Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Б) ) набе=(» — ае) )~ пуз 315 надо положить ,/ ~~~ с(! — ~ с(!у(в/н х=с(, ав О, а=за= ус' н — 1 Тогда Т„вбд=ЕУ й/ал. Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости сх проверить нулевую гипотезу Н,:М (Х) = =М(У) о равенстве двух средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе М (Х) чьМ (У), надо вычислить наблюдаемое значение критерия: Т..а.=с('у л/з~ и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости сс, помещенному в верхней строке таблицы, н по числу степеней свободы й = и — 1 найти критическую точку (дву р(сз (з).
Если ~ Т„„, ( < („у„. „— йет оснований отвергнуть нулевую гийотезу. Если ~ Т„,е„~ > (д,у„. „з — нулевую гипотезу отвергают. Пример. Двумя приборами в одюм и том же порядке измерены 5 деталей и получены следующие результаты (в сотых долях миллиметра): ад=6, ха=7, ха=8, хс=5, ха=7; у,=7, уз 6, уз=8, ус=7, рв=з. При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений.
Р е ш е н и е. Вычитая из чисел первой строки числа второй, получим с(д 1 Ив 1 с(в 0 84 2 Ив ! Найдем выборочную среднюю: с( — ~~' с(;!а=( — 1+ 1+0 — 2+ — !)/5= — 0,6. Учитывая, что,~~бс~ 1+!+4+1=7 и ~~~~~с(у= — 3, найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение: ,~~ А — [~~Р с(Е(~/а / 7 9/5 л — 1 У 5 †! Вычислим наблюдаемое значение критерия: 7 взад=д У «/за= — 0,6 У Ъ |т 1,3= — 1,18. По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню аиачимостн ! 0,06, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы я =5 — 1 = 4 находим критическую точку удвуст. вр (О 05; 4) 2,78. 8!6 Так как ~ Тдаад1 < 1ддтст др — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, результатм измерений различаются незначимо.
$ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события Пусть по достаточно большому числу п независимых испытаний; в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, но неизвестна, найдена относительная частота т/и. Пусть имеются основания предполагать, что неизвестная вероятность равна гипотетическому значению р,. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетической вероятности ре.
Поскольку вероятность оценивается по относительной частоте, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо различаются наблюдаемая относительная частота и гипотетическая вероятность. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину где д,=1 — р,. Величина 0 при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами М (У)=0, о(У) =1. Пояснение. Доказано (теорема Лапласа), что при достаточно больших значениях и относительная частота имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением з'рд/и.
Нормируя относительную частоту (вычитая математическое ожидание и деля на среднее квадратическое отклонение), получим ц М!п — Р (М~п — Р) $~ и ~/рд(п ргра причем М (У) = О, о (У) = 1. ЗП При справедливости нулевой гипотезы, т. е. при р = р„ (М/л — рэ) )~ л р РоЧо 3 а и е ч а н и е 1. Далее наблюдаемая частота обозначается через т(л в отличие от случайной величины М/э. Поскольку здесь критическая область строится так же, как и в 2 1О, приведем лишь правила проверки нулевой гипотезы и иллюстрирующий пример. Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна- чимости проверить нулевую гипотезу Н,:р р, о равен- стве неизвестной вероятности гипотетической вероятности при конкурирующей гипотезе Н,:р М рю надо вычислить наблюдаемое значение критерия: У„,з,= (т(п — р ) Уп~~р,д, и по таблице функции Лапласа найти критическую точку ич по равенству Ф(и„э)=(1 — сс)/2, Если ~ У„ээ( < и„э — нет оснований отвергнуть нуле- вую гипотезу.
Если ~У„е,~ > иьэ — нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н,:р > р, находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф(иээ) =(1 — 2сс)!2. Если У„,з„< иээ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если У„,э, > иээ — нулевую гипотезу отвергают. Правило 3. Прй конкурирующей гипотезе Н,:р < р, находят критическую точку ия по правилу 2, а затем полагают границу левосторонйей критической области И„э = — Иээ. Если У„,з„> — иаэ — нет оснований отвергнуть нуле- вую гипотезу.
Если У„з, < — и„э — нулевую гипотезу отвергают. Заме чан не 2. Удовлетворительные результаты обеспечивает выполнение неравенства ярээе > 9. Пример. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота 0,08. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипо- теэУ и,:Р=Ре 0,12 пРн кониУРиРУинией гипотезе И,:Р ~ О,!2.
Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия: (т(и — рэУ Ул (0,08 — 0,12) г' Т00 По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р ~ рэ, поэтому критическая область двусторонняя. 3ий Найдем критическую точку и„по равенству Ф (икр) ( ! — а)/2 = (1 — 0,05)/2 0,475. По таблице функции Лапласа (см.
приложение 2) находим ива 1,96. Так как )(/вава! < иар — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Лругимй словами, наблюдаемая относительная частота незначимо отличается от гипотетической вероятности. й 19. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений Пусть в двух генеральных совокупностях производятся независимые испытания; в результате каждого испытания событие А может появиться либо не появиться. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в первой совокупности через р„а во второй— через р,, Допустим, что в первой совокупности произведено и, испытаний (извлечена выборка объема пт), причем событие А наблюдалось т, раз. Следовательно, относительная частота появления события в первой совокупности гп, (А) =т,!л,.
Допустим, что во второй совокупности произведено л, испытаний (извлечена выборка объема па), причем событие А наблюдалось т, раз. Следовательно, относительная частота появления события во второй совокупности ги,(А) = т,/л,. Примем наблюдавшиеся относительные частоты в качестве оценок неизвестных вероятностей появления события А: р,ага„р, и>а. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что вероятности р, и р, равны между собой: Н,!р,= р,=-р. Заметим, что, поскольку вероятности оцениваются по относительным частотам, рассматриваемую задачу можно сформулировать н так: требуется установить, значимо или незначимо различаются относительные частоты нг, и газ.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы прймем случайную величину Мг/пг — Мз/пз (н) 319 Величина У при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально о параметрами М (У) О и о (У) 1 (см. далее пояснение), В формуле (а) вероятность р неизвестна, поэтому заменим ее оценкой наибольшего правдоподобия (см.
гл. ХЧ1, $ 21, пример 2); р» (т, + т,)/(и, + и,); кроме того, заменим случайные величины М1 и М, их возможными значениями т, и т„полученными в испытаниях, В итоге получим рабочую формулу для вычисления наблюдаемого значения критерия: т1т1 — т~т~ Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы так же, как в $10, поэтому ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы. Правило 1~ Для того чтобы при заданном уровне значимости и проверить нулевую гипотезу Н,:р, = р, =- р о равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющих биномиальиые распределения) при конкурирующей гипотезе Н,: р, чь р,, надо вычислить наблюдаемое значение критерия: У т1т1 — зь/а~ ывбл и по таблице функции Лапласа найти критическую точку и„э по равенству Ф(и„р) =(1 — а)~2.
Если (У„.з,~ <и„э — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если ~ У„,б,(> и„,— нулевую гипотезу отвергают. Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н,:р, > р, находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф(и„,) = (1 — 2а)~2. Если У„6„< и„— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если У„ы, > и„— нулевую гипотезу отвергают. Правило 3, Прй конкурирующей гипотезе Н,:р, < р, находят критическую точку и„р по правилу 2, а ззтем полагают границу левосторонней критической области я~, =* — п.э. в20 Если У„,а, > — иар — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если У„,з, < — иаз — нулевую гипотезу отвергают. Пример. Из первой партии изделий извлечена выборка объема яд=1000 изделий, причем т,=20 изделий оказались бракованными; из второй партии извлечена выборка объема м =900, причем т =30 изделий оказались бракованными.
При уровне значимости ге=0,06 проверить нулевую гипотезу На:р, =р =р о равенстве вероятностей появления брака в обеих партиях прн конкурирующей гипотезе //д: Р1 Ф Рз Р е ш е н и е. По условию, конкурирующая гипотеза имеет внд рд Ф рд, поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем наблюдаемое значение критерия: тд/мг — тз/пз у тг+ т ( тг+ та) ( ! + ! ) Подставив данные задачи и выполнив вычисления, получим (/„.а. = — 1,61. Найдем критическую точку: Ф (и„р) = (! — и)/2 = (1 — О,ОЬ)/2 = 0,475, По таблице функции Лапласа (см.
приложение 2) находим и„р-— 1,96. Так как ) (/ддед ( < п„р — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словамн, вероятности получения брака в обеих партиях различаются незначимо. 3 а и е ч а н и е. Для увеличения точности расчета вводят так называемую поправку ма мепрерыамость, а именно вычислюот наблюдаемое значение критерия по формуле (тд/и, — 1/2л г) — (т,/л з+ ! /2лд) ~ / т~+ т~ ( т,+та) ( 1 + 1 ) В рассмотренном примере по этой формуле получим ! (/ддед( 1 96, Поскольку и пар —— .
1,96, необходимо протсти дополнительные испытания, причем целесообразно увеличить объем выборок. По я сиен не. Случайные величины М, и М, распределены по бнномиальному закону; прй достаточно большом объеме выборок нх можно считать приближенно нормальными (практически должно выполняться неравенство ярд > 9), следовательно, и разность У' = М,/и,— — М,/пз распределена приближенно нормально, Для нормирования случайной величины У' надо вычесть из нее математическое ожидание М(У') и разделить результат на среднее квадратическое отклонение о ([/'). Покажем, что М (У') = О. Действительно, М (М,) = = п,р, (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
