Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Конкурирующая гипотеза Н,: М(Х) > М(У'). На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя одной совокупности больше генеральной средней дру- Й гой. Например, если введено О ~ля усовершенствование техноло- Рис. 26 гического процесса, то естественно допустить, что оно приведет к увеличению выпуска продукции. В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероят. ность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 26): Р (Е > ач ) = а. (««««) Покажем, как найти критическую точку с помощью функции Лапласа.
Воспользуемся соотношением («««): Р (О < Е < ачэ) + Р (Е > акэ) = 1/2. В силу (««) и (««««) имеем Ф(авэ)+!в= 1/2. Следовательно, Ф (аар) = (1 — 2а)/2. Отсюда заключаем: для того чтобы найти границу правосторонней критической области (акэ), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное (1 — 2са)/2.
Тогда право- сторонняя критическая область определяется неравенством Е > акэ, а область принятия нулевой гипотезы— неравенством л < акр. Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости сс проверить нулевую гипотезу Нэ! М(Х) =М(У') ЗО! о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н,: М (Х) > М (У), надо вычислить наблюдавшееся значение критерия Е„,а, и по таблице функции Лапласа найти !!(!!!! ~-!!!! !! о у ° у ~ ео>(!м)л Если Е„,а, < г„,— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Хаааа > г„— нУлевУю гипотезУ отвеРгают. Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны и=10 и ш=10, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние я=14,3 и = 12 2.
Генеральные дисперсии известны: В (Х) = 22, !) (У) = 18. ри уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Не: М(Х) М (У), пря конкурирующей гипотезе Н;. М(Х) > М(У). Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия; 14,3 — 12,2 ! !!!!О.~!8!!! По условию, конкурирующая гипотеза имеет внд М(Х) > М(У), поэтому критическая область в правосторонняя. По таблице функции Лапласа находим г„р —— 1,64.
Так как Язьва < янр нет оснований отвергйуть нулевую гяпотезу. Другими словамн, выборочные средние различаются незначимо. Третий случай. Нулевая гипотеза Н,: М(Х) М (У). Конкурирующая гипотеза Н,. М (Х) < М (У), В этом случае строят левосторонйюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа- Рнс. 27 дания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис.
27): Р (л < г'„р) = а. Приняв во внимание, что критерий Я распределен симметрично относительно нуля, заключаем, что искомая критическая точка г„'р симметрична такой точке !г„> О, для которой Р (Л > гьз) = !х, т. е. г„'р -— — — г„,. Таким 302 образом, для того чтобы найти точку г„'р, достаточно сначала найти «вспомогательную точку» г„р так, как описано во втором случае, а затем взять найденное значение со знаком минус.
Тогда левосторонняя критическая область определяется неравенством Х ( — хяр, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством г> — „,. Правйло 3, При конкурирующей гипотезе Н;1 М (Х) ( ( М (У) надо вычислить Х„,ая и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку» ая по равенству Ф (аяр — — (1 — 2а)~2, а затем положить г,'р — г Если Е„,ал) — аяр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Хяазз ( — анр — нулевую гипотезу отвергают„ Прнмер а. По двум незавнснмым выборкам, обьемы 'которых соответственно равны л 50 н т=бо, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние л=!42 н у=150. Генеральные днсперснн известны: 1)(Х)=28,2, )9(У) 22,8. Прн уровне значнмостн 0,01 проверить нулевую гнпотезу Нех М(Х) М(У), прн конкурирующей гнпотезе Н;.
М(Х) < М(У). Р е ш е н н е. Подставив данные задачн в формулу для вмчкслепня наблюдаемого значення критерия, получнм Яя,аа — 8, По условию, конкурнрующая гнпотеза имеет внд М(Х) < М (У), по»тому крнтяческяя область — левосторонняя. Найдем «вспомогательную точку» а„р. Ф (а„р) =(1 — 2а)(2=(1 — 2 0,01)(2 0,49. По таблице функции Лапласа находим а„р — — 2,33. Следова» тельно, зяр = — а„р = 2,33.
Так как дя«а«< — г„р — нулевую гнпотезу отвергаем. Другнмн словамн, выборочная средняя л значнмо меньше выборочной средней у. й 11, Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки) В предыдущем параграфе предполагалось, что генеральные совокупности Х и У распределены нормально, а их дисперсии известны. При этих предположениях в случае справедливости нулевой гипотезы о равенстве средних и независимых выборках критерий Х распределен точно нормально с параметрами О и 1.
303 Если хотя бы одно из приведенных требований не выполняется, метод сравнения средних, описанный в 3 1О', неприменим. Однако если независимые выборки имеют большой объем (не менее ЗО каждая), то выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий н в этом смысле нх можно считать известными приближенно. В итоге критерий распределен приближенно нормально с параметрами тИ(Я')=О (при условии справедливости нулевой гипотезы) и о(Г)=1 (еслн выборки независимы). Итак, если: 1) генеральные совокупности распределены нормально, а дисперсии их неизвестны; 2) генеральные совокупности не распределены нормально и дисперсии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы,— можно сравнивать средние так, как описано в й 10, заменив точный критерий Л приближенным критерием Я'.
В этом. случае наблюдаемое значение приближенного критерия таково: х — у ~наба = 3 а м е ч а н н е. Поскольку рассматрнваемый крнтеряй — прнблн. женный, к выводам, полученным по этому критерию, следует относнться осторожно.
Пример. По двум незавнснмым выборкам, объемы которых соответственно равны а=100 н го=!20, найдены выборочные средние к=32,4, у=30,1 н выборочные днсперснн Р (Х)=15,0, Рн(У)=-25,2. Прн уровне значнмостн 0,05 проверить нулевую гипотезу Йн: М(Х) = = М (У), прн конкурнрующей гипотезе Нд. М (Х) ~ М (У), Р е щ е н н е. Подставив данные задачн в формулу для вычнслення наблюдаемого значения приближенного критерия, получим Хнабл = 3,33.
По условню, конкурнрующая гнпотеза нмеет внд М(Х) > М(У), поэтому крнтнческая область †правосторонн. Найдем крнтнческую точку по равенству Ф (а„р) =(1 — 2а)!2 =(! — 2 0 05)12 = 0 45. По таблице функции Лапласа находнм х„р —— 1,64. Так как Л„нбн > х„р — нУлевУю гнйотезУ отвеРгаем. ДРУгнмн словамн, выборочные средние различаются значимо, $12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которыя неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны.
Например, по выборкам малого объема нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой причине метод сравнения средних, изложенный в 2 11, применить нельзя. Однако если дополнительно предположить, что н е и звестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы. Если же нет оснований считать дисперсии одинаковыми, то, и р е ж д е ч е м с р а в н и в а т ь с р ед н и е, следует, пользуясь критерием Фишера — Снедекора (см.
5 8), предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Итак, в предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу Н,: М (Х) =М (У). Другими словами, требуется установить, значимо нли незначимо различаются выборочные средние х и у, найденные по независимым малым выборкам объемов и ит.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину Т= Х вЂ” У ч Глт (е+ и — 2) )'(а — 1) Ю.,*+(т — 1) 5„' "+ ~ Доказано, что величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет 1-распределение Стьюдента с й и-~-ш — 2 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Первый случай. Нулевая гипотеза Н;.
М(Х) = = М (Г). Конкурирующая гипотеза Н,: М (Х) чь М (Г). В этом случае строят двусторонйюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа- 20 з'л) 305 дания критерия Т в эту область в предположении сира ведливости нулевой гипотезы была ранна принятому уровню значимости с».
Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда «левая» и «правая» критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов двусторонней критической области равна сс/2: Р (Т < 1„„„р) = а/2, Р (Т > 1,р„„р) = и/2, Поскольку величина Т имеет распределение Стьюдента, а оно симметрично относительно нуля, то и критические точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через 1„, „ „р(и; А), то левая граница равна — ~„,„„ „»(к; я). Йтак, достаточно найти правую границу двусторонней критической области, чтобы найти саму двустороннюю критическую область: Т < < — 1„,~„,„р(а; й), Т > 1„„„.„»(с»; я) и область принятия Обозначим значение критерия, вычйслейное по данным наблюдений, через Т„,«, и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости сс проверить нулевую гипотезу Н;. М(Х)=М(У) о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае независимых малых выборок) при конкурирующей гипотезе Н,: М(Х)чьМ(У), надо вычислить наблюдаемое значенйе критерия: Т»в«а х — у / лт(л+т — 2) )'(" — ')6+( -') ' ~ "+ и по таблице критических точек распределения Стыодента, по заданному уровню значимости а (помещенному в верхней строке таблицы) и числу степеней свободы я л+ т — 2 найти критическую точку 1„ „ „»(а; я). Если ~ Т„„,~ < Г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
