Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 56
Текст из файла (страница 56)
гл. !/11, 9 5, замечание); при справедливости 11 "710 321 нулевой гипотезы (р, = р, = р) М (М,) п,р и аналогично М (М,) = п,р. Следовательно, М((/')=М ~ — „,'1 — М ~ф = — „' М(М,) — „' М(М,)= ! ! = — п р — — п р=О. л1 1 пв 2 Покажем, что среднее квадратическое отклонение о ((/') = $"р (1 — р) И1/и,)+ (1/ .)1. Действительно, дисперсия В (М,) = п,р, (! — р,) (см, гл. Ч111, 2 6, замечание); при справедливости нулевой гипотезы (р,=р,=р) О(М,)=п,р(1 — р) и аналогично О (М,) = п,р (1 — р).
Следовательно, О((/') = 1) ~~* — м'1= — ', И(М,)+ — ', В(М,) = ге, п~ и,' п~ ! ! г ! ! —,р (1 — р)+ —,п,р (1 — р) =р(1 — р) ~ — + — ~~, п1 пз ~ п1 па ) Отсюда среднее квадратическое отклонение о ((/') =)/ р (1 — р) (1/п,)+ (1/п,)~. Итак„случайная величина (/= (и' — М (и'))/о(и') (см. формулу (в)) нормирована и поэтому М ((/) = О и о(У) = 1. 2 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта Пусть генеральные совокупности Х„ Х„ ..., Х, распределены нормально Из этих совокупйостей извлечены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов п„ п„ ..., п, (некоторые объемы могут быть одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена, который описан в следующем параграфе).
По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии з,', 4, ..., з',. Требуется по исправленным выборочным дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: Н,:В(Х,) =И(Х,) =... =И(Х,). 322 Другимн словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии.
Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве нескольких дисперсий называют гипотезой об однородности дисперсий. Заметим„что числом степеней свободы дисперсии е~' называют число й;=и,— 1, т. е. число, на единицу меньшее объема выборки, по которой вычислена дисперсия. Обозначим через Э среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешейную по числам степеней свободы: где я= ~~~ ~Й;. 1 1 В качестве критерия проверки нулевой гипотезы об однородности дисперсий примем критерий Бартлетта— случайную величину В=У/С, где Ю У=2,303 й1йР: ~~.'~ ~й,1йз,' с з Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как 1(' с 1 — 1 степенями свободы, если все я, > 2. Учитывая, что и; =и; — 1, заключаем, что лэ— — 1 > 2, или и, > 3, т. е. объем каждой из выборок должен быть не меньше 4. Критическую область строят правостороннюю, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: Р (В > 11'„р (а; 1 — 1)1 = а.
Критическую точку у'„(а; 1 — 1) находят по таблице приложения 5, по уровню значимости а и числу степеней 323 свободы Й=1 — 1, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством В ) у'р, а область пРинЯтиЯ гипотезы †неРавенств В ( )(ер. Обозначим значение критерия Бартлетта, вычисленное по данным наблюдений, через В„,а, и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы. Правило. Для того чтобы прн заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта В=У/С и по таблице критических точек распределения )(* найти критическую точку Др(а; 1 — 1).
Если В„,з«<)(„',— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если В„,а, >)(ер — нулевую гипотезу отвергают. 3 а м е ч а н н е Ц Не следует торопиться вычислять постоянную С. Сначала надо найти У и сравнить с х«р, если окажется, что У с х„р, то подавно (так как с > 1) В =(У(с) < х«р н, следовательно, С вычислять ие нужно. Если же У > узр, то надо вычислить С и затем сравнить В с Х«р. 2 а 3 а и е ч а н н е 2, Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям распределений от нормального, позтому к выводам, полученным по атому критерию, надо относиться с осторожностью. Таолицз 25 Пример. По четырем независимым выборкам, объемы которых соответственно равны пг=10, и =12, па=15, и =16, извлеченным нз нормальных генеральных соаокупиостей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 0,25; 0,40; 0,36; 0,46.
Прн уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий (критическая область — правосторонняя). Ре ш е н не. Составим расчетную табл. 25 (столбец 8 пока заполнять ие будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычислять С). Пользуясь расчетной таблицей, найдем: зз = (~ й!т1)/д = 18,99/50 = 0,3798; !й 0,3798 = 1,5795; 'т'= 2,303 (а 18 зз — Я~ А!! й зД = 2,303 150.
1,5795 — 22,53051 = 1,02. По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы 1 — 1 =4 — 1 =3 находим критическую точку кф,р (0,05; 3) = 7,8. Так как т' < Улр, то подавно (посколькУ С > 1) Вчаза=(т'/С) < < )(кр и, следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований. Йругимн словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо. 3 а м е ч а и и е 3.
Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы, т. е. з' (, /а!з!)/д. Например, в рассмотренной задаче в качестве оценки генеральной дисперсии целесообразно принять 0,3798. $21. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена Пусть генеральные совокупности Х„Х„ Х, распределены нормально. Из этих совокупностей извлечено ! независимых выборок одинакового объема а и по ннм найдены исправленные выборочные дисперсии зз, 3'„...., ззп все с одинаковым числом степеней свободы й=п — 1. Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости сс проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: Нз:Р(Х,) =О(Х,) =...
= О(Х,). Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дисперсии. 325 В рассматриваемом случае выборок одинакового объема можно по критерию Фишера — Снедекора (см, 5 8) сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; если окажется, что различие между ними незначимо, то подавно незначимо и различие между остальными дисперсиями.
Недостаток этого метода состоит в том, что информация, которую содержат остальные дисперсии, кроме наименьшей н наибольшей, не учитывается. Можно также применить критерий Бартлетта. Однако, как указано в й 20, известно лишь п р и бл и жен нос распределение этого критерия, поэтому предпочтительнее использовать критерий Кочрена, распределение которого найдено т о ч н о. Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена — отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий: 6=5' „/(51р+5рр+ ° ° . +5)).
Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы й=л — 1 и количества выборок !. Критическую область строят правостороннюю, исходя нз требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: Р (б > б„р (а; й, ()1 = а. Критическую точку б„р(а; й, 1) находят по таблице приложения 8, и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством б > б„, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством б < б„. Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через б„,~, и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице найти критическую точку, Если б„,л, < б„р †н оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если б „ы, 6„— нулевую гипотезу отвергают. 326 3 а и е ч а н и е. Если требуется оценить генеральную дисперсию, то при условии однородности дисперсий целесообразно принять в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выборочных дисперсий, Пример.
По четырем независимым выборкам одинакового объема л= !7, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные дисперсии: 0,26; 0,36; 0,40; 0,42. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности генеральных дисперсий (критическая область †правосторонняя); б) оценить генеральную дисперсию. Р е ш е н и е. а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочрена †отношен максимальной исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий: а„,з, = 0,421(о,26+ а,за+ о,40+ 0,42) = 0,2017. Найдем по таблице приложения 8, по уровню значимости 0,06, числу степеней свободы а=17 — 1=16 и числу выборок 1=4 крйтическую точку баз (0,05; 16; 4) =0,4366.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
