Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Не:а=аз о равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению ае при конкурирующей гипотезе Н,:ачьа„ надо вычислить наблюдаемое значение критерия: Т„„„=(х — а,) г' и/з и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы л=п — 1 найти критическую точку 1аа„„„»(а; Й). Если ~ Т„,е, ~ < 1„,„„„— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если ~ Т„„) '> 1„„„„,— нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н,|а > ав по уровню значимости сс, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы я=п — 1 находят критическую точку 1„, ст. „»(а; й) правосторонней критической области. Если Тявба < 1„„„„„» — нет оснований отвеРгнУть нулевую гипотезу. Правило 3, При конкурирующей гипотезе Н,:а < а„ сначала находят «вспомогательную» критическую точку 1„»„„, „р(св; й) и полагают границу левосторонней критической облас'ги уаевост. чр = — 1арчвест. «р Если Т„,е, > — г„„„„„» — нет осйований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если Т„,а, < — 1„„„„„— нулевую гипотезу отвергают. Пример 3. По выборке объема и=20, извлеченной нз нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя а=!б н «исправленное» среднее квадратическое отклонение з = 4,5. Тре. 31! буется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Нэ.а=а,=!5, при конкурирующей гипотезе Н,:а Ф 15. Р е ш е н и е. Вычислим наблюдаемое значение критерия; Т дад =(х — ае) 1/ и/з =(!6 — 15)- г" 20/4,5=0,99, По условию, конкурирующая гипотеза имеет внд а ~ ае, поэтому критическая область — двусторонняя.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости а=0,05, помещенному в верхней строке таблицы, н по числу степеней свободы 2=20 — 1=19 находим критическую точку !двт,, д„(0,05; 19) =2,09. так как (т„,ад! ( гдэт,т „р — нет оснований, чтобы отвеРгнУть нулевую гипотезу; выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической генеральной средней.
9 14. Связь между двусторонней критической областью н доверительным интервалом Легко показать, что, отыскивая двустороннюю критическую область при уровне значимости са,, тем самым находят и соответствующий доверительный интервал с надежностью у=1 — сз. Например, в 9 13, проверяя нулевую гипотезу Н:а=а, при Н,:а~:а„мы требовали, чтобы вероятность попадания критерия (/ =(х — а) )~ и/а в двустороннюю критическую область была равна уровню значимости сс, следовательно, вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы ( — и„, и„,) равна 1 — а=у.
Другими словами, с надежностью у выполняется неравенство — и„э ( (х — а) $' и/о ( и „, или равносильное неравенство о о х — и — < а(х+ и дэ ф «э )г' ° где Ф(и„э)=у/2, Мы получили доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при известном о с надежностью у (см. гл. ХЧ1, 9!б). 3 а м е ч а и н е.
Хотя отыскание двусторонней критической области и доверительного интервала приводит к одинаковым результатам, их истолкование различно: двусторонняя критическая область определяет границы (критические точки), между которыми заключено (1 — а)% числа наблюдаемых критериев, найденных при повторении опытов; доверительный же интервал определяет границы (концы интервала), между которыми в у=(1 — аЩ опытов заключено истинное значение оцениваемого параметра. й 16. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних На практике часто известна величина (точность) 6 > О, которую не должна превышать абсолютная величина разности между выборочной и гипотетической генеральной средними.
Например, обычно требуют, чтобы средний размер изготовляемых деталей отличался от проектного не более чем на заданное 6. Возникает вопрос: каким должен быть минимальный объем выборки, чтобы это требование с вероятностью у = 1 — га (са — уровень значимости) выполнялось? Поскольку задача отыскания доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном о и задача отыскания двусторонней критической области для проверки гипотезы о равенстве математического ожидания (генеральной средней) гипотетическому значению (см. $13, п.
А) сводятся одна к другой (см. 3 14), воспользуемся формулой (см, гл. ХЧ1, $15) и = икро'/ба, где и„находят по равенству Ф(и, )=у)2=(1 — се))2. Если же о неизвестно, а найдена его оценка а, то (см. ~ 13, п. Б) и=1,' „„р(и; й) зе!6з. й 1б. Пример иа отыскание мощности критерия Приведем решение примера на нахождение мощности критерия, Пример.
По выборке объема л=25, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о=10, найдена выборочная средняя л=!8. Прн уровне значимости 0,05 требуется: а) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза Не:а=аз=20 о равенстве генеральной средней гипотетическому значению прн конкурирующей гипотезе Она < 20; б) найти мощность критерия проверки при аз=15.
Р е ш е н н е. а) Так как конкурирующая гипотеза имеет внд а < а„, критическая область — левосторонняя. Пользуясь правилом 3 (см, $ 13, п. А), найдем критическую точку: п„р — — — 1,55. Следовательно, левосторонняя критическая область оп- 313 ределяется неравенством У < — 1,65, нли подробнее (х — 20) 1/ 25/10 < — 1,65. Отсюда х < 16,7. При атих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в атом смысле х=16„7 можно рассматривать как критнчесяое значение выборочной средней. б) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т.
е. при аз=16), положив х= 16,7: У =(х — ае) г' л/о=(16,7 — 16) У'25П0=0,35. Отсюда видно, что если х < 16,7, то У < 0,35. Поскольку при х < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при У < 0,35 она также отвергается (при зтом конкурирующая гипотеза справедлива, так как'мы положили аз=16). Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность критерия, т.
е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза (см. 4 7): Р(У <035)=Р( — ее < У <0,35)=Р( — се < У <О)+ +Р(0 < У < 0,35)=0,5+Ф (0,35) =0,5+0,1368=0,6368. Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия приближенно равна 0,64.
Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится. Например, прн и =64 мощность равна 0,71. Если увеличить и, то мощность. также увеличится. Например, при а=о,! мощность рвана 0,7642. 3 а меч а н не. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки второго рода: (! =1 — 0,64. (Разумеется, прн решении примера можно было сначала найти (1, а затем мощность, равную 1 — Р.) й 17.
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки) В предыдущих параграфах выборки предполагались независимыми. Здесь рассматриваются выборки одинакового объема, варианты которых попарно зависимы. Например, если х, (1=1, 2, ..., и) — результаты измерений деталей первым прибором, а уг — результаты измерений этих- же деталей, произведенные в том же порядке вторым прибором, то х, и у, попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые.
Поскольку, как правило, х, ~у„то возникает необходимость установить, значимо или незначимо различаются пары этих чисел. Аналогичная задача ставится при сравнении двух методов исследования, осуществленных одной лаборатори- ЗИ ей, или если исследование произведено одним и тем же методом д в у м я различными лабораториями. Итак, пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н,: М (Х) = М ()') о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н,:М (Х) чь М (г") по двум зависимым выборкам одинакового объема.
Сведем эту задачу сравнения дву х средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней, решенной в $13, п. Б. С этой целью введем в рассмотренные случайные величины — разности Р,=Х,— )', и их среднюю ,'5,'Р, ,'Я~(Хг — )с) '„~Хе ХЪ'г Х ); л и и н Если нулевая гипотеза справедлива, т. е. М (Х) =М (У), то М (Х) — М(Г) О и, следовательно, М(Р) =М(Х вЂ” Г)-М(Х) — М()')=О. Таким образом, нулевую гипотезу Н,:М(Х)= М(Г) можно записать так: Н,:М (Р)= О.
Тогда конкурирующая гипотеза примет вид Н,: М (Р) 5ь О. 3 з м е ч з н н е 1. Далее наблюдаемые неслучзйные рззностн хг — р~ будем обозначать через Лг в отличке от случайных резвостей Рг = Хг — Уь Анелогнчно выборочную среднюю зтнх резкостей ) Щн обознзчнм через Ы в отлнчне от случайной велнчнны Р. Итак, зздзчз сравнения двух средних х н р сведена к зндвчв сравнения одной выборочной средней сТс гнпотегнческнм значением генеральной средней М (Р) =аз=о. Зтз задача решенз ренее в $ Ь, и. Б, поэтому прнведем лишь правило проверки нулевой гнпотезы н нллюстрнруюшнй пример. Ззмечзнне 2. Квк следует нз изложенного выше, н формуле (см. $13, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
