Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Так как 29 < 54 < 61 т. е. юнижи.ир < )рназл < юиераи. «р. иет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об одиородиости выборок. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Р, (х) > Р, (х) надо найти по таблице нижнюю критическую точку гн„„„„р(Я; и,; и,), где Я =а. Если йГ„,зи > и!„„„„р — нет оснований отвеРгнУть нУлевую гипотезу. Если Ф'„,з„< и!н„н „вЂ” нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. При койкурирующей гипотезе Н,:Р,(х) е ( Р, (х) надо найти верхнюю критическую точку: ге>верин. кр((е)> пз> пв) = (пг+ па+ 1) пе и>кижи.
кр ((«!> Нт> пв)> где () =се. ЕСЛИ (Р нвеи ( И>верки. «р НЕТ ОСНОВаНИИ ОтасрГНутЬ нулевую гипотезу. Если (р'„,з, > гн„р„„„р — нулевую гипотезу отвергают. 3 а меча н не. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные порядковые номера (совпавшие варианты нумеруют так, как если бы они были различными чнсламн): если же совпадают варианты р а з н ы х в ы б о р о к, то всем нм прнсваиваюг один н тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы зги варианты до совпадения. Б.
Проверка нулевой гипотезы в случае, если обьем хотя бы одной из выборок превосходит 25. 1. При конкурирующей гипотезе Р, (х) чь Р, (х) нижняя критическая точка Гвнкжи. кр(Ф Пы пв) = (л,-(-п,-1-!) л,— ! /пт,(п,-)-л,-(-!)1 2 — 2 ~Г кр р> !2 ~ ° (е) где (~=а)2; 2«находят по таблице функции Лапласа по равенству С6(г«р) =-(1 — а)/2; знак [а1 означает целую часть числа а. В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохраняетсяя.
2. При конкурирующих гипотезах Р, (х) > Р, (х) и Р, (х) ( Р, (х) нижнюю критическую точку находят по ФОРМУЛЕ (в), ПОЛОЖИВ Я =-а; СООтВЕтСтВЕННО 2«р НаХОДЯт по таблице функции Лапласа по равенству Ф(гн )= =(1 — 2а))2. В остальном правила 2 — 3, приведенные в п. А, сохраняются. Пример -2. При уровне значимости 0,0! проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов пв =30 н и =50 при конкурирующей гипотезе Не:Р,(х) ю гв(х), если известно, что в общем вариацнонном ряду, составленном нз вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки В'иври= (600.
345 Р е ш е н и е. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Рд (х) Ф Ре (х), поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем г„р по равенству Ф (г„р) = (1 — а)/2 = (1 — 0,01)/2 = 0,495. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим г„р — — 2,58. Подставив лд=30. л,=50, г„р —— 2,58 в формулу (е), йолучнм ыээже. ар= 954 Найдем верхнюю критическую точку: двверхн.ар=(лд+лз+1) лд ыввже.кр=2430 954=1476 Так как 1600 > 1476, т. е. Яуеевв > щверх.кр — нУлеваЯ гипотеза отвергается. Задачи 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны лд и ле, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей Х н Г, найдены исправленные выборочные дисперсии зех и зу.
При уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Нэ: В (Х) = В()') о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Нд: Р(Х) > В()'), если: а) лд = 10, ле = 16, зх = 3,6, зд'= 2,4, а = 0 05! б) лд — — 13, л, = 18, зэх = 0,72, зу = 0,20, а = 0,01. Овы. а) Р„щ„=1,5; Р„р(0,05; 9; 15)=2,59.
Нет основаннйотвергнуть нулевую гийотезу; б) Р„два=36; Рер (001; 12; 17)=3,45. Нулевая гипотеза отвергается. 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны л и лд, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей Х н г', найдены выборочные средние х и у. Генеральные дисперсии В(Х) й В(д ) известны. Прн уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Не: М (Х) =М (г ) о равенстве математических ожиданий при конкурирующей гипотезе Нд:М(Х> Ф М(1'), если: а) и=30, щ=20, В(Х)=120, Р()')=100, а=005; б) л =50, т=40, В(Х)=50, Ю(г)=120, а=0 01.
Ощв. а) Я еах=!, г„р — — 1,96. Нет оснований отвергиугь нулевую гипотезу; б) 2ееэв = 10, г„р — — 2,58. Нулевая гипотеза огвергжтся. 3. По двум незавнснмйм выборкам, объемы которых соответственно равны л=5 и и=6, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей Х и г, найдены выборочные средние х=!59, у=14,1 н исправленные выборочные дисперсии зх=!4,76, эд =4,92.
При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Не: М (Х) = М (4') о равенстве лдатематических ожиданий при конкурирующей гипотезе Н: и <Х>; М <Г>. У к а з а н и е. Предварительно сравнить дисперсии. Отв. Т„дав=0,88, /кр(005; 9)=2,26. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. 4. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением п=2,1 извлечена выборка объема я=49 и по ней найдена выборочная средняя х=4.5. Требуется прн уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н;. а=3 о ра- венстве математического ожидания гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе НБ а Ф 3. О«пв.
О«аэ«=5, н„р — — 1,96. Нулевая гипотеза отвергается. 5. По выборке объема я=16, извлеченной из нормальной гене- ральной совокупности, найдены выборочная средняя к=12,4 и «испрзвленноеь среднее квадратическое отклонение з=1,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Ньч а=11,8 о равенстве математического ожидания гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Нт..п Ф!1,8. Ол«з. Т„зал=2, Гзр(0,05; 15)=2,13.
Нет оснований отвергнуть нулевую гнйотезу. 6. Двумя приборамн измерены 5 деталей. Получены следующие результаты (мм): х«=4, х«=5 хз — 6, хз 7, х«=8 У«=5. У«=5 уз=9, у«=4, уз=6 При уровне значимости 0,05 проверить, значимо кли незначимо раз- личаются результаты измерений. Ощэ. Т„,эл = 10,54, 1«р (0,05; 4) =2,78.
Различие результатов измерений значимое. 7. По 100 независимым испытаниям найдена относительная час- тота щ(я=0,15. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Нз:р=0,17 о равенстве относительной частоты гипотетиче- ской вероятности йри конкурирующей гяпотезе Н,:р ~ О,!7. Отв. ) Ой«э )=0,53, и„р — — 1,96. Нет оснований отвергнуть, нуле- вую гипотезу.
В. Иэ партии картона фабрики № 1 случайно отобрано !50 листов, среди которых оказалось !2 нестандартных; из 100 листов картона фабрики № 2 обнаружено !5 нестандартных. Можно лн считать нэ пятипроцентном уровне значимости, что относительные частоты полу- чения нестандартного картона об ими фабриками различаются зна- чимо? У к а э а н и е.
Принять в качестве конкурирующей гипотезы Н,:р,~р.. Огпв. (?„,эз= — 1,75; и„р — — 1,96. Различие относительных частот незначимое. 9. По пяти независимым выборкам, объемы которых соответст- венно равны п«=7, п«=-9, л«=10, и«=!2, п«=12, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исйравленные выбо- рочные дисперсии: 0,27, 0,32; 0,40; 0,42; 0,48. При уровне значи- мости 0,05 !проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий (критическая область в правостороиняя), У к а з а н и е. Использовать критерий Бартлетта (см. 4 20).
Огпв. У=6,63, дар (0,05; 4) =9,5. Нет оснований отвергнуть нуле- вую гипотезу. 10. По четырем независимым выборкам одинакового объема и = 17, извлеченным из нормальных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,12; 2,32; 3,24; 4,32. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверйть нулевую гипотезу д равенстве генеральных дисперсий (критическая область — правостороиияя); б) оценить генеральную дисперсию.
Указа иве. Использовать критерий Кочреиа (см. 4 21). 347 Отв. а) бч,аа =0,36; Оав (0,05; 16; 4) = 0,4Ч66. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; б) о = 3. 11. По выборке объема л=62, извлеченной из двумерной нормальной совокупности (Х, )'), найден выборочный коэффициент корреляции гэ=0,6. Прн уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Нэггг =0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе гг ~ О. Оюв.
Т„,за =-5,81, („р (0,05; 60) = 2,0. Нулевая гипотеза отвергается. 12. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические (приведены в первой строке) и теоретические частоты (приведены во второй строке): а) 6 !2 16 40 13 8 5 4 11 15 43 !5 6 6 б) 5 6 14 32 43 39 30 20 6 5 4 7 12 29 48 35 34 18 7 6 в) 5 13 12 44 8 12 6 2 20 12 35 15 10 6 !лпэ. )(йэал =2,5, )(кр(0,05; 4) =9,5.
Нет оснований отвергнуть гипотезу; б) )(„эс = 3, )(эр(0,05; 7)= 1461. Нет оснований отвергнуть гипотезу; в) )(ээел = !3, )Дв(0 05; 4)=9 5. Гипотеза отвергается. 13. а) Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным рангам объектов выборки объема п = 1О: хз 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О дг 4 3 5 8 6 1 7 !О 2 9 б) значима ли ранговая корреляционная связь при уровне значимости 0,057 Оив. а) р = 1/3; б) Т„р — — 0,77; корреляционная ранговая связь незначима.
14. а) Найзи выборочный коэффициент раиговой корреляннн Кендалла по данным рангам объектов выборки объема и= 10: хг 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 д; 4 3 5 8 6 1 7 ГО 2 9 б) значима ли ранговая корреляционная связь при уровне значимости 0,057 Оев. а) т,=0,29; б) Т„э=0,96; раиговая корреляционная связь незначима. 15. Известны результаты измерения (мм) изделий двух выборок, объемы которых соответственно равны пэ=6 н ля=6: х! !2 10 8 15 14 11 91 13 9 16 17 7 18 При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Р, (х) = Рэ (х) об однородности выборок при конкурирующей гипотезе Й,:Р, (х) Ф эа Р (х).
эг к а з а н и е. Использовать критерий Вилкоксона. Отв. Нулевая гипотеза отвергается; ыээмэ аэ(0,025; 6; 6)=26, гивера н. чэ = 52 йтнабх = 70 16. Йспольэуя критерий Вилкоксона, при уроине значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок, 348 объемы которых соответственно равны лт=30 и л =50, при коикурнруюШей гипотезе Рд(к) ) гр(х), если известно, что сумма порядковых номеров вариант первой выборки в обшем варианионном ряду )Раааа = 1 130.
Оте. Нег оснований отвергнуть нулевую гипотезу: меана. ар (О 03' 30' бо) = 1043, грверхв. вр = 1382. Глава двадцатая ОДНОФАКТОРНЫ Я ДИСПЕРСИОНН Ы Я АНАЛИЗ й 1, Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперсионном анализе Пусть генеральные совокупности Х„ Х„ ..., Хр распределены нормально и имеют одинаковую, хоти й неизвестную, дисперсию; математические ожидания также неизвестны, но могут быть различными. Требуется при заданном уровне значимости по выборочным средним проверить нулевую гипотезу О,:М (Х,) = М (Х,) = —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
