Гмурман - Теория вероятностей и математическая статистика (969547), страница 50
Текст из файла (страница 50)
е. Рнабл Збlбм ° и по таблице критических точек распределения Фишера— Снедекора, по заданному уровню значимости а и числам степеней свободы л, и й, (А,— число степеней свободы большей исправленйой дисперсии) найти критическую ТОЧКУ Риабб (Сб» мм мв) 290 Если Р„,е„< Р„,— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Р„,а, > Є— нулевую гипотезу отвергают. Пример 1. По двум независимым выборкам объемов лт= 12 и пз = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и г', найдены исправленные выборочные дисперсии зад=11,41 н аз =6,52.
Прн уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Не:В(Х)=В(У) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н,: В (Х) > В (г'). Ре ше н не. Найдем отношение большей исправленной дисперсии и меньшей: Раааа — — 1 1,4 ! 76,52 = 1,75. Конкурирующая гипотеза имеет вид В(Х) ) В(г), позгому критическая область †правосторонн. По таблнпе приложения 7, по уровню значкмости сс=0,05 и числам степеней свободы лт = !2 — 1 = 1 1 и я = 15 в 1 = !4 находим критическую точку Рк (0,05; 11, 14)=2,56.
Так как Рвазх < Р р †н оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Второй случай. НулеваягипотезаН,:Р(Х)=Р()). Конкурирующая гипотеза Н,:Р(Х)чьР()'). В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа- Ра 0 Рис. 24 дания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости сс. Как выбрать границы критической областиг Оказывается, что наибольшая мощность (вероятвость попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирукицей гипотезы) достигается тогда„когда вероятность попадания критерия в кан4дый мз двух интервалов критической области равна сх/2. Таким образом, если обехзначить черег Р, левую границу критической области н через Р,— правую, то должны иметь места соотношения (рис.
24): Р (Р < Р,) = а/2, Р (Р > Р,) =а!2, Мы видим, что достаточно найти критические точки, чтобы найти саму критическую область: Р < ЄР> Р„ 19~ 291 а также область принятия нулевой гипотезы: Р, ( Р "Р,. Как практически отыскать критические точки? Правую критическую точку Р«=Р„»(а/2; й„й,) находят непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора по уровню значимости и)2 и степеням свободы й, и й,.
Однако левых критических точек эта таблица не содержит и поэтому найти Р, непосредственно по таблице невозможно. Существует способ, позволяющий преодолеть это затруднение, Однако мы не будем его описывать, поскольку можно левую критическую точку и не отыскивать. Ограничимся изложением того, как обеспечить попадание критерия Р в двустороннюю критическую область с вероятностью, равной принятому уровню значимости а.
Оказывается, достаточно найти правую критическую точку Р, при уровне значимости, вдвое меньшем заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической области (т. е. правее Р,) равна а/2, ио и вероятность попадания этого критерия в «левую часть» критической области (т. е. левее Р,) также равна а/2. Так как эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна и/2+а/2=а.
Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы Н,:В(Х)ныл(У) достаточно найти критическую точку Р, = Р„р (а/2; й„й,). Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе Нт:В(Х) чьВ(У), надо вычислить отношение большей исйравленной дисперсии к меньшей, т. е, Р„.з,=а~аул'„и по таблице критических точек распределения Фишера — Снедекора по уровню значимости а12 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы й, и й, (й,— число степеней свободы большей дисперсии) найти крйтическую точку Р„р (а12; й„й,). Если Р„,«„С Р„р — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если Р„,ал > Р„,— нулевую гипотезу отвергают. Пример 2. По двум независимым выборкам, обьемы которых соответственно равны от=10 и п»=18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и г', найдены исправленные выборочные дисперсии зз„.1,23 и зз =0,41. При уровне значимости а=о,! проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий прн конкурирующей гияотеэе Ог: В (Х) ге В ()'). Р е ш е н и е. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: Р„ша — — 1,23/0,4! = 3.
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид !У (Х) ~ Р ()г), поэтому крятическая область †двусторонн. По таблнпе, по уровню значимости, вдвое меньшем заданного, т. е. при а/2=0,1/2=0,05, н числам степеней свободы адам †10 1 =9, йз = 18 в 1 = 17 йаходнм критическую точку Р„э(0 05, 9, 17)=2,50. Так как Раааа ) Р„э, нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Другнмн словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые дисперсии характеризовали точность двух методов измерений, то следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую дисперсию (0,4!).
ф 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотеткческой генеральной дисперсией нормальной совокупности Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равяа гипотетическому (предполагаемому) значению аеэ. На практике аеэ устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема и и по ией найдена исправленная выборочная дисперсия оэ с я и†! степенями свободы.
Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению а3. Учитывая, что оэ является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: Н,: М (от) = 03. Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии.
Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии. На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, 293 станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная п1, а найденная по выборке окажется значимо больше а'„то станок требует подналадки. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину (и — 1)5'~о3. Эта величина случайная, потому что в разных опытах Я' принимает различные, наперед неизвестные значения.
Поскольку можно доказать, что оиа имеет распределение )(' с л = и — 1 степенями свободы (см. гл. Х11, $ 13), обозначим ее через Х*. Итак, критерий проверки нулевой гипотезы Х' = (л — 1) 3'/о3. Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Пе рвы й сл у чай. Нулевая гипотеза Н,:а'=п3. Конкурирующая гипотеза Н,:о* > о*,.
В этом случае строят правосторониюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: Р[Х' > Х„' (а; л)1= Критическую точку )('„р(а; л) находят по таблице критических точек распределения у' (см. приложение 5), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством )(* > )('„р, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством Х' < )(„*р. Обозначим значение критерия, вычисленное поданным наблюдений, через Х'„,з, и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правила 1, Для того чтобы при заданном уровне значимости и проверить нулевую гипотезу Н,:а' =о,' о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н,:о' > а*„надо вычислить наблюдаемое значение критерия Х*„,з,=(п — 1) Б*!а3 и по таблице критических точек распределения Х', по заданному уровню значимости и и числ~ степеней свободы Ф=п — 1 найти критическую точку у„р(а; Й).
294 Если Х'„г < Х*„— нет оснований отвеРгнУть нУлевУю гипотезу. Если Х'„,е ) Х,',р — нулевую гипотезу отвергают. Пример !. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема о=13 и по ней найдена нсправленнав выборочная дисперсия за=14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Не:пз=оз=12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Нз!оз ) 12. Решен не, Найдем наблюденное значение критерия: Хз „(л — 1) Бз/оз =((13 — 1). 14,6)/12 = 14,6. По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид оз > 12, поэтому крити >еская область правостороиняя.
По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,0! и числу степеней свободы )г = л — 1 = 13 — 1 = 12 находим критическую точку Х„з (0,01; 12)=26,2. Так как Хз < Х~ — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словамн„ различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
