Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Ам Аа. А Ам Аа. 6. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испи- тания, в каждом йз которых вераятнастя появления событий авданы: Р (А) = 0,4, Р (В) = 0,6, Р (С) = 0,5. У к а з а н и е. Составить полную группу событий: Ах=АВС, Аз= АВС Аз= АВС Аз= АВС Аз=АВС, Аз= АВС Ат АВС, Аа=АВС; для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.
Оте. Ам Ав, Аа, Аа. 6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания,'в каждом из которых заданы вероятности: Р(А)=0 7, Р(В)=0 6, Р (АВ) =0,4. 379 У к а з а н н е. Составить полную группу событий: Аз АВ, Аз= АВ, Аа — — АВ, А»=АВ; для определенности принять случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89. Оатв. Аь Аз, Аы Аз.
7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону и задана функнней распределения Р(х)=1 — е-'е». У к а з а н и е. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,67; 0,79; 0,9!. Осла. 0,04; 0,02; 0,009. 8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (6, 14). У к а з а н н е.
Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93. Ота. 6,88; 6,32; !0,88; !3,44. 9. Найти методом суперпозиинн явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения г"(х) = 1 — (1/3)(2е-з +е-з"), 0 < х < ео. Огла. х — (1/2) 1п г„если гд ( 2/3; х = — (1/3) 1п гз, если г, » 2/3.
1О. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятности /(х) = Ь/(!+ах)з в интервале Ои х~!/(Ь вЂ” а); вне этого интервала /(х)=0. Огпв. х! — г!/(Ь вЂ” аг!). 11. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрамн: а) а=О, о=1; б) а=2, о=З. У к а з а н и е. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствуег случайное число гз=0,74): 74, 10, 88, 82, 22, 88, 57.
07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, !6, 05, 92, 21, 22, 30. Оглв. а) ха= — 0,22, хз= — 0,10; б) аз=1,34, аа — — 2,70. Глава двадцать вторав ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ МАРКОВА В 1. Цепь Маркова Целью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из й несовместных событий А„А„..., А» полной группы, причем условная вероятность р,~(а) того, что в з-м испытании наступит событие А,(/=1, 2, ..., й), прн условии, что в (з — 1)-м испытании наступило событие Л,(1 = 1, 2, ..., й), не зависит от результатов предшествующих испытаний. Например, если последовательность испытаний образует цепь Маркова и полная группа состоит нз четырех несовместных событий А„А„А„А„причем известно, что в шестом испытании появилось событие А„то услов- 380 ная вероятность того, что в седьмом испытании наступит событие А4, не зависит от того, какие события появились в первом, втором, ..., пятом испытаниях.
Заметим, что независимые испытания являются частным случаем цепи Маркова. Действительно, если испытания независимы, от появление некоторого определенного события в любом испытании не зависит от результатов ранее произведенных испытаний. Отсюда следует, что понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых испытаний. Далее используется терминология, которая принята при изложении цепей Маркова. Пусть некоторая система в каждый момент времени находится в одном из я состояний: первом, втором, ..., я-м. В отдельные моменты времени в результате испытания состояние системы изменяется, т.
е. система переходит из одного состояния, например 1, в другое, например 1'. В частности, после испытания система может остаться в том же состоянии (»перейти» из состояния 1 в состояние 1=1). Таким образом, события называют состояниями системы, а испытания — изменениями ее состояний. Дадим теперь определение цепи Маркова, используя новую терминологию.
Цепью Маркова называют последовательность исиытаний, в каждом из которых система принимает только одно из я состояний полной группы, причем условная вероятность р у(э) того, что в а-м испытании система будет находиться в состоянии 1, при условии, что после (э — 1)-го испытания она находилась в состоянии 1, не зависит от результатов остальных, ранее произведенных испытаний. Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные ф и к с и р о в а н н ы е моменты времени. Цепью Маркова с непрерывным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в любые случайные возможные моменты времени. $2, Однородная цепь Маркова.
Переходные вероятности. Матрица перехода Однородной называют цепь Маркова, если условная вероятность р,у(в) (перехода из состояния 1 в состояние 1) не зависит от номера испытания. Поэтому вместо р,~(з) пишут просто рн. 38$ Прямей. Случайное блуждав не. Пусть на прямой Ох в точке с целочисленной координатой «=и находятся материальная частнца. В определенные моменты времени вы Га, 1«, ... частица нснытывает толчки.
Под действнем толчка частнцз с вероятностью с смещается на единицу вправо н с вероятностью 1 †р †еднннпу влево. Ясно. что положенне (коорднната) частицы после толчка аавнснт от того, где находнлась частица после непосредственно предшествующего толчка, н не азвнсвт от того, как она двигалась под действнсм остальных предшествующих толчков. Таким образом, случайное блуждзнне — прнмер однородной цепи Маркова с днскретным временем, Далее ограничимся злементами теории конечных однородных цепей Маркова.
Переходной вероятностью р~у называют условную вероятность того, что из состояния 1 (в котором система оказалась в результате некоторого испытания, безразлично какого номера) в итоге следующего испытания система перейдет в состояние 1. Таким образом, в обозначении р,у первый индекс указывает номер предшествуюшего, а второй — номер последующего состояния. Например, р„ †вероятнос «переходав из первого состояния и первое; раз †вероятнос перехода из второго состояния в третье. Пусть число состояний конечно и равно /г.
Матриа(ей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности втой системы: Рм Рта ° ° ° Раа Раа Раа ° ° ° Раа а= Рм Раа Рва Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (перехода из одного и того же состояния в любое возможное состояние ))), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей втих событий равна единице.
Другими словами, сумма переходных вероятностей каждой строки матрицы перехода равна единице: Приведем пример матрицы перехода системы, которая может находиться в трех состояниях: 0,5 0,2 0,3 У, = 0,4 0,5 0,1 0,6 0,3 0,1 Здесь р„ = 0,5 †вероятнос перехода из состояния ! = 1 в это же состояние ! = 1; р„ = 0,4 †вероятнос перехода из состояния 1 = 2 в состояние ! = 1. Аналогичный смысл имеют остальные злементы матрицы. й 3.
Равенство Маркова Обозначим через Р» (и) вероятность того, что в результате и шагов (испытаний) система перейдет из состояния ( в состояние /. Например, Р„(10) — вероятность перехода за 10 шагов из второго состояния в пятое. Подчеркнем, что при и =1 получим переходные вероятности Поставим перед собой задачу: зная переходные вероятности р», найти вероятности Р;~(и) перехода системы из состояйия 1 в состояние у за и шагов. С втой целью введем в рассмотрение промежуточное (между ! и 1) состояние г.
Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния 1 за т шагов система перейдет в промежуточное состояние г с вероятностью Р;,(т), после чего за оставшиеся и — т шагов из промежуточного состояния г она перейдет в конечное состояние ! с вероятностью Р, (и — т). По формуле полной вероятности, Р,~(и) = г,' Р„(т) Р, (и — т).
(я) 1=1 Эту формулу называют равенством Маркова. По я сиен ие. Введем обозначения: А — интересующее нас событие (за и шагов система перейдет из начального состояния ! в конечное состояние !), следовательно, Р (А) = Р» (и); В, (г = 1, 2, ..., я) — гипотезы (за т шагов система перейдет из первоначального состояния 1 в промежуточное состояние г), следовательно, Р (В,) = Рм (т); Ра,(А) — условная вероятность наступления А при условии, что имела место гипотеза В, (за и — и шагов система перейдет из промежуточного состояния г в конечное состояние !), следовательно, Ра,(А) = Р„, (и — т).
По формуле полной вероятности, Р(А) = ~ Р(В,) Р,(А), г=! нли в принятых нами обозначениях Р! (п) = ~"„Р,,(т) Р„(п — т), г=! получим Р, (2) =,У', Р„(1) Р,~(2 — 1), нли Р!~ (2) =,Я р!,р,~. (зн!) Таким образом, по формуле (««) можно найти все вероятности Рм(2), следовательно, и саму матрицу 5',. Поскольку непосредственное использование формулы (««) оказывается утомительным, а матричное исчисление ведет к цели быстрее, напишем вытекаюшее из (««) соотношение в матричной форме: Я', = 5',У ! = У~~. Положив и = 3, т = 2 в («), аналогично получим ив=у !уз ~ау != у ! что совпадает с формулой («) Маркова.
Покажем, что, зная все переходные вероятности р! =- =-Р!~(1], т. е. зная матрицу 5'! перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятности Р!~ (2) перехода из состояния в состояние за два шага, следовательно, и саму матрицу перехода У,; по известной матрице у*, можно найти матрицу 7"', перехода из состояния в состояние за 3 шага, и т. д. действительно, положив и =- 2, т = 1 в равенстве Маркова В общем случае 9 и Ут Пример, Задана матрица перехода Ят=( 3 7) Найти мат- О,4 О,вч УРм (2! Рта !2)'5 рацу перехода Я'з= ~ ет аа5 !7 Р е ш е н и е.
Воспользуемся формулой Зта = Ф~т'. (0,3 0,7) (0,3 0,7) ' Перемиожиа матрицы, окончательно получим (0,33 0,67) ' Задачи !. Задана матрица перехода л5т=(0 7 О 3), Найти мат« О,г О,Вч Ф рину перехода Ята. 0 У (0,60 0,40) 2. Задана матРица пеРехода йтт=(0'3 ' ) . Найти мзтРицУ /0,1 0,9х перехода лта. /0,244 0,766~ (0,262 0,743( ' 25 — 2750 ЧАСТЬ П ЯТАЯ СЛУЧААНЫЕ ФУНКЦИИ Глава двадцать третья СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ й $.
Основные задачи Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций. Прямая задача (анализ): заданы параметры некоторого устройства н его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (снгиала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).
Обратная задача (синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение втой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматривается. $ 2, Определение случайной функции Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента г, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
