Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 71
Текст из файла (страница 71)
и Решен не. Используя формулу (ее), нзйдем с,с ° К„(См Сз) ~ ~ (4зсзз+9з~ззэз) с(зс с(зз. о о Выполнив интегрирование, получим искомую корреляционную функ- цию: Ки (Сс. Сз) Сс Сз () +Ссзз). Теорема Э. Взаимная корреляционная функция случай- ной функции Х «) и интеграла )'(() = ~ Х (в) йв равна о инспегралу от корреляционной функции случайной функ- ции Х(с): с, а) К «„(,)=~К.((„в)йв; е с, б) Я„» (8„1,) = 1 К„(в, Е,) с( . Доказательство.
а) По определению взаимной корреляционной функции, Л„„((„(,) = М 1Х ((,) )У ((,и. (»»») В силу соотношения (») цеитрированная функция с $' (() = ~ 5С (в) с(в, следовательно, с, у ((,) = ~ Х (в) с(в. е Подставим правую часть этого равенства в («»е) дд 1 Г' и д„.ю>-и~х!ь!(хы!')=-м()хзххсч!). о в Операции нахождения математического ожидания и интегрирования можно менять местами (см. $17, замечание), поэтому ! ° Я „((„1,) = ~ М '(Х((,) Х(з))йз, о или окончательно ! ° Ила ((„(з) = ) К„((„з) !(з.
о б) Доказывается аналогично. Пример 3. Задана корреляционная функция Кх (1д, 1з) = 31д1з случайной функции Х (1). Найти взаимную корреляционную функцию )(хз(1д„(з) случайной функции Х(1) н У(!)= $ Х (з) !1з. о Решение. Используя формулу 1, йхз(1ь 1з)= ) Кх(1ь з) !(з. о получим искомую корреляционную функцию: !» 1(хз(1д, 1з)=31! $ з!(з (3/2) 1д1зз. а 5 18, Комплексные случайные величины и их числовые характеристики В дальнейшем кроме действительных рассматриваются и комплексные случайные функции.
Эти функции и нх характеристики определяют по аналогии с комплекснымн случайными величинами, поэтому начнем изложение с комплексных величин. Комплексной случайной величиной называют величину Я=Х+)х(, где Х и )х — действительные случайные величины. 413 Сопряженной случайной величине 2 Х+ У! пазы. вают случайную величину е. Х вЂ” У(. Обобщим определения математического ожидания и дисперсии иа комплексные случайные величины так, чтобы, в частности, при У О эти характеристики совпали с раисе введенными характеристиками действительных случайных величин, т. е. чтобы выполнялись требования: т,=т„, («) Р,= Р„. (««) Математическим ожиданием комплексной случайной величины 2 =Х+У( называют комплексное число т«т«+т«~' В частности, при у=О получим т,=т„, т.
е требование («) выполняется. дисперсией комплексной случайной величины Я пазы» вают математическое ожидание квадрата модуля центрированной величины Я: Р М [~ Е ~Р1 В частности, при У=О получим Р, М ЦХ)'1 Р„, т. е. требование (««) выполняется. Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем Р,=М[~Л~*1=М[(1)*+(У)*1=М [(Х)1+М[(У)*1- Р„+ Р„. Итак, дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей: Р,=Р +Р„.
Известно, что корреляционный момент двух равных случайных величин Х, = Х, = Х равен дисперсии Є— положительному действительному числу. Обобщим определение корреляционного момента так, чтобы, в частности, корреляционный момент двух равных комплексных случайных величин Е, = Я, = Е был равен дисперсии Р,— положительному действйтельному числу, т. е. чтобы вы. полнялось требование р„= Р,. («««) 414 Корреляционным моментом двух комплексных случайных величин называют математическое ожидание произведения отклонения одной из величин на сопряженное отклонение другой: р,, „= М [(2,— т„) (2,— т„)1 М(2,2Д. В частности, при 2, = 2, = 2, учитывая, что произведение сопряженных комплексйых чисел равно квадрату нх модуля, получим р..=М~221-М~~2Я= ()., т. е.
требование («»«) выполняется. Корреляционный момент комплексных случайных величин 2, Х, +У,Е и 2, = Х, +У,Е выражается через корреляционные моменты действительных и мнимых частей этих величин следуаицей формулой: р,ь,=И,„,+р,„,+(р м„— р»ол) Е ° (" "") Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно. $ !9. Комплексные случайные функции н их характеристики Комплексной случайной функцией называют функцию 2 (Е) Х (Е) + У (Е) Е, где Х (Е) и У (Е) — действительные случайные функции действительного аргумента Е. Обобщим определения математического ожидания и дисперсии иа комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при У =О эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования: т, (Е) = т„ (Е), (») ЕУ, (Е) = О„ (Е).
(») Математическим ожиданием комплексной случайной функции 2 (Е) Х (Е) + У (Е) Е называют комплексную функцию (иеслучайную) т, (Е) = т„(Е) + т„(Е) Е, В частности, при У =О получим т, «) =т„«), т. е. требование (») выполняется. Дисперсией комплексной случайной функции 2(Г) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Я «): В, «) = М [ ) Л (Г) (*~ В частности„прн У =0 получим В,«) =М[Х«)1' = =Р„(Г), т, е. требование (»») выполняется. Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем В,«) =М [~я(() Р1=М([Х «)1 +[У«)1 ) = =М[Х(г)1 + М[У'«)1 =В.«)+В„«).
Итак, дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей: В,«) =В,«)+В„«). Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х «) при разных значениях аргументов равна дисперсии Р„«). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Я «) так, чтобы при равных значениях аргументов (, = Г, = — ( корреляционная функция К, «, () была равна дисперсии Р,(г), т.
е. чтобы выполнялось требование (»»») К,«, г) =В,«). Корреляционной функцией комплексной случайной функции Х «) называют корреляционный момент сечений 2 (г,) и г (г,): К*(г га) =МУ((1) ~(гаН. В частности, при равных значениях аргументов к.«, г) =м[2«) 2(г)1=м [~2[*]=В,(г), т. е. требование (»»») выполняется. Если действительные случайные функции Х «) и У «) коррелнрованы, то К*(Г,. $,) =Кч«" $ъ)+К»(1" Ге)+Иче «. (1)1— — Я„„(е„1,)1(; 416 если Х (!) и У«) не коррелированы, то К, (Ез Ез) = — Ах«ге Ез)+)з к «з (з) ° Рекомендуем убедиться в справедливости этих формул, используя соотношение («»««) предыдущего параграфа.
Обобзним определение взаимной корреляционной функции нв комплексные случайные функции Ег«) = — Х, «)+ + У (Е) ! и Л, «) = Х «) + У, «) ! так, чтобы, в частности, при У =Уз= О выполнялось требование й ,з, « (з) )хх,», « Ез). («»««) Взаимной корреляционной функциеи двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную) Йж,, «„1,) = М ф, «,) Я (1,)1. В частности, при У, =У, =О получим г,пн«„Е,) = М(Х, «,) Х,(1,)1 = В„,„,«„Е,), т. е. требование (««««) выполняется.
Взаимная кЬрреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой: Л з «1 Ез) г, «! Ез)+Е з,у «! Ез)+ +С)х „,( *. ) — )'.„,«Г! )1'. Рекомендуем вывести эту формулу самостоятельно. Задачи 1. Найти математическое ожидание случайных функций: а) Х (1» = (Е!з, где 0 — случайная величина, причем М (О» =- 5; б) Х (1) = (Е сов 21+ УЕ, где (Е н У вЂ” случайные величины, причем М ((Е» = 3, М (У) = 4.
Оте. а» т„(1)=3!а; б) т„(1)=зсоа21+4!. 2. Задана корреляционная функция К (1,, 1,» случайной функции Х (1). Найти корреляционные функции случайных фупкцийа) У (1)=Х (1)+Е: б) У (Е) =(Е+1) Х (1); в) У (Е»=4Х (1). Отв, а) Ки(гз, Ей=К„(1ы 1з); б) Кз(!ь Ез)=-(Ез+1»(!з+1»Х ХК„(1,, 1,); в) К„(1,, 1,)=" 1ЕК,(1',, 1,). " 3. Задана дисперсия Р (1) случайной. функции Х (!).
Найти дисперсию случайных функций: а» У (1» = Х (1)+ е', б» У (1) =1Х (1». Оте. а) Р„'(1»=Р (1); б) Рк(1»=гзР„(1». 4. Найти: а) математическое ожидание: б» корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции х (!) = (е ып 21, где (е — случайная величина, Причем М ((Е) =3, Р (СЕ) =6. 7 7" 0 4!7 Отв. а) е„(1) Зе(п 21: б) К„(Сы 1») = 6 а)п 21» з)п 21;! а) Р„(1) бз!п»21. б. Найти нормнроваиную корреляционную функцяю случайной функция Х (1), зная ее корреляцнонную функцню К„(фѻ) 3 соз (1» — Сд) Отв р„(Сд, 1»)=сов (1» Сд) б.
Найтн: а) взанмную корреляцнонную функцию; б) нормнрованлу н ю взаымную корреляционную функцию двух случайных функций (1) (1+ Ц У н У (1) (1»+ Ц У, где У - случайнав велычнна, причем В(У) 7. Оев, а) С!„В(1„1»)=7(1»+!) (1»+!); б) р„„(1», 1»)=(, 7. Заданы случайные функции Х(1) (С вЂ” ц У ы У(С) 1»У, где У н У вЂ” некоррелнрованные случайные величины, причем М (У) = 2, М (У) = 3, Ю (У) = 4, О ()д) 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
