Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Найтн: а) математнческое ожидание; б) корреляционную функцию; в) днсперсню суммы Е(1) ° ~ Х(1)+У(1). У к а з а н н е. Убедиться, что взаимная корреляцнонная функцня заданных случайных функций равна нулю ы, следовательно, Х(1) н Г (1) не коррелнрованы, Отв. з) тв(1) 2(С вЂ” Ц+ЗС»; б) Кв(1», 1») 4(1д — Ц(1» — Ц+ +31»»1,'С в) Ов(1)=4(1-Ц»+31». 8. Задано математическое ожндаине е„(1) 1»+ ! случайной функции Х (1).
Найти математыческое ожыдакне ее производной. Оев. лд (1) = 2С. В. Задано математнческое ожнданне т„(С) 1»+ 3 случайной ункцин Х(1), Найтн математнческое ожнданке случайной функцнн (1) = СХ' (1)+ 1». Оев. тк(1)=1 (1+2). Сб. Задана корреляцнонная функция Кв (Сд, 1,) =е-дд»-ддд» слу- чайной фуикцнн Х(1). Найти корреляцыонйую функцню ее проыз. водной. Оп»в.
К. (С,, 1,) = 2е"'С* С~д' (! — 2 (1» — 1~)»!. в )!. задана корреляцнояизя функция К„(сы 1») е-дд»-сдд» слу- чайной функция Х(1). Найтн взанмные корреляцнонные функцня: а) я 2(1„1»); б) С(. (1„1,). Олдв. а) Р . (1д, 1») — 2 (С» — Сд) е-дд»-С д»; б) )7. (Сы 1») »2 вл 2 у — Сд) е-п»-с,д».
)2. Задано математическое ожидание т„(1) 41» случайной фуык цаы Х (1). Найты математическое ожнданне ннтеграла Г (1) = ~ Х (в) д(в. Отв. е„(1) =1». )3. Задана случайная функция Х(1) У соз»1, где У вЂ” случай- ная велнчнна, прычем М(У)=2. Найти математнческое ожнданые случайной функцны У (С) = (1»+ Ц $ Х (») д(з, о Оев. ев(1) =(1 + ц (1+(а(п 21)С2). 4)8 14. Задана корреляционная функция К„(йм /д) =со»ад/, сов од/з случайной функции Х (/). Найти: а) корреляционную функцию; ! б) дисперсию интеграла г' (1) = ) Х (з) Ф. о О .
3к д„~) ' ~б)Ои и ~)ы. 15". Задана случайная функция Х(/)= Уезд сов 21, где У вЂ” случайная зеличнна, причем М(У)=5, В(У)=1. Найти: а) математическое ожкиданн, б) корреляционную функцию, з) дисперсию ннтег! рала 1'(1) = ~ Х (з) д(з. о Отв. а) лд (/) = беат сов 2С б) Кз(/,, /з) = (1/!69) (езд (2 з|п 2/д+3 сов 2/д) — 3) (ездз (2 з(п 21 + +3 соз 2/з — 3); в) Вз(1) =(1/169) (е д(2 з1п 21+3 сов 2/) — 3)'. 16. Задана корреляционная функция К„(гм гз)=/д/з случайной фУнкции Х (1).
Найти взаимные коРРелЯционнйе фУнкцнн: а) К„з (/д, (з); б) Лк (Гм /д) слУчайных фУнкций Х (1) и У (1) = ~ Х (з) оз. о Одпз. а) Раз(/д, /з)=/А/3' б) Кз ° (/д, 1») =4Ь2. Глава двадцать четвертая СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ $1. Определение стационарной случайной функции Среди случайных функций целесообразно выделить класс функций, математические ожидания которых сохраняют одно и то же постоянное значение при всех значениях аргумента ( и корреляционные функции которых зависят только от разности аргументов 1, †/д. Ясно, что для таких функций начало отсчета аргумента может быть выбрано произвольно.
Такие случайные функции называют «стационарными в широком смысле» в отличие от случайных функций, «стационарных в узком смысле» (все характеристики этих функций не зависят отсамих значений аргументов, но зависят от нх взаимного расположения на осн 1). Из стацнонариости в узком смысле следует стационарность в широком смысле; обратное утверждение неверно. Поскольку мы ограничиваемся корреляционной теорией, которая использует только две характеристики (математнческое ожидание и корреляционную функцию), далее рассмотрим случайные функции, стационарные в широком смысле, причем будем их называть просто стационарными.
Стационарной называют случайную функцию Х ((), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента г' и корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов (з — (д. Из этого определения следует, что: 1) корреляционная функция стационарной случайной функции есть функция одного аргумента т = (, †(„ т.
е. К„((„1,) = й„((,— (,) = й„(т); (и) 2) дисперсия стационарной случайной функции постоянна при всех значениях аргумента ( и равна значению ее корреляционной функции в начале координат (т = 0), т. е. () к(, ) ( ) (). () Пример. Задана случайная функция Х(г)=сов(у+~у), где ед— случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2л). Доказать, что Х (Г) †стационарн случайная функция.
Р е ш е и и е. Найдем математическое ожидание: дн (д) = М (соз (!+о)) = М (соз д соз ~р — в!п ! з!п в)=сов )М (соз о)— — з!п 8М (з!п ~р). Используя формулы (ее) нз гл. ХН, $ 11 н (е) нз гл. Х1, й О, по- лучим: М (соз ~р) = — соз ~р !йр = О и М (з(п ~р) = О. ! г 2п ~ Следовательно, яд (г) =О. Найдем корреляционную функцию, учктывая„что центрировакивя функция )Г (Г) =Х (!) — юл (!) =Х (!) = сов (1+~р): К» ((д (з) М ( дг (Фд) Х (Гз)) М (соэ (Гд+дР) соэ (!з+~Р)] = соз(гз — гд)+сов(гз+(д+2~р) 1 сов(Фэ — гд) 2 2 (Легко убедиться, что М (соэ ()э+Гд+й~р)) =О.) Итак, математическое ожидание случайной функции Х(4) постоянно йри всех значениях аргумента и ее корреляционная функция зависит только от разностк аргументов. Следовательно, Х (г)— стационарная случайная функция.
Звметнм, что, положив 1т=1 =( в корреляционной функции, нейдем дисперсию 0 (О=-К (т', 1) =(сов (( — (Ц/2=1/2. Таким обрезом, дисперсия сохраняет постоянное значение при всех знвченияк аргумента, как и должно быть для стационарной случайной функции, й 2, Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции С в о й с т в о 1, Корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция: й„(т) =й ( — т). Доказательство.
Корреляционная функция любой случайной функции при перестановке аргументов не изменяется (см. гл. ХХ111, $ 10, свойство 1). В частности, для стационарной функции хх (ув ут) йх (ут ув). Положив т= гв — г„получим й, (т) = )гх ( — т). С в о й с т в о 2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения и начале координат: ) )т„(т) ) ()т„(0). Доказательство. Для любой случайной функции (см. гл. ХХ111, 2 10, свойство 4) )К.
(1„(.)):а)'и. ((,) о. (у,). В частности, для стационарной функции Кх((„(,) =к (с) и д)„((,) = В„(г,) =й (О). Следовательно, 1й. (т) 1 ( Уй. (О) йх(О) =йх (О). й Э. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции Кроме корреляционной функции для оценки степени зависимости сечений стационарной случайной функции использу1от еще одну характеристику †нормированную корреляционную функцию. 421 Ранее нормированная корреляционная функция была определена так (см. гл. ХХ!11, $ 11): /(„(/м 1,) Р»(гт ~в) — о (1,) о (1,) ° () В частности, для стационарной функции числитель и знаменатель этой дроби имеют вид (см.
2 1, соотношения (в) И (вв)) К„(Ю„(,) = й„(т), О„(() = )/В„(1) = )I й„(0). СЛЕдО- вательно, для стационарной функции правая часть (е) равна /т„(т)/к, (О) и является функцией одного аргумента т; очевидно, и левая часть (в) — функция от т. Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента т: р (т) =/т (т)//т„(0). Абсолютная величина нормированной корреляционной функции стационарной случайной функции не нревышает единицы. Справедливость этого свойства уже была дока- вана ранее для любой случайной функции (см.
гл. ХХ111, $11). В учебных целях докажем его непосредственно для стационарной функции. Приняв во внимание, что абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин, получим ~ р„(т) ~ ~/т„(т)/й„(0) ~ = ~ й„(т) И/т„(0) ~. Учитывая, что (я„(т)~(й„(0) (см. 2 2, свойство 2), окончательно имеем !р ( )1(1 Замечание. При т=О нормированная корреляционная функция равна единице. Действительно, р„(0) =й» (О)/й» (О) =1. Пример. Задана корреляционная функция й»(т)=(1/2) сов т стационарной случай)гой функции Х(1). Найти нормированную корреляционную функцию.
Р е ш е и и е. Воспользуемся определением нормированной корреля° ионной функции: д (т) (1/2) соа т Р» (т) ~ я (0) (1/2) сов О = сов т. Итак, искомая нормированная корреляционная функция р» (т) = сов т. Заметим, что р»(0) =1, как и должно быть в соответствии с замечанием, приведенным в атом параграфе, $4, Стационарно связанные случайные функции Стационарно связанными называют две случайные функции Х(1) и )'(1), если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргумен- тОВ т=1з — 1,: Йза((Ы (,)=1„„(т). Взаимная корреляционная функция стационарно свя. ванных случайных функций обладает следукнцим свойством: г„„ (т) = г„„ ( — т).
Это равенство следует из свойства ! взаимной корреля- ционной функции (при одновременной перестановке ин- дексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется): гз„((з — (г)=газ((1 — (з)в или гл (т)-гзз( — т) Геометрически свойство можно истолковать так: гра- фик кривой гз„( — т) симметричен графику кривой геа(т) относительно оси ординат. Заметим, что если каждая из двух случайных функ- ций стацнонарна, то отсюда егце нельзя заключить, что их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.
Стационарно!ми и ппационармо связанными называют две стационарные случайные функции Х (1) и У ((), взаим- ная корреляционная функция которых зависит только от РаЗНОСтИ аРГУМЕНтОВ т=гз — 1,. Пример. Заданы две стацнонарные случайные функцнн Х(1) соз(1+гр) н г'(1)=з(п(1+~р), гдн ~р-случайная велнчнна, рас- пределенная равномерно в ннтервале (0,2п). Доказать, что заданные стационарные функцнн стацнонарно связаны, Р е ш е н н е. Ранее было найдено, что т (1) =0 (см. $ 1, пример); аналогично можно получнть, что гнз(1) =О. Звавшем центрнрованные функцнн: Л (1) =Х (1) — „(1) Х(1) соз (1+ р), )З (1) =*У (1) — Шз (1) *= !'(1) а(П (1+Щ).
Найдем взаннную корреляцнонную функцию: й „(1,, 1з) М ф (1д) уз (1з)) М [соз (1з+~р) з!и (1з+е)) = з!п(1з — 1г)+з!п(1,+1з+2 ) ~ 2 Легко убедиться, что математическое ожидание второго слагаезюго равно нулю (см. $1, пример), поэтому ((хн(1з, СФ) =(1/2) э!и (Га — 11) Итак, взаимная корреляционная функция заданных стационарных случайных функций зависит только от разности аргументов; следовательно, эти функции стационарно связаны. 5 5. Корреляционная функция производной стационарной случайной функции Теорема. Корреляционная функция производной Х'(!) =и дифференцируемой сгпационарной случайной функции Х(!) равна второй производной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус: й„(т) = — !г„(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
