Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Подставим этн чнсла в уравнение, разрешенное относительно хн в нтоге получим соответствуннцне возможные знвчення Х: хг 8.0,11+2=2,88; ха=1,36; ха=7,28. Прнмер 2. Непрерывная случайная величина Х распределена во показательному закону, заданному функцней распределения (параметр а > 0 известен) Р(х)=1 — е "х (х > 0). Требуется нвйтн явную формулу для раэыгрыввння возможных зваченнй Х. Р еще н не. Используя правило настоящего параграфа, напашем уравненне -Ах ° ! — е г=г. г Решим это уравнение относительно хб - А» ° Е '=1 — гб НЛН вЂ” ХХ,=!П(! — Гг).
1 х! — — 1п (1 — г!). Л Случайное число г! заключено в интервале (О, 1); следовательне, число 1 — г! также случайное н прннадлежнт интервалу (О,!). Другнмн словамн, величины !с н ! — Я распределены одннаково. Поэтому для отыскання хг можно воспольаоваться более простой формулой 1 х — — — — 1п гь Л Заме чапае 2.
Известно, что (см. гл. Х1, 2 3) х Р (х) = ~ ) (х) гЬ. Ф В частности, Р(хй= $ г(х)юЬ. Отсюда следует, что еслн навестив плотность вероятяостн Г(х), то для рааыгрываннв Х можно вместо уравнений Р (х;) = г! решить относнтельно х! уравнение г (х) ~Ь = гь Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х, непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности ((х), надо выбрать случайное число г, и решить относительно х, уравнение х ~ Т (х) г(х = го или уравнение ~ ( (х) с(х = г„ где а — наименьшее конечное возможное значение Х. Прнмер 3.
Задана платность нероятностн непрерывной случайной величины Х ((х) =Л(! — Лх/2) в ннтерввле (О: 2/Л); вне етого ннтервала Г(х)=0. Требуется найти явную формулу для рааыгрываннн воаможных аначеннй Х. Решение, Наньшем в соответствии с правилом 2 уравнение Х ~ (! — Хх/2) их= го о Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно хп окончательно получим ХГ = 2 ( ! — Р ! — г!)/Х. 5 8. Метод суперпозиции Пусть функция распределения разыгрываемой случайной величины Х может быть представлена в виде линейной комбинации двух функций распределения: Р (х) = С,Р, (х)+С,Р, (х) (С ) О, С, > О), При х — оо каждая из функций распределения стремится к единице, понто му С, +- Са = 1.
Введем вспомогательную дискретную случайную величину Л с законом распределения г 1 2 р С, С, Мы видим, что Р (Л = 1) =- фР(2 = 2) = С,. (в) Выберем два независимых случайных числа г, и г,. По числу г, разыгрываем возможное значение Я (см. $ 4).
Если окажется, что 2=1, то ищут искомое возможное значение Х из уравнения Р,(х)=г,; если л=2, то решают относительно х уравнейие Ра(х) =г,. Докажем, что функция распределения разыгрываемой случайной величины равна заданной функции распределения. Воспользуемся формулой полной вероятности (см. гл. 1Ч, й 2) Р (А) = Р (В,) Рв, (А) + Р (Ва) Рв, (А). Обозначим через А событие Х (х; тогда Р(А) =Р(Х < х) =Р (х). (е е) Рассмотрим гипотезы В;.
8=1 и В;. 2=2. Вероятности этих гипотез в силу (е): Р(В,)=Р(2=1)=С, и Р(В,) Р(2=2)=С,. (еев) 37о Условные вероятности появления события А соответственно равны: Рв,(А)=Рв,(Х(х)=Р,(х) и Рв, (А) = — Рв, (Х ( х) =- Р, (х), (»»»») Подставив (»»), (»»») и (»»»») в формулу полной вероятности, окончательно получим Р (х) = С,Р, (х) + С,Р, (х), что и требовалось доказать.
3 а м е ч а н н е. Метод суперпознцнн обобпгается на и слагаемых функций распределения. Правило. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой Р (х) = С, Р, (х) + С,Р, (х), где С, > О„С,) О и С,+С,= 1, надо выбрать два независимых случайных числа г, и гв и по случайному числу гт разыграть возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Е (по правилу й 4): д 1 2 р с, с, Если окажется, что л= 1, то решают относительно х уравнение Р,(х)=г„если Е 2, то решают уравнение Р,(х) =г,.
Пример. Найтн явные формулы для разыгрывання 'непрерывной случайной велнчнны Х, заданной функцией распределения г (х)= ! — 0,25(е з" +Зе "), 0 с х < ао. Р е гп е н н е. Воспользуемся методом суперпознцнн, для чего представим заданную функцию в виде г (х)=0,25(! — е-*')-(-0,75(! — е- ). Такам образом, можно принять: гг(х)=! — е-зх гз(х)=! — е х Сг 025 Се 075 Введем в рассмотренне вспомогательную дискретную случайную велнчнну Е с законом распределения Е ! 2 Р 0,25 0,75 Выберем независимые случайные чнсла гг н га. Разыграем х по случайному числу гы для чего по правнлу 4 4 постронм частнчные интервалы ач — (О; 0,25) и Ла — (0,25; !). Если гх < 0,25, то и=1.
если г, )0,25, то а=2. Итак, возможное значение Х находят, решая относительно х уравнение 1 — е - х» =- г, если г, < О. 25, илн 1 — е-х = гз, если г, ) 0,25. Используя решение примера 2 (см. 5 7), в котором была найдена явная формула х= — (1/Х) !и г для разыгрывания возможных значений показательного распределения с заданным параметром Х, окончательно получим: х = — (1/2) 1п г,, если г, < 0,25; х= — 1п га, если гх во,25. й 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины Напомним предварительно, что если случайная величина Я распределена равномерно в интервале (О, 1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см.
гл. Х11, 2 1, замечание 3): М Я) = 1/2, (н) сг (/с) = 1/12. (» ) Составим сумму л независимых, распределенных равномерно в интервале (О, 1) случайных величин /су(/=1, 2...,, и): Хг,. (нвн) Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (н««) содержит и слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу (в) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (ввн) М ~ йу = и/2. Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (ввн) содержит и независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу (вв) равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы (и«и) Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы (и««) ох = 1ги! 12.
Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение: )гу — (л!2) /=! л/12 В силу центральной предельной теоремы при л оо распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=О и 0=1. Прн конечном и распределение приближенно нормальное. В частности, при и= 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение 13 Х я,— 6. 1 Правило.
Для того чтобы разыграть возможное значение х, нормальной случайной величины Х с параметрами а=О и 0=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и нз полученной суммы вычесть 6: 13 х =,г,' г — 6=8,— 6. / 1~~1 Пример. а) Разыграть 100 возможных значеннй нормальной величины Х с параметрами а=О н а=1; б) оценить параметры разыгранной велнчнны. Решение. а) Выберем !2 случайных чисел нз первой строки таблицы ю, сложкм нх н кз полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем хз = (О, Ю+ О, 09+ ... + О, 67) — 6 = — О, 99. Аналогично, выбирая нз каждой следующей строка таблнцы первые 12 чисел. найдем остальные возможные значения Х. е) Смл Большев Л. Н., Смирнов Н. В.
Таблицы математнческой статнстнкн, М., «Науказ, 1965, с. 428 — 429. 378 б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки: ае=х — 0,05, ое= У Р э 1,04, Оценки удовлетворительные: ое близко к нулю, о мало отличается от единицы. Замечание. Если требуется разыграть возможное значение зг нормальной случайной величины 2 с математическим ожиданием а н средним квадратическим отклонением о, то, разыграв по правилу настоящего параграфа возможное значение л1, находят искомое возможное значение по формуле аг = пхг + а. Этз формула получена нз соотношения (зг — а))о=х1. Задачи !. Разыграть 6 значений дискретной случайной величавы Х, закан распределения которой задан в виде таблицы Х 2 3,2 1О р 0,18 0,24 0,58 Указание.
Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Ожв. !О; 101 1О; 2; 3; 22; 10. 2, Разыграть 4 испытания, в каждом нз которых вероятность появления события А равна 0,52, У к а з а н и е. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89. Оязв. А, А, А, А. 3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р (Аг) = 0,20, Р (Аз) =0,32, Р(Аз) =0,48. Разы~рать 6 испытаний, в каждом из которых появляется адно нз заданных событий.
У к а з а н н е. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,77; 0,19; 021;,0,51; 0,99; 0,33. Овгз. А„Ах, А,, А,, 4„Аз. 4. События А й В независимы н совместны. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события  — 0,8, У к аз ан не. Составить полную группу событий: Ах=АВ, А,=АВ, Аз=АВ, Аз=АЗ; для определенностя принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57, Огне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
