задана: ~(т) =)е-"«(Х > О, О <т оо). Каждая заявка поступает в первый канал. Еслн пррвый канал свободен, то он обслуживает заявку; если первый канал занят, то заявка поступает во второй канал, обслуживается им (если канал свободен) нлн передается в третий канал (еслн первый н второй каналы заняты) н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
