Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 69
Текст из файла (страница 69)
у„~.н ~ в'ьЛ7гг7С~. $ $1. Нормированная корреляционная функция Известно, что для оценки степени линейной зависимости двух случайных величин пользуются коэффициентом корреляции (см. гл. ХдЧ, $ 17, соотношение (а)) г„„= р в/(о„о„). В теории случайных функций аналогом этой характеристики служит нормированная корреляционная функция. Очевидно, что каждой паре фиксированных значений дд и гд аргумента случайной функции Х(() соответствует определенный коэффициент корреляции Кх((„(д)/о„((д)о(дд) соответствующих сечений — случайных величин Х ((д) н Х((е); это означает, что коэффициент корреляции случайной функции есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов дд и („ее обозначают через р„((„гд).
Дадим теперь определение нормированной корреляционной функции. Норлдированной корреляционной функцией случайной функции Х (д) называют неслучайную функцию двух независимых переменных гд и д„значение которой при каждой паре фиксированнйх значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: дх (1д (д) о„(дйо (дд) (е) Учитывая, что о„((,)=)~О„((,)=$/ К„((ю Е,) и о„((,) = = $"К„((„(д), получим Кх ((„(,) д'к,р,.
~,>тх«,з.. ~.>' Таким образом, зная корреляционную функцию, можно найти нормированную корреляционную функцию. Пример. Найти нормированную норрелвцнонную функцию слу* чайной функции Х (д) по ее известной корреляционной функции К» (Сд (д) =5 сов (Фд — дд). Решение. Искомая нормнрованнав норрелвционнав функция д(х(дд. дд) р К ((„(,) р"К„((ю д,) о сов (дз — й) соа ((д — (д). д5 д"7 — Ю1 д '(ц.—,) Нормированная корреляционная функция имеет те же свойства, что и корреляционная функция (см.
9 10), причем свойство 4 заменяется на следующее: абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает единицы: 1р„(1„1,)! ~ 1. Это свойство следует из того, что при фиксированных значениях аргументов значение нормированной корреляционной функции равно коэффициенту корреляции двух случайных величин †соответствуквц сечений, а абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы (см. гл. Х1Ч, 9 17, замечание 3), Легко видеть из (») или (»»), что при равных значениях аргументов нормированная корреляционная функция равна единице: р„(Г, Г)=1.
Очевидно, нормированная корреляционная функция имеет тот же вероятностный смысл, что и коэффициент корреляции: чем ближе модуль этой функции к единице, тем линейная связь между сечениями сильнее; чем ближе модуль этой функции к нулю, тем эта связь слабее. й 12. Взаимная корреляционная функция Для того чтобы оценить степень зависимости сечений д в у х случайных функций, вводят характеристику — взаимную корреляционную функцию. Рассмотрим две случайные функции Х(1) и У(1).
При фиксированных значениях аргумента, например 1=г, и получим два сечения — систему двух случайных величин Х (1,) и Г(1,) с корреляционным моментом М (Х (1,) г' (1,)1. Таким образом, каждая пара чисел и Г, определяет систему двух случайных величин, а каждой такой системе соответствует ее корреляционный момент, Отсюда следует, что каждой паре фиксированных значений 1, и 1, соответствует определенный корреляционный момент; это означает, что взаимная корреляционная функция двух случайных функций есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов г, и Г,; ее обозначают через Я„„(1„(,).
Дадим теперь определение взаимной корреляциойной функции. Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х (() и У (() называют неслучайную функцию )т„, (1„(,) двух независимых аргументов 1, и („значе- 399 ние которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений обеих функций, соответствующих этим же фиксированным зна- чениям аргументов: Л„„(1„(,) = И (Х ((,) )У (1,Ц.
Коррелированными называют две случайные функции, если их взаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю. Некоррелированными называют две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю. Пример. Найти ввзимную корреляционную функцию двух слу- чзйных функций Х <1) =1У и т (1)=1эУ, где У вЂ” случайная величине, нр У <У) =З. Реш е н не. Найдем математические ожндзния: тз (1) = М (1У) 1та, тз (1) М (1аУ) = 1атз.
Нейдем центрнроввниые функции: Я (1) =Х (ц — т„(1) = 1У вЂ” 1т,=1 <У вЂ” т.), Р (1)=т'(1) — т„(1)=1'У вЂ” 1азаа=р(У вЂ” т ). Найдем вззимиую корреляционную функцию: (1ы 1э)=М [е(1а) )а (1э)]=М ((1а(У вЂ” та)) 11а(У т )1) = 1,1,' м НУ вЂ” т.)а) = 1,1' ,У <У) = з1, 1',. Итак, искомая взаимная корреляционная функция )З з<1„1,)=З1,1'.. $13.
Свойства взаимной корреляционной функции Свойство 1. При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется: )(„„((„(,) - Я„„(1„1,). Свойство 2. Прибавление к случайным функциям Х(1) и т (1) неслучайных слагаемых, соответственно ф(1) и ар ((), не изменяет их взаимной корреляционной функции: если Ха(1)-Х(1)+'р(() и У,(1) =)'(1)+~В(1). )Рх з ((ы (а) )раз((ю )а) Свойство 3. Е1ри умножении случайных функций Х(Е) и )'(Е) на неслучайные множители, соответсгпвенно ф (Е) и «р (Е), взаимная корреляционная функция умножается ка произведение ф(Е,)«р(Е,): если Х, (Е) = Х (Е) ф (Е) и Г, (Е) = )' (Е) «(«(Е), )х' нь (Е Е ) = )х' (Еы Е ) ф (Е ) «г г(Е ) Свойство 4.
Абсолютная величина взаимной корреляционной функции двух случайных функций не превышает среднего геометрического их дисперсий: ( Я„„(Е„Е,) (~ УО. (Е,) В„(Е,). Доказательства этих свойств аналогичны доказательствам свойств корреляционной функции. 5 14. Нормированная взаимная корреляционная функция Наряду с взаимной корреляционной функцией для оценки степени зависимости сечений двух случайных функций пользуются характеристикой †нормированн взаимной корреляционной функцией. Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х (Е) и У(Е) называют неслучайную функцию двух независимых аргументов Е, и Е,: )1кх(1« 1д лагка(1« 1«) )1 Ох(1«) Вв(1«) Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те же свойства, что и взаимная корреляционная функция (см.
5 13)„причем свойство 4 заменяется следующим свойством: абсолютная величина нормированной взаимной корреляционной функции ке превышает единицы: 1р „(Е„Е,Н -=1. Пример. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций Х(1)=111 н г (1) 1аЕ/, где У вЂ” случайная величина, причем В(У)=3. Решение. Ранее при решении примера (см. 4 «2), в котором заданы те же функции, что н в настоящем примере, были найдены функции: й,в (1,, 1,1 е - а1,1 ь Х (11 =1(и — Ш), р (11 =1 (и — .1.
26 27Ю 40! Пользуясь зтнмн результатамн, легко найдем корреляционные функцяк: Х„((ь уз) З(дз, Ка(ть Уз)=З(,'Гз и нормированную функцию: ила (Гь гз) зебр Ркн((ь гз)— >'У.а,. ц) 3'к„и.. ь~ у'зы Узы Итак, искомаянормированная взаимная корреляционная функция Ран рь Гз) = ). Заметим, что функция У(г) связана с Х(Ф) линейной функци- ональной зависимостью: )'(г)=( и=)(ги)-)х(г), й И. Характеристики суммы случайных функций Пусть Х (1) н У(1) — случайные функции. Найдем характеристики суммы этих функций по известным характеристикам слагаемых.
Теорема 1. Математическое вжамйяние суммы двух случайных функций равно сумме матемсипических ожиданий слагаемых: если 2 (1) Х (1) + У (1), то т,(1) =т„(1)+т„(1). Эта теорема уже была приведена ранее (см. й 5, свойство 3); здесь она помещена для систематизации изложения. Методом математической индукции теорему можно обобщить на и слагаемых. Следствие. Математическое ожидание суммы случайной функции Х (1) и случайной величины )' равно сумме их математических ожиданий: если Е (1) = Х (1) + )', то т,(1)=т (1)+т„.
3 а м е ч а н н е 1. Цеитрнроваииан функция суммы случайиык функций равна сумме цеитрнрованных слагаеммх: если 2 (Г) = Х (т) + У (т), х(() = х (г)+ р (г). Деастантельно, г (т)-ь(т) — зн, т=(х у>+у (з)1 — 1 „(т)+ =1Х У) — «з„(г>1+[т У) — «зн(кп. Отсюда й(с>=х (О+р (т). Теорема 2.
Корреляционная функция суммы двух коррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды (с разным порядком следования аргументов): если Е (1) = Х (1)+ 1'(з), то Кз((з 1з) =К» (1з (з)+Кз((з (з)+ йаа ((з (з)+ йау(1з (з). Доказательство.
По определению корреляционной функции, Кз ((„8з) = М ф (1з) Й(8з)~. В силу замечания 1 У', (1) = Х (1)+)т (1). Следовательно, й (1,) й (1,) = (Х (1,)+ 1'(()ЦХ ((,)+)'(1,)1. Выполнив умножение, приравняем математические ожидания обеих частей равенства: М тй (1з) й (1Д = М [Х (1з) Х (1з))+ М ЕР (1,) )'(1Д+ + М ГХ (1,) ~' (1,)1+ йй ГР (1,) Х (1,)1. По определению корреляционной и взаимной корреляционной функций имеем К,(1„1.) =К„(1„1,)+К„(1„1,)+ В (1„1,)+ Р„„(1„1,). Учитывая, что Й„, (1„1„) = К„„(Ю„1,) (см. у 13, свойство 1), окончательно получим К. (1„1,)=К. (1„1.)+К„(1„1.)+в~(1,.
1,)+Я.„(1„1,). (*) Методом математической индукции теорему можно обобщить на и попарно коррелированных случайных функций: если л Е(г) =,ф, Хг(Е), К. (1„1,) = Х К.,((„1.)+,Х )(.„,((" 1.). где индексы 1, / второго слагаемого есть размещения чисел 1, 2, ..., и, взятых по два. Следствие 1. Корреляционная функция суммы двух некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых: если Е(1) =Х (г)+)'((), лзо К,(1„1,) =К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
