Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 53
Текст из файла (страница 53)
„. „»(а5)™отвергнуть нулевую гипотезу нет основанйй. Если ~Т„„,~ > г„,„„, „»(а; Й) — нулевую гипотезу отвергают. 306 Приза!р. По двум независимым малым выборкам, объемы которых соответственно равны л=5 н т=б, извлеченным нз нормальных ге- неральных совокупностей Х н У, найдены выборочные средние х=8,З, у=2,48инсправленные дисперсии зла —— 025 и зз =0,108. Прн уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Йа:М(Х) М()с), при конкурирующей гипотезе НПМ (Х) Ф М (У). Решение. Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера — Снедекора (см. 4 8).
Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей; Р„,а„= 0,25/О,! 08 = 2, 3! . Дисперсия зхз значительно больше дисперсии ф, поэтому в ка- честве конкурирующей примем гипотезу Н,;()(Х) > О(У). В этом случае критическая область — правосторонняя, По таблице, по уровню значимости а=0,05 н числам степеней свободы й, 5 1 4, яз 6 — ! =5 находим критическую точку Р„р (0,05; 4; 5) 5,19.
Так как Р„ааа < Р„р — нет оснований втвеРгнУть нУлавУю гипо- тезу о равенстве генеральных дисперсий. Поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние. Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдеита: х — у / лт(л+лс — 2) Таааа= с пзх + зу п+т Подставив числовые значения величин, входящих в эту формулу, по- лучим Тиааа=з,27. По условию, конкурирующая гипотеза имеет внд М(Х) Ф М (У), поэтому критическая область — двусторонняя.
По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы «=5+6 — 2=9 находим по таблице (см. приложение 6) критическую точку Гаатст ар(0,05; 9)=2,26. Так как Т„,а > (катет „р — нулевую гйпотезу о равенстве гене- ральных средних отвергаем. Другимн словамн, выборочные средние различаются значимо. Второй случай. Нулевая гипотеза Н,:М(Х) = М (У), Конкурирующая гипотеза Н,:М (Х) > М ()'). В этом случае строят правосторониюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении спра- ведливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: (Т > (эрааест.
ар) = се Критическую точку („р с р(а; )г) находят по таблице. приложения 6, по уровню значимости сс, помещенному в нижней строке таблицы, и по числу степеней свободы й=и+гп — 2. Если Т„„, ( („р„„, „р — нет оснований отвергнуть ну- левую гипотезу, Зв" Если Т„,«,) 1в„„„р — нулевую гипотезу отвергают.
Третий случай. Нулевая гипотеза Но:М(Х) = = М (г). Конкурирующая гипотеза О,:М (Х) ~ М (Г). В этом случае строят левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: Р(7 с (левеет. лр) =Се В силу симметрии распределения Стьюдента относительно нуля 1 вос лр авва ст р Поэтому сначала находят «вспомогательную» критическую точку так, как описано во втором случае, и полагают ~левеет.
лр ~вравост. ер. Если Твабл ) своавост. р — отвергнуть нулевую гипотезу нет осйований, Если Т„,лл < — гвр, „„,— нулевую гипотезу отвергают. $13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности А. Дисперсия генеральной совокупности известна. Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально, причем генеральная средняя а хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению ао. Например, если Х вЂ совокупнос размеров х, партии деталей, изготовляемых станком-автоматом, то можно предположить, что генеральная средняя а этих размеров равна проектному размеру ао.
Чтобы проверить это предположение, находят выборочную среднюю х и устанавливают, значимо или незначимо различаются х и ао. Если различие окажется незначимым, то станок обеспечивает в среднем проектный размер; если различие значимое, то станок требует подналадки. Предположим, что дисперсия генеральной совокупности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (по большой выборке можно получить достаточно хорошую оценку дисперсии).
308 Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и и по ней найдена выборочная средняя х, причем генеральная дисперсия а' известна, Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н,:а=а, о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а,. Учйтывая, что выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (см.
гл. ХЧ1, й 5), т. е. М(Х) =а, нулевую гипотезу можно записать так: М (Х) а,. Таким образом, требуется проверить, что математическое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней. Другими словами, надо установить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину (/= (Х вЂ” а,)/а(Х) = (Х вЂ” а,))lи/а, которая распределена нормально, причем при справедливости нулевой гипотезы М((/)=О, а((/)=1. Поскольку здесь критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, так же как в $10, ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы, обозначив значение критерия (/, вычисленное по данным наблюдений, через (/„ы,.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н,:а=а, о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией а* гипотетическому значению а, при конкурирующей гипотезе Н,:аМа„надо вычислить наблюдаемое значение критерия: (/„,б, = (х — а,) )/ и/о и по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству Ф(и, ) =(1 — а)/2.
Если !с/„б,~ < и„— иет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если ~ (/„,6„~> и„,— нулевую гипотезу отвергают, Лравнло 2, При конкурирующей гипотезе О,:а >аз критическую точку правосторонней критической области находят по равенству Ф (и„,) (1 — 2сс)!2. Если У„,з, < и„— нет оснований отвергнуть Нулевую гипотезу. Если с)„,э, > и„— нулевую гипотезу отвергают. Правило 3, При конкурирующей гипотезе Нт1а <а, сначала находят критическую точку иээ по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области и„' = — и„. Если (1„,4, > — и„— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если ()„,а, < — и„,— нулевую гипотезу отвергают. Прнмер 1. Из нормальной генеральной совокупностн с известным средннм квадратическим отклонением о=0,36 нэвлечена выборка объема я=36 н по ней найдена выборочная средняя к=21,6. Требуется прн уровне значнмостн 0,05 проверять нулевую гипотезу Не:о аз=21, прн конкурирующей гипотезе Нт:а Ф 21. Решен не. Йэйдем наблюдаемое значение крнтерня: У„,эх =(х — ае) г' л(п=(21,6 — 21) Р'3о6/0,36 =10.
По условню, конкурнрующая гнпотеэа имеет внд и эз ае, поэтому крнтнческая область — двусторонняя. Найдем критическую точку: Ф (и„,) -(1 — а)/2* (1-0,05)/2=0,475. По таблице функцнн Лапласа каходим н„р —— 1,96. Так как У„,ая > н„р — нулевую гнпотезу отвергаем. Другими словами, выборочная н гнпотетическая генеральная средние различаются значимо. Пример 2.
По данным примера! проверять нулевую гнпотезу Не:а=2! прн конкурирующей гипотезе а > 2!. Р е ш е н н е. Так как конкурирующая гяпотеза нмеет внд а > 21, крнтнческая область — правосторонняя. Найдем крнтнческую точку нз равевства Ф (н„э) (! — 2а)/2 (1 — 2 0,05)!2 =0,45. По таблице функцин Лапласа находим и„р — — 1,65.
Так как У„,ээ 1О > и„р — нулевую гипотезу отвергаем; различие между выборочной и гипотетической генеральной средней— значимое. Заметим, что в примере 2 нулевую гипотезу можно было отвергнуть сразу, поскольку она была отвергнута в примере 1 прн двусторонней крйтнческой области; полное рещение прнведено в учебвых целях. Б.
Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве кри- 310 теряя проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину Т (Х вЂ” а,) Ргп)Б, где о — «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента с и=п — 1 степенями свободы. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Поскольку это делается так, как описано выше, ограничимся правилами проверки нулевой гипотезы. Правило 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
